§ За. Каноническое представлениесемимартингалов. Случайные меры. Триплеты предсказуемых характеристик

Пусть Н — (Нп,9п)п^о - стохастическая последовательность, hn = ДНп (— Нп — Нп_і) для п ^ 1, и g — g(x) - ограниченная функция "урезания" т.е.

п п п

Я„ - Но + Y, = яо + ? (A* - g(hk)) + Y, 9(hk), (1) fc=l k=l k=l

то, в Силу разложения Дуба и ограниченности функции g(hk), из (1) нахо-дим, что

fc=i

n n

+ E ыы - і ^k-i)]+E [л* - sM ¦ (2)

Вводя меры скачков цк{А) = Іл(Ьк), А Є 88(R \\ {0}), к ^ 1, и их компенсаторы vk{A) = Е(іа (hk) 13-k-i) = P(hk Є A19k-i), из соотно- шения (2) получаем, что

Нп=Но+Т / д(х) vk(dx) + У2 9(x)(vk(dx) - vk{dx))

+ Y, [ (x-g(x))pk(dx). (3)

Подобно тому, как это делалось в § Зе, гл. V, соотношение (3) может быть переписано в следующем компактном виде:

Я = д * v + д * (р - v) + {х - д) * р. (4)

Представление (4) называется каноническим представлением последо-вательности Я — (НП1&П) „ неполезно заметить, что в том случае, когда E\\hk \\ < оо, k ^ 1, представление (4) остается верным, если в качестве функции д(х) взять функцию д(х) = х. По-другому это можно выразить словами, что разложение Дуба последовательности Н = (Я„, ) п имеет в этом случае следующий вид:

Я = х * v + х * (р. — v). (5)

2. Перейдем теперь к рассмотрению канонического представления семимартингалов Я = (Ht,&t)t^o в случае непрерывного времени.

Пусть д = д(х) - некоторая функция урезания. Положим

ЯЫ« = ?[ДЯ,-0(ДЯ,)]. (6)

s^t

Заметим, что ДHs — g(AHs) Ф 0, если только |ДHs | > Ь для некоторого Ь > 0. И поскольку для семимартингалов Y1 (Д-f^s)2 < оо (Р-п.н.) для

s^t

каждого t > 0 (см.

v

процесс Н(д) корректно определен, являясь процессом ограниченной ва-риации. Процесс

Щд) = Я - Н(д) (7)

имеет ограниченные скачки (\\АН(д)| < Ь) и, значит, является специальным семимартингалом (см. § 5Ь, гл. III), т. е. допускает каноническое раз-ложение

H(g)=H0 + M(g)+B(g), (8)

где В(д) = (Bt(g),9t)t^о ~ предсказуемый процесс ограниченной ва-риации с Во(д) = 0 и М(д) = (Mt(g),9t)t^о ~ локальный мартингал сМоЫ = 0.

Из (7) и (8) находим, что

Я = Но + М(д) + В(д) + ? - у(ДЯ,)]. (9)

s<

Это представление является непрерывным аналогом представления (2). Чтобы теперь из (9) получить аналог представления (4), нам понадобятся понятия случайной меры и ее компенсатора.

3. Пусть (Е, <о) - некоторое измеримое пространство.

Определение 1. Случайной мерой на R+ х Е называется семейство

у, = {n(dt,dx;u/); ш Є fi}

неотрицательных мер на (R+ х Е, (К+) ® ?), удовлетворяюпшх условию //({0} х Е-,ш) =0 для любого ш Є Q.

Пример 1. Классическим примером случайной (к тому же - целочисленной) меры jj, является пуассоновская мера, определяемая следующим образом.

Пусть для А Є SS(R+) S

m(A) — E р(А;ш),

причем m(A) является сг-конечной (положительной) мерой.

