§ 3f. Предсказуемые критерии отсутствияарбитражных возможностей на (В, 5)-рынке

S_ = / йЛ

В V^n/O^n^JV

является Р-мартингалом.

Большой интерес представляет и описание класса ^(Р) всех таких мар- тингальных мер Р ~ Р, поскольку, как мы уже видели в § 1с, при отыскании верхних и нижних цен приходится иметь дело с sup и inf по классу мер Р Є 0>(P).

При отыскании таких мер естественно начать с несколько более общего вопроса о конструкции мартингальных мер Р, которые локально абсолютно непрерывны относительно меры Р, с последующим выяснением того, не является ли построенная мера и такой, что Р ~ Р.

Материал, изложенный в предыдущих параграфах, дает все необходимое из теории "абсолютно непрерывной замены меры" чтобы рассмот-

~ 1ос

реть эту проблему конструкции мер Р С Р.

Начнем со случая, когда d = 1, Вп = 1 и S = (Sn) - единственный "рисковый" актив,

Sn=S0e"". (1)

Мы предполагаем заданным фильтрованное вероятностное пространство (ft, 9, (9п), Р) и величины Нп - ^„-измеримыми.

Пользуясь обозначениями и результатами § Зс, положим Но = Он

п

Яп = 5>АЯ*-1), П> 1, (2)

fc=l

П

в(Н)п=1[(1 + АНк), п>1. (3)

fc=і

Заметим, что

ДПри конструировании мартингальной меры Р « Р, относительно которой S = (Sn) становится мартингалом, можно непосредственно пользоваться той схемой, которая была изложена выше: написать каноническое

~ loc

представление для S = (Sn) (типа (13), § Зе) и затем найти те меры Р Р, при которых происходит "убивание" сносового члена.

— — loc

Пусть Р - некоторая мера такая, что Р Р.

Обозначим Zn = где Р„ = Р J Pn = Р | Всюду далее мы dPn

полагаем Рц = Ро- Тем самым, ZQ = 1. Пусть X = (Х„)п^о - некоторая последовательность с ^„-измеримыми XrL, п ^ 1, и Хо — 0. Согласно лемме из § 3d:

~ loc

если Р € Р, то

X Є Л(Р) XZ Є Л(Р), (5)

п 1ос п

если Р ~ Р, то

X&JCloc(P) ^ XZ.€Jtloc(P). (6)

Предположим, что X € Ліос(Р)- Согласно теореме из § 1с, гл. II, последовательность X есть мартингальное преобразование, и, значит, АХп = о„АМ„, где а„ - ЗРп- 1-измеримо и М - некоторый мартингал (по мере Р). Тем самым, А?(Х)п — §(Х)п-\\АХп = ап?(Х)п-іАМп- Отсюдаследу- ет, что ?(Х) также есть мартингальное преобразование, а, следовательно, опять-таки по теореме из § 1с, гл. II, ?(Х) Є Ж\\ос(Р)- Таким образом,

X Є Л1ос(Р) => ?(Х) є Jtloc(Р). (7)

Если предположить, что ?(Х) ф 0, то, рассматривая

АХп = А?(Х)п/?(Х)п-1,

аналогичным образом находим, что

?(Х) є ЛГіос(Р) X є ЖХос(Р).

Таким образом, с учетом (6) получаем, что справедлива следующая

Лемма 1. Пусть Р ~с Р и ё(Х) ф 0 (Р-п.н.). Тогда

8{Х) Є Uffioc(P) «==> X Є ^Гіос(Р) XZ Є Uffioc(P).

Предположим теперь, что ?(Х) > 0 и (з (X) Є Ж(Р). Тогда, в силу леммы из § 1с, гл. II, Лемма 2. Пусть Р«Рк ?(Х) > 0 (Р-п.н.). Тогда

?{Х) є ^іос(Р) «(X) Є Ж{Р) Є ЛЇ(Р).

Заметим, что, в силу (3), имеют место следующие импликации (понимаемые покоординатно):

АХф-1 <=» ?{Х) ф О, АХ > -1 <=» ?(Х) ^ О

и

АХ > -1 ?(Х) > 0.

Применение утверждений лемм 1 и 2 к случаю X — Н, где Н определено по Н формулой (2), дает следующий результат.

Лемма 3.

