§ lb. Разложение Дуба.Канонические представления

S„=S0eH", Н„ ~ hi + ¦ ¦ ¦ + hn, (1)

величины h„, п ^ 1, имеют конечные абсолютные первые моменты, Е|А„| < оо, п ^ 1.

Разложение Дуба, о котором пойдет речь дальше, предполагает изучение последовательности Н = (Нп) в зависимости от свойств фильт-рации (Зп), т.е.

Поскольку Е|/г„| < оо, п ^ 1, то определены условные математические ожидания Е(/гп | и, значит,

Нп = ? E(Afc 19k-x) + ? [Afc - Е(hk І . (2)

k^-п k^n

Иначе говоря, если

An = ? E(Afc I (3)

k^n

Mn = ?[Afc- E(Afc|^k_1)], (4)

k^n

то для H = (#n)nS>0 с Ho — 0 справедливо разложение Дуба

Hn=An+Mn, О, (5)

где

последовательность А = (Ап)п>0 с Ао = 0является предсказуемой в том смысле, что при каждом п ^ 1

Л-n ~ ^„-1-измеримы;

последовательность М = (Мп)п>о с Мо = 0 является мартингалом, т. е. при каждом п ^ 1 выполнено свойство

E(Mn|^n_i)=M„_1 (Р-п-н.),

при этом величины Мп являются Зп-измеримыми с Е|Мп | < оо при каждом п > 1.

Замечание. Предположим, что наряду с фильтрацией (&п) задана подфильтрация (^„), где С 3-п и С Для Я = (Я„) можно

написать аналог разложения (5) относительно потока (*^„):

п п

#« = ? Е(Л* | + - E(Afc | %_!)).

fc=l л=і

Последовательность А = (Ап) с элементами

п

An = J24hk\\%-1) i=l

будет ("$„)- предсказуемой (т. е. Ап - сёп-\\ -измеримы), но М = (М„),

п

Mn = Y/(hk-E(hk\\yk-1)) к=1

не будет, вообще говоря, мартингалом относительно потока (^„), поскольку hk являются измеримыми относительно но не относительно Отважно отметить, что если наряду с (5) мы имеем другое разложение

Я„ = А\'п + М\'п

с предсказуемой (относительно потока (^„)) последовательностью А\' — (А\'п,&п),А\'0 = 0, и мартингалом Л/\' = то А\'п = Л„, М\'п = Мп

для всех п ^ 0.

- К = (An+i - А,) + (мп+1 - мп) - (м;+1 -

Отсюда, беря от обеих частей условное математическое ожидание Е( • | находим, что А\'п+1 — А\'п ~ Ап+1 — Ап (в силу ^„-измеримости А\'п+1 иіп+і). Но А\'0 = Ао = 0, и, значит, А\'п = Ап и М^ = М„ для всех n ^ 0. Тем самым, разложение (1) с предсказуемой последовательностью А = (А„) является единственным.

Отметим также, что если в рассматриваемой модели Е(hk | &к-\\) = 0, к ^ 1, то, согласно (2), сама последовательность Я = (Я„ршляется л«ар- тингалом.

Приведем следующий пример на "разложение Дуба", хорошо иллюстрирующий "нетривиальность" этого разложения, несмотря на его простоту.

Пример. Пусть Хп = ?1 Н Ь ?„, где (?„) - независимые бернулли-

евские величины такие, что

Р(?„ = ±1)=Л.

Рассмотрим разложение Дуба для Нп = |Xn|, п ^ 0, Хо = 0. Здесь

А„ = ДЯ„ = Д|ХП| = \\Хп\\ - |Х„_!| = |X„_i + - |Xn_i|, и ясно, что

АМп = А„ - E(hn 1п—і) = |JT„_i + ?„| - EdJTn-x + ?„| 1&n-i)

= \\Xn-! + f„| - E(|Xn_i + ?„|\\Xn-X) — (SgnX„_i)f„,

где •

Г 1, s>0, Sgn x = < 0, i = 0, [ -1, x < 0.