Будемпредцолагать, что для любого t Є R+ и множеств А Є ?$(R+) таких, что А С (t, оо) х Е, мера т(А) < оо и случайная величина ц{А, ¦) не зависит от сг-алгебры 9t-

Если для любого t Є R+ мера (интенсивности) т такова, что m({t} х Е) — 0, то у, называется пуассоновской мерой. Если, к тому же, m(dt,dx) = dtF(dx), где F - положительная сг-конечная мера, то ц называется однородной пуассоновской мерой.

Термин "пуассоновская" мера объясняется следующим ее свойством.

Пусть (Лг)г^х - последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств в R+ х Е с т(Аі) < оо. Тогда случайные величины р(Аі), і ^ 1, независимы и р(Аг) имеет пуассоновское распределение со средним т(Аі), т.е.

= = к = ол

(См.

В § 5а, гл. III, были введены две сг-алгебры би З6 подмножеств в R+ х Q, названные сг-алгебрами опциональных и предсказуемых подмножеств.

При использовании целочисленных случайных мер на R+ х Е важную роль играют сг-алгебры в = в <8> ? и Ф> = & также называемые опциональной и предсказуемой о-алгебрами подмножеств в М+ xfIxE.

Если W = W(t, и>, х) - опциональная функция на R+ х fi х Е и р - случайная мера, то будем обозначать через W * р = ((И^ * p)t (w), 3"t)t^o случайный процесс, где

(W*p)t(u>)=[ W(s,u>,x)p(ds,dx;u>) (10)

и интеграл понимается как интеграл Лебега-Стилтьеса для каждого ш Є fi и предполагается, что

/ \\W(s,w,x)\\p(ds,dx;u) < оо, t > 0. (11)

J(o,t]xE

Определение 2. Случайная мера р называется опциональной (пред-сказуемой), если процесс W * р является опциональным (предсказуемым) для каждой опциональной (предсказуемой) функции W = W(t,ш, х).

Определение 3. Опциональная мера р называется ЗР-о-конечной, ес-ли существует ^-измеримое разбиение (Ап)п^\\ множества R+ х fI х Е такое, что каждая из величин (1А„ * Р) ОО является интегрируемой.

Следующая теорема является непосредственным обобщением утверж-дения, сформулированного в следствии 2 (§5Ь, гл. III) к разложению Дуба-Мейера.

Теорема 1. Пусть р, - опциональная 2?-сг-конечная случайная мера. Существует и притом единственная с точностью до Р-неразличимости предсказуемая случайная мера v, называемая компенсатором меры ц, удовлетворяющая любому из двух эквивалентных условий:

Е(W * г/= Е(W * р) оо для любой неотрицательной -из-меримой функции W на BLf х fїх Е;

для любой SP-измеримой функции W на R+ х fi х Е такой, что процесс \\W\\ * р является локально интегрируемым, процесс \\W\\ * v также локально интегрируем uW * p — W *v является локальным мартингалом.

Доказательство и разнообразные свойства случайных мер и их ком-пенсаторов см. в [250; гл. II] или в [304; гл. 3].

Замечание. Одно из наглядных свойств компенсаторных мер v состоит в следующем.

Xt = ju((0,t] х А-,ш) -v{(0,t] х А;ш), t> 0,

является локальным мартингалом, в связи с чем р — v называют (случайной) мартингальной мерой.

Пример 2. Для пуассоновской случайной меры р, введенной в примере 1, ее компенсатор v совпадает с мерой интенсивности т.

4. Обратимсяк важному понятию "стохастического интеграла W* {p—v) по мартингальной мере р — v от ^-измеримой функции W = W(t, и>, х)". Если |W\\ * р Є fi^c то в соответствии с теоремой 1 процесс |W\\ * v Є и тогда естественно положить, по определению,

W*(p-v)=W*p-W*u. (12)

Нетрудно устанавливается, что так определенный процесс W * (р — v) = (W * (// - v)t)t>Q обладает следующими двумя свойствами:

является чисто разрывным локальным мартингалом (см. § 5Ь, гл. III);

его "скачки"

Д {W*(p-v))t = Wt, (13)

где

Wt = J W{t,ui,x) p{{t] x dx;uj) - J W{t,u>,x)v({t] x dx;u).