5п = 50ен", Н0 = 0, (8)

и АНп = елн" - 1, Я0 = 0. Тогда

Sn = S0?(H)n (9)

~ loc если Р -С Р, то

SeJt{Р) g(H)ZeJt(Р); (Ю)

п 1ос п

если Р ~ Р, то

SeJt 1ос(Р) HZeJiioc(P). (Н)

3. Эти импликации указывают путь, на котором можно искать меры Р, относительно которых S Є М(Р).

Относительно меры Р последовательность Z = (Zn) является Р-мартингалом. Согласно (10) и (11), надо описать те неотрицательные Р-мартингалы Z, которые имеют ЕZn = 1 и обладают тем свойством,

/ч ІОС >4

что S(H)Z Є Л(Р), если искомая мера Р « Р, и свойством HZ Є Жіос, если искомая мера Р Р.

В условно-гауссовском случае соответствующий класс мартингалов Z = (Zn) состоял из мартингалов вида

Z„=exP{]T&fc?fc-if>2fc} (12)

lfc=i fc=i }

(с _ i-измеримыми Ьк; см., например, (7) в § ЗЬ), которые удовлетворяют разностным уравнениям

AZn = Zn-iANn (13)

с

ANn = eb"?n-*b» - 1, (14)

образующими обобщенную мартингал-разность:

E{\\ANn\\ | < оо, Е(ANn \\ = 0.

Поэтому, в общем случае, естественный путь поиска процессов плотностей Z = (Zn) может состоять в следующем.

Будем искать интересующие нас плотности Z = (Zn), по которым будут затем строиться меры Р„ по формуле Р„ (dw) = Zn(u>) Pn(du>), в виде (13), т. е. считать, что

= ?(N)n, Z0 = 1, (15)

где N - некоторые, подлежащие определению, локальные мартингалы с N0 = 0, ANn > -1 и EВопрос о том, насколько широк класс получаемых таким образом мер

~ loc

Р -С Р, далеко не прост. Дело в том, что, во-первых, не прост вопрос о том, можно ли по семейству согласованных "конечномерных" распреде-лений {Рп} определить меру Р такую, что Р | = Pn, n > 1. (Соот-ветствующий контрпример см., например, в [439; § 3, гл. II].) Во-вторых, в принципе не прост вопрос о том, как устроены все мартингалы или локальные мартингалы на (П, 3"(Зп)п^і, Р)- (См. по этому поводу [250; гл. III].)

Ниже мы дойдем по пути, который, хотя и не дает исчерпывающего от-

— loc — ioC

вета на вопрос о структуре; всех мер Р -С Р или Р ~ Р, тем не менее, в техническом отношении достаточно прост и приводит к широкому классу таких мер.

Как ясно из предыдущего, для заданной меры Р все меры Р, которые обладают_свойством Р Р, с точки зрения их "конечномерных" распре-делений {Р„} полностью описываются своими плотностями Z = (Zn). Из предположения Р Р вытекает, что Р(Zn > 0) = 1, и, значит, по Z = (Z„) можно определить новую последовательность N = (Nn), полагая No = 0 и

ANn = ^. (16)

Ясно, что N Є ^юс(Р), при этом между ZviN существует взаимно однозначное соответствие с Zn = S(N)n.

Тем самым, при построении мер Р со свойством Р ~ Р можно опери-

dPn

ровать не с плотностями Z = (Z„), где Z„ = —а с соответствующей

п

последовательностью iV = (iV„), которая должна удовлетворять свойству ANn > -1 с тем, чтобы Z„ > 0 (Р-п.н.), n > 1.

Итак, будем предполагать, что So > 0, Sn = So$(H)n, п > 1, при этом Sn > 0, что равносильно тому, что АНп > — 1.

Пусть также Z - (Zn) cZn = S(N)n, где ANn > —1 и, значит, Z„ > 0 (Р-п.н.).

Будем предполагать, что существует мера Р такая, что ее сужения Pn = Р | таковы, что Р„ ~ Р„, n > 1, т.е. Р ~ Р. Тогда, в силу (10),

S є Jt{Р) 8{H)S(N) Є Ж(Р). (17)

4. Непосредственно проверяется, что имеет место следующая формула Йора (М. Yor; см., например, [402]):

§{H)g{N) = S(H +N + [H,N]), (18)

где

n

[H,N]n = J] AHkANk. k=1

Из предположений S(H) > О, S(N) > 0 и (17) вытекает, что

SeJt(Р) g(H +N+[H,N])?JC{Р) H + N+[H,N] Є^Гіос(Р).

