§ Id. Пример полного рынка — СЯД-модель
в^воа+г), S1 = S0(l + p),
где р является случайной величиной, принимающей всего лишь два значения аиЬ такие, что
-1 < а < г < Ь. (2)
Этот простой (В, 5)-рынок носит название одношаговой "СЯД-модели" в честь Кокса, Росса и Рубинштейна, рассмотревших ее в [82].
Мы предполагаем, что исходное распределение Р случайной величины р таково, что
р = Р{Ь} >0, q = Р{а} > 0.
Тогда единственной (мартингальной) мерой, эквивалентной мере Р и удовлетворяющей свойству (7) из предыдущего параграфа, является мера Р* такал, что
Р *{Ъ}=р\\ Р*{а} = «7*,
г-а „ Ь-г Р = т , Я = 7 , (3)
где (см.
(20) в § 1с)п* =
Ь — а
и что (см. (11) и (12) в § 1с)
(4)
1 + г
На самом же деле, в рассматриваемом случае для любого платежного поручения/ = /(5о(1 + р)) пены С» (Р) и С* (Р) совпадают и, следовательно, их общее значение С(Р) определяется формулой
По-существу, все необходимое для доказательства равенства С» (Р) = С* (Р) уже содержится в предшествующих рассуждениях в § 1с.
Действительно, рассмотрим стратегию 7г* = (/3*, 7*), введенную выше, с параметрами
где и и р определены в (17) из § 1с.
В силу того, что и для р — а, и для р = Ь
Р* (1 + 0+ 7*5о(1 + Р) = / (Sb(l + р)),
мы видим, что здесь платежное поручение является достижимым, и, значит, 7г* Є Я\'(Р)ПЯ,(Р). Поэтому
С, (Р) = sup (р + 7S0) > Г + 7*5-0
03,7)ЄЯ.(Р)
^ inf ЦЗ + 7^о) = С*(Р).
(/Э,7)€Я*(Р)
Вместе с неравенствами (4) это доказывает требуемое совпадение цен С» (Р) и С* (Р) и формулу (5) для их общего значения С(Р).
2. Еще раз отметим, что материал, изложенный в этом и предшествующем параграфах, выявляет следующие важные моменты, которым следуют и в более общих случаях при использовании мартингальных методов в финансовых расчетах, связанных с заданным платежным поручением: (I) если класс мартингальных мер не пуст,
(6)
&(Р) ф 0,
то тогда
С,(Р)^С*(Р);
(7)
(III) при одновременном выполнении (6) и (7) нижние и верхние це- ны С» (Р) и С* (Р) совпадают.
В следующем разделе будет показано, что непустота класса мартин- гальных мер самым непосредственным образом связана с отсутст
вием арбитражных возможностей.
Непустота же класса Н*( Р) ПЯ,(Р) (для любого платежного поручения /) оказывается связанной с вопросом единственности мартингаль- ной меры, т. е. с вопросом о том, когда множество^мер ??(Р) состоит всего лишь из одной (мартингальной) меры, скажем, Р, которая эквивалентна мере Р (Р ~ Р).
Еще по теме § Id. Пример полного рынка — СЯД-модель:
- Пример анализа маркетинговых показателей на примере рынка продукта X в отдельном регионе и по России в целом.
- Модель «Доля рынка - рост рынка» (портфолио-анализ, матрица Бостон Консалтинг Групп (БКГ))
- Модель «Доля рынка - рост рынка» (портфолио-анализ, матрица Бостон Консалтинг Групп (БКГ))
- Пример: модель гиперинфляции Кейгана
- Примеры скоринговых моделей в теоретических источниках
- Пример сегментирования рынка продукта X.
- Пример построения модели множественной регрессии и оценка ее значимости.
- 5. Модели рынка, их влияние на производство
- Глава 4. Модели рынка
- Четыре модели рынка
- 4.2. Институциональная модель денежного рынка.
- Пример построения аддитивной модели временного ряда с помощью пакета Excel.
- Пример расчета экономической эффективности зарплатного проекта (модель доходности)
- Модель развития рынка