Эти свойства подсказывают естественность следующего определения (ср. с [250; гл. II, § Id], [304; гл. 3, §5]).

Определение 4. Под стохастическим интегралом W * (р — v) от ^-измеримой функции W — W(t,uj,x) по мартингальной мере p — v понимается чисто разрывный локальный мартингал X - (Xf)t^ о такой, что процессы АХ = (AXt)t^o и W = (Wt)t^о являются неразличимыми.

Выше мы видели, что если компенсатор v меры р таков, что | W | * v є (или, равносильно, \\W\\ * р Є Мое)\'10 тогда в качестве чисто разрывного локального мартингала X можно взять процесс W * р — W * v.

Однако, условие \\ W\\ * v Є обеспечивающее существование такого процесса X с ДХ : W, может быть ослаблено.

С этой целью введем некоторые обозначения и ограничимся лишь приведением результатов, отсылая за деталями к упомянутым монографиям [250] и [304].

Пусть

at И = v({t} х Е;ш), д(ш,В) = >0)(1-а,Н), В Є 38 (R+),

зЄВ

Wt(u)= [ W(t,w,x)v({t}-xdx\\uj).

JE

/ Е

Будем предполагать, что для любого конечного марковского момента т(ш)

L

|W(t(w),w,:e)| i/({t(w)} х dx\\u>) < оо (Р-п.н.),

Е

и положим

G(W)= *q. (14) .

1 + \\W-W\\ 1+\\W\\

Теорема 2.

G(W) Є <с. (15)

Тогда существует и притом единственный (с точностью до сто-хастической неразличимости) чисто разрывный локальный мартингал, обозначаемый W * {р — и), такой, что

A(W*(p-v)) — W.

Следствие. Пусть W — 0. Тогда, если

l + \\W\\ 1ос\'

то стохастический интеграл W*(/x— v) по мартингальной мере ц—v определен (как чисто разрывный локальный мартингал, такой, что

&(W*(n-v)) = fW(t,u,x)it({t} Х(іх;ш)У Замечание. Пусть W = 0. Тогда

[W* (p-v), W* (p-v)] = W2 *//, (16)

что следует из того замечания, что

\\W*{n-v),W*{p-uj\\t= J2 (A(W*(p-v))s)2 = (W2*p)t.

О Из приведенного равенства (16) очевидным образом получаем, что предсказуемая квадратическая вариация

(W*(ji- v), W * (м - v)) = W2 * v.

5. Частным случаем случайных (и, к тому же, целочисленных) мер являются меры скачков (ін процессов Н = (Ht, с непрерывными справа и имеющими пределы слева траекториями (в частности, семимар- тингалов):

/іН((0,І]ХА;О;) = ? /л(ДЯ.Н),

О где А Є \\ {0}).

Так определенная на BLf х Е (с Е — К \\ {0}) случайная мера цн является ^-ст-конечной, и, следовательно, согласно сформулированной выше теореме, для меры определен ее компенсатор vH. Обратимся снова к каноническому разложению (9). С помощью случайной меры скачков цн последнее слагаемое в правой части в (9) может быть записано в виде

ДЯ8 - д(Д Я,)] = (х- д(х)) * Мн.

В § 5Ь (п. 6), гл. III, отмечалось, что всякий локальный мартингал может быть представлен (и притом единственным образом) в виде суммы непрерывного и чисто разрывного локальных мартингалов. Поэтому локальный мартингал М(д) из (9) может быть представлен в виде

M(g)t = М(д)0 + M(g)ct + M(g)d, (17)

где М(д)с - непрерывная, a M(g)d - чисто разрывная компоненты.

Непрерывный локальный мартингал М(д)с на самом деле не зависит от д, и, как отмечалось в § 5Ь (п. 6), гл. III, для него обычно используется обозначение Нс.