Поэтому, если N Є Jt\\oc{P), AiV > -1, Zn = S(N)n и dPn = Zn dP, то S є ЛІГ(Р) Я + [Я, iV] є Uff(P).

Поскольку Д(Я + [Я, TV]) = ДЯ(1 + AN), то условие^Я + [Я, TV] є ^Юс(Р) равносильно тому, чтобы последовательность ДЯ(1 -I- AN) = (ДЯ„(1 + ДЛгТ1))п была локальной Р-мартингал-разностью или, эквивалентно (лемма в § 1с, гл. II), чтобы эта последовательность образовывала обобщенную Р-мартингал-разность, т.е. чтобы (Р-п.н.) для любого n > 1

(19)

Е [ | ДЯ„(1 + ANn)\\ | ] < °о

(20)

Е[ ДЯП(1 + ДАГ„) \\&n-i] = 0.

Отметим, что условия (19) и (20) определены с привлечением условного математического ожидания Е( -1 Зп-і), и в этом смысле они выражены в "предсказуемых" терминах.

Условиям (19) и (20) можно придавать разную форму.

(21)

= 1.

Zn-г

Э"п — 1

Заметим, что это условие, конечно, можно было бы получить и непосред-ственно, поскольку, согласно "формуле Байеса" ((4) в §3а или (1) в §3d),

~ loc

в предположении Р«Р

„ДЯ„

(Р-п.н.),

(22)

1

Zn-1

Е[еАН" | Зп-і] = Е

и, значит, (20) равносильно тому, что Е(5„ | 3-п-\\) = Sn-\\ (Р- и Р-п.н.). Аналогичным образом, (19) Е(5„ | Зп-\\) < оо. В силу неотрицательности Sn, n > 1, отсюда следует, что условия (19) и (20) обеспечивают

то, что относительно мери Р, построенной по последовательности N = ш, последовательность S = (5„) является мартингалом.

Метод, примененный выше, легко может быть распространен и на много-мерный случай, когда S = (S1,..., Sd), и мы интересуемся вопросом о том, когда

| Є Л(Р)

относительно некоторой меры Р Р. Этим вопросом мы сейчас и займемся.

5. Выбор банковского счета В = (Вп) в качестве нормирующей цены удобен тем, что для него величины Вп -1 -измеримы, и это, как уже отмечалось выше, дает определенные технические упрощения. Однако, вообще говоря, нет никаких оснований не брать в роли счета В цену любого другого актива, вовсе не обязанного быть банковским счетом. В этой связи рассмотрим сначала следующую ситуацию. Пусть имеются два актива 5° = (SJ^hS1 = (S„). Предполагается, что

= г = 0,1,

и пусть AZn = Zn-iANn, АН\'п = еЛН» - 1, Щ = 0. Рассмотрим отношение

= (4)

П>О

считая 5ц и SQ константами, и будем интересоваться вопросом о том, когда

S1 ~ ~

-ур Є Ж{Р). (Чтобы не возникали вопросы о существовании меры Р со

свойством Р | — РП) где Р„ строятся так, что P„(ciw) - Zn(u>)Pn(dijj), можно считать, что n < iV =

Ясно, что (в бескоординатной записи)

^Z=^Z0-S(H1).g-1(H°).g(N). (23)

Непосредственно легко проверяется, что

8-^Я0) = 8(-Н*), (24)

где

й._йо у (АЯ°)2 ( у АД° \\ S1 „

Поэтому есть произведение треа: стохастических экспонент:

^Z = ^Z0-?(ff1) ¦?(-]}*) (26)

откуда с помощью формулы Йора (18) последовательным образом находим, что

^(Я1) • ?(-Н•) • ?(N)

v fe i + Днї /

Отсюда видим, что необходимое и достаточное условие на N, которое

51

обеспечивает Є Ж(Р), состоит в том, чтобы последовательность

Ё1 _ йо + Е (AH°-AHl)(AH°-ANk) ? ^^ ^

или, равносильно,

\\ 1 + Дяо

S_ 5°

- \'\' s°)

в случае d активов 5і,..., Sd сводится к покомпонентному рассмотрению, то из (29) получаем следующий обший результат.

Поскольку вопрос о мартингальности нормированного вектора цен

Теорема 1.

Щ = i = l,...,d, 1

или, равносильно,

где

АН\'

AS*n = Я^ДЯ;,

я« = о.

АНІ = е

Предполагается, что константы SQ > 0 для всех і — 0,1,... ,п.

