§ 2а. Концепции "арбитраж"и "отсутствие арбитража"

Чтобы дать формальные определения, будем, как и в § 1а, считать заданным фильтрованное вероятностное пространство

(П, (&п)п>о,Р)

на котором функционирует (В, S)-рынок, состоящий из d + I актива:

банковского счета В = (Вп)п^о

с ^измеримыми Вп, Вп > 0, и

d-мерного рискового актива S = [S1,..., Sd),

где 5* = Si - ^„-измеримы, Sln > 0.

Пусть Хж \' (X?)„j>0 - капитал,

7 = (71! • • • >7d); 7* — (ln)n^O-

Если я- - самофинансируема/г стратегия (тг є то (см. (12) в §1а)

XI = + ДВ* + lkASk), 1, (1)

fc=i

и нормированный капитал X J = ( ^ ] удовлетворяет соотношениям

\\BnJnl

г>0

т-

7пА(|^), (2)

играющим ключевую роль для всего последующего анализа.

2. Зафиксируем некоторое N ^ 1 и будем интересоваться значением ка- питала XJj той или иной стратегии 7г є SF в этот "терминальный" момент времени.

Определение 1. Говорят, что самофинансируемая стратегия 7г реализует арбитражную возможность (в момент N), если при нулевом начальном капитале,

Х5 = о, (3)

ее капитал в момент N

X%r ^ 0 (Р-п.н.) (4)

и с положительной Р-вероятностью XJj > 0, т. е.

Р(Х? > 0) > 0 (5)

или, что равносильно,

Щ > 0. (6)

Обозначим 5^агь класс арбитражных самофинансируемых стратегий.

Р(Х% > 0) = 1 => P(X? > 0) > 0.

Определение 2. Мы говорим, что на (В, 5)-рынке отсутствуют арбитражные возможности или что рынок является безарбитражным, если SFaxb = 0- Иначе говоря, если для некоторой стратегии 7г начальный капитал XQ = 0, ТО

> 0) = 1 => P(XJf = 0) = 1.

Наглядно данное определение означает, что для безарбитражной стратегии 7г диаграмма переходов из Х? — 0 в XJj, изображенная на рис. 53а (когда Хдг 0), должна быть, на самом деле, "вырожденной" т.е. той, которая изображена на рис. 53Ь, где пунктирные траектории соответствуют переходам XQ — 0 —У XJj с нулевой вероятностью.

Таким образом, на безарбитражном рынке, если XJ = POBQ+JOSO = 0, то диаграмма переходов должна иметь вид, представленный на рис. 54, означающий, что если = 0) < 1, то наряду с положительным

"выигрышем" P(Xjy > 0) > 0, должны быть неминуемо и "проигрыши"

Р(ХЪ < 0) > 0. Это можно образно переформулировать, сказав также, что на безарбитражном рынке каждая нетривиальная стратегия ж (т.е. такая, что если Xq = 0, то Р(Х]у ф 0) > 0) должна быть рисковой, т. е. такой, что одновременно P(Xjy > 0) > 0 и Р(Х]у- < 0) > 0.

Помимо данного понятия безарбитпражности в финансовой литературе и инженерии обращаются и к другим определениям (см., например, [251]). Примером может служить следующее (используемое в [251 ] и далее в § 2е).

Определение 3. а) (В, 5)-рынок называется безарбитражным в слабом смысле, если для каждой само финансируемой стратегии ж с XQ = 0 иІ^О (Р-п.н.), n^N, имеемХ^ = 0 (Р-п.н.).

Ь) (В, й^-рынок называется безарбитражным в сильном смысле, если для каждой само финансируемой стратегии ж с XQ = 0 и Xjy ^ 0 (Р-п.н.) имеемX* = 0 (Р-п.н.), п ^ N.

Замечание. Отметим, что данные выше определения оперировали с событиями вида {XJf > 0}, {Х1^ ^ 0} и {XJj = 0}, которые, очевидно, сов-падают с событиями {Xjy > 0}, {XJf ^ 0}, {Хдг = 0}, соответственно,

— Хж где ХЪ = , если только Вы > 0.

-OJV

Это обстоятельство объясняет, почему при рассмотрении вопросов о наличии "арбитража" и "отсутствии арбитража" на (В, 5)-рынке можно

~ ~ ~ ~ S

сразу оперировать с (В, 5)-рынком, где Вп = 1 и5„ = Иначе говоря,

Вп

если предполагается, что Вп > 0, то, без ограничения общности, можно полагать Вп = 1.