Что же касается чисто разрывной составляющей M(g)d, являющейся чисто разрывным локальным мартингалом, то она может быть представ-лена в виде

M(g)d=[ g(x)d(pH -и11). (18)

J(0,t]xK

Чтобы установить справедливость этого представления, надо убедиться в том, во-первых, что функция G(g) Є Мое\' и> во-вторых, что скачки локальных мартингалов, стоящих в левой и правой частях в (18), совпада-ют.

Если предположить, что vH{{t] х Е; со) = 0, то тогда

и локальная интегрируемость этого процесса следует из того, что д = д{х) является функцией урезания и (ж2 А 1) * vH Є Мое для любего семимартингала Н. Тем самым, в рассматриваемом случае "интеграл" в (18) определен.

Далее, AM(g)d = АМ(д) = д(АН) - АВ(д), где

ДB(g)t = [ д(х) uH({t} х dx-co) (19)

J R

([250; гл. II, 2.14]). Поэтому в предположении vH({t} х Е; и) = 0 видим, что ДB(g)t = 0 и, значит, AM(g)d = д(АН). Но Ад * (рн - vH) также равно д(АН), и, следовательно, скачки у чисто разрывных локальных мартингалов в левой и правой частях (18) совпадают.

Тем самым, из (9) с учетом (17)—(18) получаем следующее представление:

Я = Н0 + В(д) +Нс + д*(рн - vH) + (х - д(х)) * , (20)

которое называется каноническим представлением семимартингала Я.

Сравнивая представление (20) с представлением (4) для случая дискрет-ного времени, мы видим, что внешне они отличаются прежде всего наличием в (20) непрерывной составляющей Яс.

В каноническом представлении (20) есть две "предсказуемые" компоненты: В(д) и vH. Третьей важной характеристикой семимартингала Я является "угловая скобка" (Яс), являющаяся (предсказуемым) компенсатором непрерывного локально квадратично интегрируемого мартингала Яс.

Определение 5. Пусть Я = (Ht,9t)t^o ~ семимартингал и д = д(х) - некоторая функция урезания. Обозначим В = В(д), С — (Яс), v - vH. Набор

Т = (В, С, v) (21)

называется триплетом предсказуемых характеристик семимартинга-ла Я.

Важно подчеркнуть, что компоненты Спив триплете Т не зависят от выбора функции "урезания" g = g(x). Но характеристика В зависит от д. При этом, если д и д\' - две разные функции "урезания" то

B(g)-B(g\') = (g-g\')*v.

Приведен некоторые свойства семимартингалов, выражаемые в тер-минах предсказуемых характеристик В, С ни.

а) Если Я - семимартингал, то

(х2 А 1) * v Є six ос,

т.е. процесс ( I (х2 А 1) dv) является локально интегрируемым. VJ(o,t]xRv \' о

Иначе говоря, существует последовательность марковских моментов т„, т„ t 00 (Р-п-н.), такая, что

Е / (ж2 А 1 )dv < оо. J(o,t]xR

Семимартингал Я является специальным (в частности, локальным мартингалом) в том и только в том случае, когда

(х2 А |ж|) * v Є Мое-

Семимартингал Я является локально квадратично интегрируемым семимартингалом в том и только в том случае, когда

х2 * v Є Мое-

В основе доказательства свойства а) лежит тот факт, что для семимартингалов (AHS)2 < оо (Р-Н.Н.), t > 0; см. замечание 3 в §5Ь, гл. III. По

поводу доказательства свойств Ь) и с) см. [250; гл. II, § 2Ь].

Если Н — Но + N + А - каноническое разложение специального семимартингала Я, то

Я = Но + Нс + X * (м - v) + А. (22)

Иначе говоря, для специальных семимартингалов Я в их каноническом представлении (20) можно взять д(х) — х.

