§3е. Целочисленные случайные меры и их компенсаторы. Преобразование компенсаторов при абсолютно непрерывной замене меры. Стохастические интегралы

Распределение вероятностей последовательности Н, обозначаемое Law(#), можно описывать двумя способами: или безусловными распределениями величин Ні, Я2, • • •, Яп:

Ьаш(Яі,Я2,...,Яп), п>1, (1)

(равносильно, La.v/(AHi, АН2,..., АНп), п ^ 1), или же (регулярными) условными распределениями величин АНп:

Р(АЯПЄ-| J„_i), 1. (2)

Второй способ в определенном смысле более предпочтителен, по-скольку, имея условные распределения, можно, конечно, восстановить

и безусловные.

Далее, знание условных (относительно 9n-i) распределений дает представление о распределении АНп при знании всей прошлой информации. Безусловные же распределения (1) дают возможность вос-становить лишь только условные вероятности Р(АНп Є • | г), где = о(ш: Hi,..., і) и С (включение может быть и

строгим).

2. Пусть

Х = {Хп,Зп)п^0 (3)

- некоторая d-мерная стохастическая последовательность, заданная на фильтрованном вероятностном пространстве о>Р)- Будем

считать Х0 = 0, = {0,

С последовательностью X свяжем последовательность р, = (рп( ¦ целочисленных случайных мер, определяемых следующим образом:

Ип(А-,и>) = IA(AXn(w)), А Є

то есть,

Г 1, если АХп(иі) є А, Нп{А;и>) = ^

I, 0, если АХп(ш) ? А.

Пусть, далее, и = (i/n( ¦ ))nj>i - последовательность, состоящая из регулярных условных распределений vn( -) величин АХп относительно т. е. функций ип (А; ш), определенных для А € SS(Rd) иш€ О, таких, что

г/п(-; ш) для каждого ш є fl есть вероятностная мера на (Rd, ));

і/п(А;и>) для каждого А Є 2?(M.d) как функция от ш есть один из вариантов условной вероятности Р(ДХ„ є А | _ і) (ш):

vn{A-,u) = Р(АХП Є А | ^„_а)Н (Р-н.н.).

(Доказательство существования такой версии условных вероятностей см., например, в [439; гл.

Для регулярных условных вероятностей условные математические ожидания Е[/(АХП) | 9п-і](ш) при неотрицательных или ограниченных функциях / могут подсчитываться интегрированием при каждом ш по регулярным условным распределениям ип( ¦):

Е[/(ДХЯ)|^П_1]И= / f(x)vn(dx-,w) (Р-п.н.).

J Kd

Тем самым, в рассматриваемом нами случае

и, следовательно, для каждого А Є 2?(Rd) последовательность

(рп(А) - *п{А))п>1

с Цп(А) = цп(А;ш), vn(A) = i>n(A\\u)) является мартингал-разностью относительно меры Р и потока (Зп). Если положить

71 П

fc=1 k=i то.становится понятным, что при каждом А Є SS(Rd) последовательность

будет мартингалом. Это свойство объясняет, почему (случайную) меру и(о,п] (") называют компенсатором (случайной) меры ц^ „]( ¦), а после-довательность

- случайной мартингальной мерой. Полезно заметить, что представление

ц = v + (ц — и)

ДЛЯ меры/І = (м(0,п])п^1 С предсказуемой мерой V = (l^(0,n])n^l может рассматриваться как ее разложение Дуба (§ lb, гл. II) на предсказуемую и мартингальную составляющие.

Замечание. С

последовательностью X — можно свя

зать также целочисленные случайные меры скачков цх = nj (• ))n^i

n

с ^(o,n] (А;ш)= Е (А\'ш)»где

AXfc(ш) ф 0).

Понятно, что если А Є \\ {0}),то цп(А-,ш) = цх(А;ш).

Вся разница в значениях этих мер связана лишь с событиями "отсутствия скачка", т.е. событиями {ш: АХп(ш) — 0}, и в том случае, когда Р{ш: АХп(и>) = 0} = 0, между мерами р и рх, по-существу, нет разницы.

Заметим, что в случае непрерывного времени при описании свойств скачкообразных компонент случайных процессов с привлечением целочисленных случайных мер основную роль играют именно случайные меры скачков рх, а не меры р.. (См. далее §3а в гл. VII и, подробнее, [250; гл. II, 1.16].)

3. В этом пункте будут рассмотрены стохастические интегралы

w * р, W * V, w* (р — и)

по введенным случайным мерам р, v и р — v.