Таким образом, для мартингала М = (M„)n^i в разложении (5) имеем

Мп= ? (Sgn Xk-i)AXk. 1

Далее,

) - |jr„-i|.

На множестве {u>: X„_i = і} с і Ф 0 правая часть равна нулю. Если же і = 0, то правая часть равна единице. Поэтому

71

J2 E(hi | 1) = iV{l < fc < n: = 0}, i=l

где N{1 < к < n: X/.-1 = 0} - число тех fc, 1 < к < n, для которых Xfe_i = 0.

Если обозначить L„(0) = N{0 < A; < n — 1: = 0} - число нулей последовательности {Хк)о^.к^.п—її то находим

|Х„|= ? (SgnXfc-OAXfc + LnfO),

что есть дискретный аналог известной формулы Танака для модуля броуновского движения (см. § 5с, гл. III). Между прочим, отсюда видно, что

ELn(0) = E|JTn|. X /2

Поскольку —р: ~ jY(0,1), то E|Xn| ~ \\/ —п, и, значит,

¦S/n V 7Г

EXn(0) ~ yjZ,

- известный результат о среднем числе мул ей в симметричном случайном блужданииБернулли (см., например, [156]).

2.

Ml= ? ? (ДМЇ-ЕІАМ*]?^)), (6)

l^fc^n l^fe^n

где AMI = М%- . Положим

(М>„= ? ^ДМЦ^), m„= ? (AMfe2-E(AMfe2!^fc_x)).

С этими обозначениями разложение (6) можно записать в виде

M2 = (M)n + m„, (8)

где (предсказуемая) последовательность (М) = {{М)п)п>1 называется квадратической характеристикой мартингала М (см. также с. 369). Заметим, что поскольку М - (Мп) есть мартингал, то

Е[AMI I = Е( (AMk)2 I (9)

Это свойство объясняет, почему квадратическую характеристику (М) называют также предсказуемой квадратической вариацией (квадратично интегрируемого) мартингала М. При этом термин квадратическая вариация резервируется для (непредсказуемой, вообще говоря) последовательности [М] = ([M]n)n^i со значениями (см. также с. 367)

[М]п = ?( ДМ*)2. (10)

к<п

Предположим сейчас, что последовательность Н = (Нп) сама является мартингалом и к тому же - квадратично интегрируемым, т. е. пусть Е{АНк | = E(hk I = 0 и Eh2k < оо, к > 1. Тогда

(Н)п = ? E(h\\ | (11)

к^п

Величины E(h\\ | З\'к-і), из которых складывается квадратическая характеристика (Н)п, определяют степень изменчивости (волатильности) мартингала Н и во многом - его свойства. Например, если с вероятностью единица (Н)п —> оо, то для квадратично интегрируемого мартингала Н имеет место усиленный закон больших чисел: при п —> оо

(Р-п.н.). (12)

(См. [439; гл. VII, §5].)

В дальнейшем набор величин | k>1 будет играть су

щественную роль при анализе временных финансовых рядов S = \'(Sn) с Sn = SoeHn. Применительно к этому случаю и следуя принятой в теории финансов терминологии, последовательность (Е(Л^ | ^ife_i))fc> будем называть стохастической волатильностью. (Подробнее о волатильности см. раздел 3.)

Если условные математические ожидания E(h\\ | S"k-x) совпадают с безусловными (например, если (hn) есть последовательность независимых случайных величин и — ,..., hk-i) - ст-алгебра, порожденная величинами Лі,...,/іп_і),то волатильность - это просто набор дисперсий — Еh\\ (предполагается, Что ЕЛ* = 0), k ^ 1, которые являются стандартными мерами разброса (изменчивости) величин

При написании разложения Дуба (2) ИЛИ (5) предполагалось, что E\\hk\\ < оо, к ^ 1.

