§ЗЬ. Критерии отсутствияасимптотического арбитража

К(п) = ХоМ + Х>">(D i=i

Если Qn - некоторая мера на (Оп, ) такая, что Q" «С Рп, то по "формуле Байеса" (формула (4) в § За, гл.

Eg- (Кії І = І (2)

dQn

где = Qk = Q" ! Pfc = P" I (Предполагается, что условное математическое ожидание в левой части (2) определено.)

Будем предполагать, что каждый n-рынок (Bn,S"), п ^ 1, является безарбитражным и, следовательно, в соответствии с первой фундаментальной теоремой (§§ 2Ь, 2е, гл. V) семейство мартингальных мер @>(Рп) ф 0.

Пусть Р" Є и 7г(п) - стратегия, для которой

Ерп«^)-<сх. (3)

Тогда, в силу леммы из § 1с, гл. II, находим, что последовательность = (Xk^)kЗначит, Ер„ | < оо и для к ^ к{п)

Понятно, что ЕРп |\\ = Ер„ | < оо, и, в силу (2) и (4),

K{n)Z? = EPn I (P«- и P"- П.Н.). (5)

Таким образом, предположение (3) обеспечивает в рассматриваемом случае дискретного времени к < к(п) < оо, что

/уж(п) д-п ?п\\ „ (у-*(п)г7П ®П рП\\

V fc \'^fc\'p Jfcявляются мартингалами. (Ср. с леммой в § 3d, гл. V.)

В частности,

Х«п) = (6)

х^п) = (7)

Каждое из этих равносильных соотношений может быть использовано для получения условий того, что рассматриваемая стратегия ж(п) является безарбитражной, а последовательность стратегий ж = {ж(п))„^і - асимптотически безарбитражной. (Отметим, что, в сущности, именно эти соотношения и были использованы в § 2с, гл. V, при доказательстве "достаточности" в первой фундаментальной теореме.)

Замечание. Для справедливости формул (4)-(7) нет надобности тре- бовать, чтобы Р" ~ Рп. Для их выполнимости достаточно лишь условия pn ^ рп Однако свойство Р" Р" все равно приходится предполагать выполненным, если выводить отсутствие арбитража, скажем, из (7).

Действительно, пусть стратегия ж(п) такова, что XQ^ ~ О, Х*^ Jj О (Р"-п.н.), и А = {Хц^ > О}.

Поэтому-то для заключения из предположения Р" ^ 0) = 1 и ра

венства 0 = Ертого свойства, что Р" = 0) = 1, и

приходится предполагать, что > 0) = 1. (Согласно утвержде

нию f) теоремы из § За, гл. V, отсюда вытекает абсолютная непрерывность

рп ^ рп )

Тем самым, заложенное в понятии мартингальной меры Рп требование ее эквивалентности мере Р" обеспечивает, в частности, свойство

0<2j(n)2. Отыскание критериев отсутствия асимптотического арбитражанач- нем для простоты со "стационарного" случая, понимая под этим, что (В,§) = {(В", Sn), п > 1}-рынок имеет следующую специальную структуру-

Существуют вероятностное пространство (0,3, (Зк)к^о, Р), 3 = V и (d + 1)-мерный процесс (Б, S) = (Вк, Sk)k^о> где Вк - Зк-i-измеримы, Sk — (Sl.,...,Sd) - ^-измеримы и такие, что каждый из п-рынков (Bn,Sn) = (Вк, Sk)k4.k(n) ск(п) — п.

Понятно, что (пользуясь языком "схемы серий") можно считать, что рынок (Bn,Sn) задан на "своем" вероятностном пространстве (fi,^n,(^fc")fcПо-другому, можно сказать также, что в "стационарном" случае число акцшЫ(п)неменяетсясп (d(n) = с?)икаждый(п-|-1)-йрынок (Вп+г, б"""1"1) есть "продолжение" п-го рынка (Вп ,Sn).

