§ За. Модель "больших" финансовых рынков

Подобно тому, как теория Г. Марковитца (§ 2Ь, гл. I) базировалась на анализе среднего значения и дисперсии капитала разных портфелей ценных бумаг, так и в теории С. Росса асимптотический арбитраж определяется с помощью этих характеристик.

В настоящем разделе асимптотический арбитраж будет определяться несколько иначе и более соответствовать той концепции "арбитража" которая рассматривалась в § 2а, гл. V, и которая по своему духу более соответствует "мартингальному" подходу, пронизывающему все наше изложение.

Расширяя принятую ранее модель (В, й^-рынка, состоящего из банковского счета В = (Вк)к<п и d-мерной акции S = (Sk)kбудем сейчас предполагать, что имеется схема серий п-рынков

(Bn,Sn) = (Bk,Sk)k^k(n)

с Sj: — (Sk\' ,... ,Sk \'), каждый из которых действует на своем фильтрованном вероятностном пространстве

Предполагается, что п > 1 и = {0,fin}, = Цп) < оо,

d(n) < оо.

Поскольку основной наш интерес будет относиться к рассмотрению тех случаев, когда к(п) —»¦ оо и/или d(n) —»¦ оо при п —»¦ оо, то именно в этом смысле и употребляется термин "большие" рынки.

Замечание. При рассмотрении схемы серий фильтрованных вероятностных пространств индекс п будет соответствовать номеру серии, а индекс к будет играть роль временного параметра.

3. Пусть _Х"*(П) = fc(n) - капитал некоторого самофинансиру

емого портфеля 7г(п) на (Вп, S1" )-рынке.

Напомним, что, согласно принятому изложению, предполагается, что величины -Bjj? положительны и г -измеримы. Как это уже объяснялось в конце § 2Ь, гл. V, без ограничения общности можно полагать = 1, что соответствует переходу к рассмотрению дисконтированных цен.

i=i

i=1

Определение 1. Б удем гов орить, что в схеме серий (В, S) = {(Bn,Sn), п ^ 1} п-рынков (Bn,Sn) последовательность стратегий 7г = (7г(п))п^і реализует асимптотический арбитраж, если

limX0\'r(n) = 0, (2)

п

ХНп)>-с(п) (Р"-п-н.), (3)

где 0 < с(п) 4- 0, п —> оо, и

ІітШпР" (Х$п) ^ є) > 0. (4)

є4.0 п v fe(") у v \'

Если пользоваться введенными обозначениями и понятиями, то можно сказать (несколько обобщая рассмотрения в § 2d, гл. II), что асимптотический арбитраж в APT имеет место тогда, когда найдутся подпоследо-вательность (п\') С (п) и последовательность стратегий (ж(п\')) такие, что

<П,) = О, оо, 0, л\' 00.

Данное выше определение асимптотического арбитража (4) с "мартингальной" точки зрения является более предпочтительным и более удобным, нежели определение теории APT, что может быть объяснено следующим образом.

Во-первых, определение (4) можно рассматривать как естественное обобщение принятого ранее (§ 2а, гл. V) определения арбитражных возможностей, которое, как мы знаем из первой фундаментальной теоремы, самым непосредственным образом связывает "Теорию арбитража" с "Теорией мартингалов и стохастическим исчислением"

Во-вторых, в случае определения (4), атакжеиряда других родственных определений (см. [260], [261], [273]), удается получать эффективные критерии отсутствия асимптотического арбитража, выраженные, в том числе, в терминах таких объектов, хорошо известных в статистике случайных процессов как "интеграл Хеллингера" "процесс Хеллингера" (см. [250; гл. V]).

4. Определение 2. (В, §)-рынок, представляющий совокупность {(Вп, Sn), тг ^ 1} п-рынков, называется локально безарбитражным, если для каждого п ^ 1 рынки (Bn,Sn) являются безарбитражными (§2а, гл. V).

Основной вопрос, рассматриваемый ниже, состоит в отыскании условий, при которых в локально безарбитражном (В, §)-рынке не возникает асимптотический арбитраж (в смысле данного выше определения 1).

Возникновение асимптотического арбитража при п —оо может быть обусловлено разными причинами: за счет увеличения числа акций (d(n) —» оо), за счет увеличения временного интервала (k(n) —» оо; см.

В связи с упомянутой "асимптотической эквивалентностью мер" а также соответствующими асимптотическими понятиями "абсолютной непрерывности" и "сингулярности" последовательностей вероятностных мер, отметим, что они допускают точную формулировку с привлечением понятий "контингуальности" и "полной асимптотической разделимости" (см. [250,-гл. V], где описаны также и критерии их выполнимости в терминах интегралов и процессов Хеллингера).

На важность этих понятий для проблем асимптотического арбитража на больших рынках впервые было указано в работе Ю.М. Кабанова и Д. О. Крамкова [261], в которой были введены понятия асимпотинеско- го арбитража первого и второго рода. (Введенный в определении 1 асимптотический арбитраж совпадает, в сущности, с асимптотическим арбитражем первого рода.) Значительное продвижение в теории асимп-тотического арбитража было затем получено в работах И. Клейн и В. Шахермайера [273] и Ю. М. Кабанова и Л. О. Крамкова [260].