С этой целью напомним, что если Е|/і*.| < оо, то условное математическое ожидание E(hk | 3"k-i) определяется по Колмогорову как такая

3-к -1-измеримая случайная величина, которая для любого А € удовлетворяет условию

[ E(hk\\?k-1)dP= [ hkdP. (13)

J A J А

При этом существование такой случайной величины следует из теоремы Радона-Никодима. См., например, [439; гл. II, § 7].

Однако заметим, что предположение E\\hk\\ < оо вовсе не является необходимым для существования 3"к-1 -измеримой величины Е (hk \\ удовлетворяющей (13). Например, когда hk > 0 (Р-п.н.), эту величину можно определить и без требования Еhk < оо.

Отсюда возникает идея определения обобщ енного условного математического ожидания, также обозначаемого Е(hk | 3"к-1), следующим образом.

Представим hk в виде

hk=h~j; - h~,

где = тах(Лд;,0), hZ = — тіп(й/., 0). Будем предполагать, что существуют такие версии Е (h^ 13-к-\\)(и) и Е (h^ \\ &к-і)(ш), что для всех

тЦЕф+І^-ОИ.Е^ І^-ОИ} < оо. (14)

Тогда, по определению, мы полагаем

Е(А* | і)Н = Е(Л+ | - Е(Л* | (15)

и называем E(hk 13"к-\\) обобщенным условным математическим ожиданием.

Если E\\hk\\ < оо, то очевидным образом обобщенное математическое ожидание совпадает с обычным условным математическим ожиданием.

В том случае, когда E(|/ifc| | &к-1)(^) < оо,ш Є П, свойство (14) выполнено очевидным образом и Е(hk | не только определено, но и конечно для всех OJ Є Q. В этом случае мы говорим, что обобщенное условное математическое ожидание Е(hk 13"к-1) определено и конечно.

Замечание. Следуя общему духу теории вероятностей, рассматривающей, как правило, выполнение тех или иных свойств не "для каждого

6 П" а лишь "для почти всех и> 6 П" данное выше определение обобщенного условного математического ожидания легко переформулировать

и в варианте "для почти всех ш € Щ доопределяя Е(hk | i)(w) про-извольным образом на множестве нулевой вероятности, где свойство (14) нарушается.

Обратимся теперь к представлению (2).

5. Остановимся также на соответствующем разложении (или, как будет дальше говориться, представлении) в том случае, когда условные ма-тематические ожидания E(hk 13"к-1) ("обычные" или обобщенные) не определены.

В этом случае можно поступить, например, таким образом.

Представим величины hk в виде:

hk = hkI(\\hk\\ < а) + hkI{\\hk\\ > а),

где а - некоторая константа; обычно полагают а = 1.

Величины hkI(\\hk\\ ^ а) уже имеют абсолютный первый момент, и, следовательно,

= J2 hkI(\\hk\\^a)

= ]Г Е^ДІЛьКа)!^)

+ ? [hkI(\\hk\\^a)-E(hkI(\\hk\\^a)\\&k-1)} [ = A^+M^). (16)

Тем самым,

Hn=A^ + M^+ ? А*7(|Л*| > а), (17)

где

)п>1 - предсказуемая последовательность, (М^а))п>1 - мартингал и ( hkl{\\hk\\ > а)) - последовательность "больших"

скачков.

Следуя терминологии, принятой в "обшей теории случайных процессов" (см. раздел 5 в гл. III и [250; § 4с, гл. I]), представление (17) будем называть каноническим представлением Н.

Отметим, что если наряду с (16) имеется другое представление Н вида

Нп = А\'п + М\'п + hkI(\\hk\\>a) (18)

с предсказуемой последовательностью (А\'п) и мартингалом {М\'п), то необ-ходимым образом А\'п = А(^а), М\'п =

Иначе говоря, представление вида (18) единственно и совпадает с (17), что оправдывает название для этого представления как канонического.