Будем обозначать через Р = {(Pfc)fc^i) семейство последовательностей (Pfc)fc>i мартингальных мер Pfc, обладающих свойством согласованности:

Pfc+i|?fc=Pfc,*>l-

Лля каждой такой последовательности мер (Pfc)fc^i определим сопутствующую последовательность Z = {Zk)k^о производных Радона-Нико-

dPk

дима^ь = к ^ 1, Z0 = 1. «Pfc

Пусть

zk={zk:zk = ^-, Pfc€^(Pfc)|

и

Zoo = jZoo: Zoo (Pfc)fc^i epj.

Заметим, что хотя и не предполагается существование меры Р на (П, 3) такой, что Pfc = Р | Зк, тем не менее, в силу свойства Pfc+i | Зк = Pfc, после-довательность (Zk,3k)k^o относительно меры Р является (положительным) мартингалом.

Теорема 1 ("стационарныйслучай"). На локально безарбитражном рынке (B,S) = {(Bn,Sn), n ^ 1} условие

ІітЇЇЇп inf Р (Zk < є) = 0 (9)

є 4.0 fc Zk&Lk

является необходимым и достаточным, а условие

lim inf P{Zoo < є) = 0 (10)

- достаточным для отсутствия асимптотического арбитража.

Доказательство достаточности условия (9) сравнительно просто и приводится ниже. (Достаточность условия (10) будет следовать из того, что (10) =Ф (9).) Доказательство необходимости несколько сложнее. Оно опирается на некоторые результаты о контпигуалъностпи вероятностных мер и дается в следующем § Зс (п. 9).

Пусть (Р„)„^і Є Ри7г = (тг(гс))п>1 - последовательность стратегий на (В,§) = {(Bn,Sn), п > 1}-рынке, удовлетворяющих условию (3) из §3а. Тогда выполнено условие (3), и, значит, имеет место свойство (6), которое в рассматриваемом "стационарном" случае принимает вид

(П)

Хо(п) = EZnXZ(n\\

Беря є > 0, отсюда находим, что

EZnXZln) = EZnX^n) [/(-c(n) < < 0)

+1(0 ^ X< є) + I(XZ{n) > є)] ^ -c(n) + ЕZnXZ^I(Zn > s)I(XZ(n) > Є) ^ -с(п)+є2Р(Х<п) > є, Zn > є) > -с(п) + є2 [Р(Х^ > є) - P(Zn < є)],

и, значит,

ej.0 n

\'n

eJ.0 n 2„eZ„ ej.0 n

Отсюда ясно, что при наличии предположения (9) и, очевидно, условия (10), последовательность стратегий 7г = (7г(гг))п^.1 со свойствами (2)-(4) из § За не может реализовывать асимптотический арбитраж.

Следствие. Пусть (P„)n^i - некоторая последовательность из Р

и Z^ - lim n. Тогда условие P(ZOCJ > 0) = 1 гарантирует отсут- а г п

ствие асимптотического арбитража.

3. Перейдем к рассмотрению общего случая, считая, что каждый из безарбитражных п-рынков (Bn,Sn), п ^ 1, задан на "своем" фильтрованном вероятностном пространстве

Если Р?(п) - некоторая мартингальная мера,

рп рп „ уп кКп)

rfc(n> ~ rfc(n) и fc(yi) - збт; \'

аГКп)

то аналогично (12) находим, что

+ с(п) + є2 Р" (Z?(n) < є) > е2 Р» (Х^ > е). (14)

Обозначим

?(») = ^fc(n) = jpn \' Pfc(n) Є ^(Pfc(n)))-

г1Рп at_fc(

эп fc(n)

Теорема 2. Пусть (B,S) = {(Bn,Sn), n > 1} - "большой" локально безарбитражный рынок. Условие

lim ЇЇЇп inf P"(Z?rn) <є)=0 (15)

e4.o n г», , v fcw \'

является необходимым и достаточным для отсутствия асимптотического арбитража.

Доказательство достаточности условия (15) следует из (14) так же, как и в "стационарном" случае. Доказательство необходимости см. в п. 9 следующего § Зс.