§2d. Опциональное разложение
Через будем обозначать множество таких вероятностных мер Р
на (Я, что Р ~ Р, и относительно каждой из них процесс S является мартингалом. Предполагается, что ф 0. Меры Р Є называ
ются мартингальными (для S).
Что же касается процесса X — (Хп)п^м, то основное предположение будет состоять в том, что относительно каждой из мер Р Є он явля
ется супермартингалом.
Если рассматривать X по отношению к какой-то конкретной мере Р Є ?^(Р), то, согласно разложению Дуба (§ lb, гл. П),
Х„=Х0 + Mjf>-Cf>, (1)
где М^ = (Мп^ ,&п,Р)- мартингал и С^ = (СІР),^п_і, Р) -неубывающий предсказуемый процесс, Л4Р) = О, с?Р) = 0. Компоненты и С(р) в разложении (1) зависят от рассматриваемой меры Р, что и подчер-кивается введением в их обозначение зависимости от этой меры.
В приводимой ниже теореме дается иное, так называемое опциональное, разложение процесса X, интересное тем, что оно носит универсальный характер в том смысле, что компоненты этого разложения (см. (2)) одни и те же для всех мер Р Є ?^(Р).
Теорема. Процесс X, являющийся супермартингалом относительно любой из мартингальных мер Р Є ?^(Р), допускает (опциональное) разложение
п
Xn=X0 + J2 Ы, ASk) -Сп, п ^ N, (2)
fc=i
с предсказуемым Rd-значным процессом 7 = {"fk)k^N и неубывающим процессом С = (Cn)„ Замечание. чает просто его согласованность или адаптированность с фильтрацией т.е. ^„-измеримость величин С„, n ^ 0. По поводу понятий опциональности см. § 5а, гл. Ill, и [250; гл. I, § 1с]. Первые версии сформулированной теоремы для случая непрерывного времени были даны, как уже отмечалось в § 1с, в работал; [136] и [281]. Вскоре появилось несколько работ как для непрерывного, так и для дискретного времени ([99], [163]—[165]), в которых ослаблялись, в частности, предположения, сделанные в [136] и [281], и давались различные варианты доказательств. Приводимое ниже доказательство следует схеме, предложенной в работах [163], [164] Г. Фёльмером и Ю.М. Кабановым, и основанной на идее получения величин в (2) как множителей Лагранжа для некоторой оптимизационной задачи с ограничениями. (Доказательство будет использовать также некоторые результаты из § 2е, гл. V.) 2. В соответствии с [163] и [164], требуемое разложение (2) будет установлено, если показать, что величины АХп = Хп — для каждого n = 1,..., IV могут быть представлены в виде АХ„ = (7„,А5п)-с„ (3) с некоторой _1 -измеримой К^-значной величиной 7„ и некоторой неотрицательной ^„-измеримой величиной сп. Для получения такого представления для ДХ„, на самом деле, достаточно лить только показать, что (при сформулированных предположениях на X и S) найдется _ і -измеримая Позначная величина уп такая, что АХП-(7„,А5„) <0, (4) поскольку тогда в качестве требуемой величины сп надо просто взять величину (7„, ASn) - АХп. Заметим также, что если Р Є ?^(Р), то Ев|А5„| < оо, Ер(А5„ | Зп-і) = 0 (5) и Ер|АХ„| < оо, Ер(АХп | ^ 0. (6) ~ ~ , dP Если Р„ и Рп являются сужениями мер Р и Р на с Zn = -тг—, то по d?n dPn\' "лемме о пересчете" (§ За, гл. V) Ер(Д5„ | ^„-i) = Ep(znA5„ I ?•„_!), (7) Ер(АХп = Ep(znAXn I (8) Zn где zn = — . Отсюда нетрудно увидеть, что требуемое утверждение (4) будет вытекать из следующего общего предложения (в котором надо будет положить ? = Д-Хп и V = имеющего и самостоятельный "чисто вероятност ный" интерес. Лемма. Пусть является о-подалгеброй и Z - множество всех случайных величин z > 0 таких, что Р-пл. E(s|S) = l, E(|?|s|3) Если Z ф 0 и для всех z Є Z E(s?|*K0, (И) то найдется <3-измеримый ЖЛ-значный вектор А* такой, что Р-п.н. ?+(А*,77)<0. (12) Доказательство, а) Идея доказательства становится весьма проз-рачной в том случае, когда $ является тривиальной «т-подалгеброй, т. е. $ = {0, ft}. В этом случае искомый вектор А* является неслучайным и может быть выбран, как показывается ниже, "множителем Лагранжа" в некоторой оптимизационной задаче. В том же случае, когда «т-подалгебра $ не является тривиальной, те же самые рассмотрения, но проводимые для "каждого ш", снова дают вектор А*, определенный, вообще говоря, неоднозначно, который уже будет зависеть от и>. И вся проблема после этого состоит в том, чтобы доказать, что возможен Я!-измеримый выбор А*. Напомним, что такая же проблема уже возникала в § 2е, гл. V, при доказательстве расширенного варианта первой фундаментальной теоремы (при доказательстве импликаций а\') е) и е) Ь)) и для ее решения привлекались некоторые общие результаты о существовании "измеримого селектора" (лемма 2 в § 2е, гл. V). Та же техника может быть применима в рассматриваемой сейчас схеме и для доказательства существования ^-измеримого селектора Л*. Отсылая за деталями соответствующих рассуждений к работам [163] и [164], отметим, что эта проблема измеримого выбора не возникает в случае дискретного пространства Г1. Ь) Итак, будем предполагать, что $ = {0,О,}. Обозначим Q = Q(dx, dy) - меру на М х М"1, порождаемую величинами ?и т} = (т)1,... ,r)d): Q(dx,dx) = Р(? Є dx,r) Є dy). Без ограничения общности можно считать, что семейство случайных величин г)1,... ,r)d образует (Р-п.н.) линейно независимую систему, т.е. такую, что если при некоторых a1,... ,ad выполнено а1 г)1 Н 1- adr)d = О (Р-п.н.), то а1 = • • • = ad = 0. В самом деле, в выражение (12) компоненты г)1,... ,r)d входят линейным образом, и если бы они образовывали линейно зависимую систему, то тогда проблема сводилась бы к рассмотрению вектора г) меньшей размерности. Как ив §2е, гл. V, будем обозначать L°( Q) "относительную" внутрен-ность замкнутой выпуклой оболочки L(Q) топологического носителя K(Q) меры Q. Пусть х\' = (х,у), х Є Rd, у Є Md+1, и Z(Q) - семейство борелевских функций z = z(x\') > 0 таких, что ЕQZ = 1, Eqjar\']^r < оо. Обозначим $(Q) = { Из леммы 1, §2e, гл. V, следует, что L°(Q) С $(Q) (на самом деле, L°(Q) = Ф(0)) иеслиО ^ L°(Q), то найдется вектор 7\' в такой, что Q{x\':(7\