Пусть, далее, Z =- (Zn)o4n^N ~ последовательность случайных величин такая, что

(32)

Zo

AZn = Zn-iANn,

ГДЕ ANn > -1-

Для того, чтобы относительно меры Рлг,

(33)

PN(du) = ZN(u)P(du),

отношение было d-мерным мартингалом, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: для всех i = l,...,dul^n^N (Р-п.н.)

&П- 1

< оо,

= 0.

(АЯ;-ДЯ°)(1 + ДІУП)

Следствие. Предположим, что актив S0 = (5°) является "безрис-ковым" в том смысле, что - -измеримы. (Например, S0 = В - банковский счет с постоянной процентной ставкой (АН® = г).) Тогда, в силу того, что Н„ - -измеримы, условиям (34) и (35) можно придать следующую форму: для і = 1,..., d, 1 ^ n ^ N,

+ AiVn)| | <оо,

Е[ дя;(1 + ANn) | ^n-i] = AHQ.

В частности, если АН® = 0, то эти условия принимают вид

Е[|ДЯ;(1 + ДЛГП)|| < 00, (38)

Е[ дя;(1 + ANn) I = 0, (39)

что совпадает с ранее найденными условиями (19), (20).

Если, к тому же, ANn = 0, то эти условия сводятся к условиям

Е[|ДЯ»| < 00, (40)

Е[дя; =0, (41)

причем (41) равносильно условию (ср. с (11) в §3с)

Е[еЛЯ" | Э"п-\\\\ = 1,

являющемуся очевидным условием того, что S1 Є Ж(Р).

6. Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие полученные критерии. С этой целью заметим сначала следующее.

Пусть (B,S)-рынок состоит из двух активов: банковского счета В = (В„) такого, что

ДВ„ =г„Бп_1, где г„ - -1 -измеримы, и акции S = (5„) с

ASn = /з„5„_і,

где рп - -измеримы.

Тогда условия (36) и (37) принимают такой вид:

Е[|рп(1+Д^п)|| Jn-i] <оо, (42)

E[Pn(l + ANn) | Jn_i] =rn. (43) Если же считать, что (В, 5)-рынок задается в форме

Вп = Б„_іег", Sn = 5„_іер", (44) то условия (36) и (37) будут записываться следующим образом:

Е[|(ерп - 1)(1 + ДNn)\\| ^„-i] < оо, (45)

Е[ (ерп - 1)(1 + ANn) | = er" - 1. (46)

Пример 1. Рассмотрим одношаговую модель (44) с п = 0 и 1, считая Зо = {0,0}, Z0 = 1. Тогда 1 + ANi = Zx и, согласно (46),

EePl Zx = ег.

Будем считать О = К, pi(x) — х, Zx = Z(x), и пусть F = F(x) - распределение вероятностей на О. Тогда приведенное условие равносильно тому, что

Г

J —<

f оо

ех Zx(x)dF(x) = ег. (47)

Таким образом, ясно, что отыскание всех распределений F = F(x), эквивалентных F = F(x) (в смысле эквивалентности порождаемых ими мер), равносильно описанию всех положительных решений Z\\ - Zx(x) уравнения (47), подчиняющихся условию

Zl{x)dF{x) = 1. (48)

Если, например, F ~ J/(m, ст2) с а2 > 0, то (45) и (46) принимают вид

/

оо г оо

exZ1{x)1 (*-т)2

где ipm „2 (аг) = . е 2<г2 - плотность нормального распределения. V27TCT2

Из (49) мы видим, что если "мартингальная" мера ищется в классе нормальных распределений, J/(fh, сг2) с а2 > 0, т.е.

Zi{x) = —7—г > (50)

<Рт,<,2\\.х)

то "допустимые" (т,сг2) должны находиться из условия

—оо

равносильного тому, что

ст2

m 4- — = г. (51)

Иначе говоря, "допустимыми" являются все пары (тп, а2) со2 > 0, удовлетворяющие условию (51). С этим условием при г = 0 мы уже сталкивались в §3с (см. (14)).

Отметим, что у системы уравнении (49) помимо решений Z\\ (ж) вида (50) есть и другие решения, общий вид которых, видимо, неизвестен. Это заме-чание показывает, насколько может быть сложна проблема описания всех "мартингальных" мер даже для такой простой "одношаговой" схемы, которая была только что рассмотрена.