Пусть w = (wk (w, х))fc^i - последовательность 9 ?55()-измеримых функций.

(w* р)п(ш) = wk(u,x) pk{dx;u).

В силу специфики рассматриваемых целочисленных случайных мер рк, принимающих лишь два значения, 0 и 1,

/

wfc(w, х) Pk(dx; oj) — wk(w; АХк(ш)).

і

Поэтому, на самом деле,

п

(w*p) п(ш) = ^2и>к(ш-,АХк(ш)). к=і

Аналогичным образом посредством интегралов Стилтьеса определяются стохастические интегралы w * v и w * (р — и) по мерам v и р — v. При этом для существования соответствующих интегралов надо наложить на функции wk (ш, х) требования интегрируемости:

I \\wk(u,x)\\fk(dx-,u}) < оо

J Rd

для всех (или почти всех) шЄЙиі^І.

Нетрудно видеть, что тогда

w * (ц — и) = w * ц — w * и.

(Предостережем читателя от автоматического переноса этого свойства на случай общих целочисленных случайных мер, например, мер скачков случайных процессов с непрерывным временем; может случиться, что интеграл w * (ц — и) определен, в то время кале w * рию * v равны +оо и, следо-вательно, их разность не имеет смысла; см., подробнее, [250; гл. III].)

Если дополнительно предположить, что функции Wk(ul,X) являются 9к -1 -измеримыми при каждом х Є то (w * и)п будут предсказуемыми, Т.е. _ 1 -измеримыми.

Если к тому же при каждом к > 1

то последовательность w * (ц — v) = (w * (ц — f)n)n^i будет, как нетрудно видеть, образовывать мартингал. Заменяя условия (4) на условия

где (тп) - некоторая локализующая последовательность марковских моментов (тп < тп+1, т„ f оо), получаем, что последовательность w * (ц — v) является локальным мартингалом.

4.

в гл. II)

(5)

Нп=Ап+ М,

где

(6)

и

С помощью введенных мер скачков р - (рп)п^і и их компенсаторов и = (fn)n^i величины Ап и Мп можно записать в таком виде:

Ап=У2 a:vk(dx;uj), (8)

Мп = Е / х (Vk{dx;w) - uh(dx;ui)). (9)

fc^n R

Правые части в (8) и (9) для краткости обозначают (см. [250; гл. II]), соответственно,

(х * «>)» (10)

и

(X * (fl - »))п. (11)

Таким образом,

Нп = {х * v)n + (х * (р — v))n, (12)

или, в бескоординатной записи,

Н = х * и + х * (р — и). (13)

Конечно, в рассматриваемом случае Н = х * р. Тале что (13) есть не что иное, как равенство

х * р = х * и Л- х * (р — и),

столь же очевидное, кале и разложение Дуба в предположении, что E|hn| < оо, п > 1.

Вместо условия "Е|/і„| < оо, п ^ 1" предположим теперь, что (Р-п.н.)

Е(|Лп||^п_г) <оо, п>1. (14)

При этом условии, очевидно, определены (формулами (6) и (7)) последова-тельности А = (Ап) и М = (Мп), причем М является локальным мартингалом, поскольку Е(|ДМ„| І Зп-1) < оо и Е(ДМП | ^„_i) = 0.

Тем самым, можно утверждать, что пр и выполнении условия (14) имеет место обобщенное разложение Дуба последовательности Н = (Нп):

Н = А + М (15)

с А = (j4„) и М = (М„), определенными в (6) и (7).

При этом А - предсказуемая последовательность и М - локальный мартингал. С использованием мер р и и представление (15) может быть записано в виде (13).

Замечание. Напомним (см. § lb в гл.

В общем же случае, когда условие (14) может нарушаться, с пелью по-лучения аналога представления (15) или (13) поступают (кале уже объяс-нялось в § lb, гл. II) следующим образом.

Пусть ip ¦ ip{x) - ограниченная функция "урезания" т.е. функция, равная а; в окрестности нуля и имеющая компак тный носитель. Типичным примером может служить "стандартная функция урезания"

<р(х) = xl(\\x\\ ^ 1). (16)

Тогда

п п п

#»= ?= И + J2(hk~ k= 1 k=l fc=1 n

k=l

n n

+ ? [Фк) - Е(фк) і О] + ? (h« - vM k=і ^=1

= 12 / vW^kidx) + 12 vWiUkidx) - uk(dx)) k=1 ^ fc=1

+ J2 f(x-k=1 J

Пользуясь теми же обозначениями, что ив(12)и(13), мы получаем следу-ющее представление:

Нп = {ф) * и)п + (ф) * (ц - и))п + ((х - ф)) * м)п, (18)

(19)

Н = ip * и + >р * (р. — и) + (х — (р) * р..