С триплетом Т = (В, С, v) предсказуемых характеристик семимартингала Я свяжем (для каждого в Є К) следующий предсказуемый про-цесс ограниченной вариации

Ф(*)« = idBt ~YCt + f (еіЄх ~1 ~ х (23)

называемый кумулянтой (процесса Я); ср. с § lb, гл. III. Пусть

С(0)=#(Ф(0)), (24)

где0 - стохастическая экспонента, построенная по Ф(0) (см. гл. III, §5с, пример 1):

*(ф(0))4=е*<в>« П (1 + ДФ(0)*)е-Лф^.

О Теорема 3. Пусть ДФ(0) t ф —1, t > 0. Тогда следующие утверждения являются равносильными:

Н - семимартингал с характеристиками {В, С, v)\\

для любого в Є К процесс

еівщ

t > 0, (26)

С(в)г \'

является локальным мартингалом.

(По поводу доказательства, в основе которого лежит формула Ито для семимартингалов, см. [250; гл. II, §2d].)

f) В классе семимартингалов наиболее просто устроены процессы Н = (Ht,&t)t^o, являющиеся в то же самое время процессами с независимыми приращениями. Их отличительное свойство состоит в том, что для них триплет Т = (В, С, v) является неслучайным. Иначе говоря, В = (Bt)t^0, С = (Ct)t^o и компенсаторная мера и — і>{dt,dx) не зависят от ш (см. [250; гл. П,"§4с]).

Тем самым, для таких процессов кумулянта Ф (в) не зависит от ш, и если ДФ(0) ф —1, что соответствует непрерывности по вероятности процесса Н = (Ht), то из (22) получаем формулу Леви-Хинчина (Но — 0):

Eei0Ht _ еФ(0)«

= exp jf0?t - уCt + J(еівх - 1 - івд{х)) 1/((0,t] х dx) J. (27)

В случае процессов Леви

Bt=b-t, Ct = c-t, v(dt,dx) = dt ¦ u(dx)

где

в2

ф(в) = івь - у с + J (еівх - 1 - івд(х)) і\'{dx). (28)

(Наряду с Ф (0)t функцию ф(в) также называют кумулянтой.) Мера v = і/(dx) удовлетворяет условиям

i/({0}) =0, (х2 А 1) * v < оо (29)

и носит название меры Леви. (Ср. с § lb, гл. III.)

Рассмотрим следующий частный случай процессов Леви - "пропесс броуновского движения со сносом и пуассоновскими скачками"

Более точно, пусть

Nt

Ht = mt + aWt + Y,&> (3°)

fc=i

где W = -винеровскийпроцесс (броуновское движение), ?2,•• •

- независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F(x) = Р(^ ^ х), N = (Nt)t^0 - стандартный процесс Пуассона с параметром А > О (ЕNt — At). Предполагается, что W, N и (?i, , • ¦ •) совместно независимы.

С л ешующая цепочка соотношений легко приводит к каноническому пред-ставлению, из которого находится и триплет предсказуемых характеристик:

Nt ft г

Ht — mt + aWt + У^ = mt + aWt + I xdp k=і Jo J

= (mt + J^j g{x) dv^J + (aWt + J j g(x) d(p - v) j + J J(x- g{x)) dp

A Jg(x) F(dxfj + (aWt + jf J g(x) d(p - v) j + J J{x - g(x)) dp. Отсюда видим, что

B(g)t=t(m + A J g(x)F(dx)j,

Ct = a2t, dv = A dtF{dx).

Случайные последовательности H — (Hn, с дискретным временем естественным образом вкладываются в модели с непрерывным

п

временем (см. гл. II, § If). ЕслиНп — Но + 22 hk с hk = ДНк, то триплет

fc=i

Т = (В(д),С, v) имеет следующую структуру:

B(9)t= ? E[9(hk)\\&k-i],

і dis{(0,t]x А;ш) = ? P(Afc &А\\9к-х)

Kfc<[t]

cA€®(R\\{0}).