В этом отношении следующий случай может рассматриваться как "слишком простой" поскольку длянего "мартингальная" мера оказывается единственной и легко находится.

Пример 2. CRR-модель (Кокс-Росс-Рубинштейн-, [82]).

Пусть

АВп=гВп_ъ (и)

д s„ = pnS„-1,

где n < N и BQ, SQ - положительные константы.

В рассматриваемой модели предполагается, что (рп) - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, при-нимающих такие два значения b и а, что

-1 < а < г < Ь

Р ы(рп=Ь)=р, PN (рп = а) = q, (53)

где 0<р<1,р + 9=1.

Поскольку вся "случайность" в рассматриваемой модели входит через величины рп, n ^ 1, то в качестве пространства элементарных событий можно рассматривать пространство О = {a, b}N, т.е. пространство последовательностей (ц,... ,xjv)> где ХІ — а или Ь, и определять для х = (х\\,... ,XN) величины рп = рп(х) координатным образом: рп(х) = Хп-

Вероятностная мера PJV = PN(XI> ¦ ¦ ¦ ,XN), относительно которой Ри- • • IPN независимы и выполнены свойства (53), определяется стандартным образом:

PN(X1,...,XN)=PV^ xN)qN-vk(x «jv)>

n

где vb(x\\,... ,xn) — іь(хі)-число тех Хі, которые равныb. l—l

Меру PJV ~ PJV будем строить последовательным образом: сначала Pi, затем Р2). •., PJV по формулам (Р„ = PJV | Зп, 9п = <т(рі, ¦ ¦ ¦, рп))

Рп(а-1) • • ¦ 5 хп) = Zn(x\\, ... 5 Xn) Pn (xi, . . . , Х„),

где Zn будут (шаг за шагом) находиться из формулы (43), которую, с уче-

%

том того, что 1 -(- ANn = п , можно записать в таком виде

¦^п-1

Ер„

гп-1

= г. (54)

Zn-i

При п = 1 (с 9о = {0,0}) из (54) находим

pbZ^b) + qaZ^a) = г, (55)

что вместе с условием нормировки

f»Zi(6) + «Z1(e) = l (56)

однозначным образом дает значения

b — а р b — a q

Обозначим

г — а _ 6 — г

р= Т. \' 1= и

Тогда

о — а Ь — а

(58)

РІ(Ь) = ЗД)РІ(Ь)=Р, Pi(e) = Z1(a)P1(e) = $\'.

Для отыскания Рг (и аналогично, Рз,..., Р JV ) снова воспользуемся формулой (54). Используя свойство независимости р\\ и р2 относительно меры Рг, находим из (52), что

.гфМ Z2[b,a)

bp~zM + aq^W=r- (59)

Дополнительное условие для определения значений Zi (6, b) и Zi (b, а) на-ходим из /словил мартингальности

Ep2[Z2(p1,p2)\\p1=b] = Z1(b),

что дает равенство

Z2(b,b) Za(b,fl)

т

Сопоставляя (59) и (60) с (55) и (56) соответственно, видим, что

Z2(b,b) _ г — а 1 _р Z2(b,а) _ д гг(Ь) ~ b — а р ~ р \' Zx( Ь) ~ q\'

Аналогичным же образом находим, что

Z2(a,b) _ р Z2(a,a) _ q Z^a) ~ р\' Zi(a) ~V

Значит,

P2(a,a) = Z2(a,a)q2 = Z^a)^ ¦ q2 = q2,

P2 (a, 6) = qp, P2 (6, a) = p q, P2 (6,6) = p 2.

Отсюда ясно, что по мере Р2 величины р\\ и р2 одинаково распределены и независимы, причем P2(/?i — b) =р, P2{pi = a) = q, і = 1,2.

Последующие шаги в отыскании Рз,..., PJV аналогичны и приводят к следующему результату.

Теорема 2. В GRR-модели, определенной в (52) и (53), мартин- галъная мера Рдг существует, единственна и определяется формулой

PN{x1,...1xN)=p^Xl--\'^qN-^xx--xf\\ (61)

где

~ г—а _ b — г , .

о — а о — а

Замечание. Отметим, что a priori не очевидно, что мартингальная мера PJV будет прямым произведением "одномерных" распределений,

Pw = Pi®--.®P1>

N

т.е., что величины pi,..., pN, независимые и одинаково распределенные относительно исходной меры Р JV , будут также независимыми и одинаково распределенными и по "мартингальной" мере PJV-