или, в бескоординатной форме,

Определение. Представления (18) и (19) называют каноническими представлениями последовательности Н — (Нп)п-^о, Но = 0, с функцией урезания (р = (р( х).

Полезно, имея в виду случай непрерывного времени, сравнить это определение с каноническим представлением семимартингалов, данным в § 2с, гл. II, в монографии [250] и далее в § За, гл. VI.

5. Пусть Н = (Нп)п^і имеет обобщенное разложение Дуба

Нп = Ап + Мп

и выполнено условие (10) из §3d. Тогда, в силу теоремы 2 из этого § 3d,

~ \'ОС г-1

имеет место представление по мере Р Р:

Я„ =

к=1

п

+ Mn-^E(akAMk |Jfc_x)

fc=i

= Ап+Мп, (20)

гдеМ Є ^ioc(P).

Запишем для Н канонические представления по мерам Р и Р, соответ-ственно:

Н = (р*1/ + (р*(р — и) + (х — <р) * р (помереР) (21)

H = (p*v + ip*(p — v) + (х — (р) * р (по мере Р), (22)

где р - мера скачков последовательности Н.

Во многих проблемах стохастического анализа, основанного на канонических представлениях (21) и (22), важно знать, как пересчитываются компенсаторы и по компенсаторам и и характеристикам процесса плотности Z = (Zn).

~ 1ос

Остановимся на этом подробнее, предполагая Р Р и обозначая

v„(-;u) =Р(Л„ Є -|^„-і)И

- регулярные варианты соответствующих условных вероятностей.

"ФормулаБайеса" (4) из § За, примененная к Y — IA(hn),A Є ?i5(R\\{0}), т. = п — 1, и имеющая здесь следующий вид:

(23)

п—1

E(lA(hn)\\3n_1)=E[lA(hn)-^-

"П — 1

делает весьма правдоподобной гипотезу о том, что для каждого ш Є SI условные распределения ип( • ;ш) абсолютно непрерывны относительно i/n( ¦ ;ш), т.е. существует такая ?55 (R \\ {0})-измеримая (при каждом ш Є SI) функция У„ = Уп(х,ш),что

(24)

г>п(А\\ш) = / Yn(x,Lu)i/n(dx;cu). JA

Если это действительно тале, то тогда

dvп(-;ш)

(25)

di/n(- ;ш)

(г) = У„(х,ш),

т. е. функция У„ (х, ui) играет роль плотности одной меры (точнее - регулярного условного распределения) по другой.

Приведем доказательство справедливости формулы (24) (в предположе-

~ 1ос

нии Р <1С Р), дав одновременной "явный" вид для плотности Уп = Уп(х,ш), п > 1.

Рассмотрим условное математическое ожидание в правой части в (23). Согласно его определению, для любого В Є 9п-\\

J В

Zn( w)

(P I ^n-i){du})

Hn(dx;u>)

LIL Zn-ін

JBxA

Обозначим Mn(dx,duj) — pn(dx;uj)(P \\ Jn_i)(dw) - "косое произведение мер" на ЩМ. \\ {0}) ® и пусть ЕМп( • | ^(К \\ {0}) <8> - условное (относительно ?55 (R \\ {0}) ® Jn-i) "математическое ожидание" по мере Мп = Mn(dx,dw), определяемое, как обычно, (см., например, [439; гл. II, § 7]), с помощью теоремы Радона-Никодима. Тогда из (26) по теореме Фубини

= F Jbxa zn-im

= [ І ^(R\\{0})®^„_iWu;)M„(dx;duO

JBxA \\ ті— 1 і /

= ів [А ЕМп (Йг (РІЛ-1)(-)

= їв [ІА Ем"( I {0}) ® (*.«") «") (р I ^n-O(dw)-

В силу произвольности Б Є > отсюда находим, что (Р-п.н.)

где

Сопоставляя (23), где Е(/Л(/іп) I Jn_a) = fA Pn(dx;u), с (27), (28) ви- дим, что ?>„( •;ш) < г/п(¦;ш) для каждого ш Є Л и имеет место формула (25).

(29)

ip = ip * и + (p(Y — 1) * гл

Из этой формулы получаем ответ на поставленный выше вопрос: "сно- совые" слагаемые ip *v и ц> *v в (22) и (21) связаны (по крайней мере, в предположении, что (|cp(x)(Y — 1)| * v)n < оо, n > 1) соотношением