Пример: модель гиперинфляции Кейгана
Возможно, впервые модель адаптивных ожиданий была применена в исследовании, проведенном Ф. Кейганом, соотношения между спросом на реальные денежные остатки и ожидаемым изменением уровня цен (Cagan, 1956).
Одним из факторов, определяющих спрос на денежные остатки, являются издержки их хранения, вызываемые обесцениванием наличности в реальном выражении. Предположив, что этот фактор будет главным при высоком уровне инфляции, Ф. Кейган исследовал эту зависимость для семи периодов гиперинфляции, имевших место между 1921 и 1956 гг., с помощью модели:log (М/Р), = -«?„, - у + и„ (10.33)
где М — индекс изменения объема денег в обращении; Р — индекс цен;
log (Р/М) — логарифм спроса на реальные денежные остатки; Е — ожидаемый
уровень инфляции; а и у — неизвестные параметры. Поскольку переменная Е ненаблюдаема, Ф. Кейган дополнил модель выражением для адаптивных ожиданий:
Д?ж = р(С,-?,), (10.34)
которое определяет ожидаемое в период г изменение уровня инфляции A-Ej+j как долю от величины разности между реальным текущим уровнем инфляции С, и его предсказанным значением Ег
С помощью формулы (10.34) величина может быть выражена через текущее и прошлые значения С аналогично тому, как уравнение (10.26) было преобразовано в (10.31):
?ж = рС, + (1 - р)?, = р|С, + (1 - р)См + (1 - p)2Q_2 +...]. (10.35)
Подставив это выражение в (10.33), мы получим следующую регрессионную модель:
log (М/Р), = -«р[С, + (I - р)См + (1 - Р)2С^2 +...] - у +иг (10.36)
(Хотя уравнение, выведенное Ф. Кейганом, казалось бы, несколько отличается от представленного здесь, в принципе оно такое же. Разница в том, что оно было построено для непрерывной переменной времени, а не для дискретной, как в данном случае.)
Ф.
Кейган оценил зависимости как отдельно для каждого из рассмотренных им семи случаев гиперинфляции, так и совместно для всех этих случаев, используя метод оценки нелинейной регрессии, описанный в разделе 10.2. Мы приведем здесь лишь последнюю версию:log (М/Р), = -4,6 8?ж + Константа; (10.37)
Д?ж=0,20(?,-С,). (10.38)
(Доверительные интервалы были приведены лишь для отдельных зависимостей, для совместного уравнения не были указаны ни доверительные интервалы, ни стандартные ошибки.) Полученные результаты означают что: 1) спрос на реальные денежные остатки сокращается в пропорции, равной 4,68 прироста ожидаемого уровня инфляции; 2) текущие ожидания корректируются каждый месяц только на \'/s от величины разности между реальным и ожидаемым уровнем инфляции. Например, если ожидаемый месячный уровень инфляции был равен 10 процентным пунктам, то спрос на реальные денежные остатки будет на долю 0,468, т. е. на 47%, ниже, чем он был бы в случае стабильных цен[XIX].
- Гипотеза Фридмена о постоянном доходе
Хотя первым модель адаптивных ожиданий предложил Ф. Кейган, самым известным ее приложением, без сомнения, является модель потребления, основанная на гипотезе Фридмена о постоянном доходе (Friedman, 1957). Как было показано в разделе 8.3, в этой модели постоянное потребление индивида і в период /, обозначаемое Cpjp предполагается пропорциональным его постоянному доходу Урр
с?= ptf. (10.39)
Далее предполагается, что фактический объем потребления С„ и фактический уровень дохода Yit включают временные составляющие Сты и Y\\ соответственно, которые зависят от ситуации в году t.
С и - С и + Cjt; (10.40)
Yf = Yf + Y[. (10.41)
Предполагается, что временная составляющая потребления и временная составляющая дохода являются случайными переменными со средним значением 0 и постоянными значениями дисперсии, распределенными независимо от величины постоянного дохода, постоянного потребления и друг от друга.
Величина постоянного дохода в уравнении (10.39) ненаблюдаема. Для решения этой проблемы М. Фридмен расширил свою модель, предположив, что изменение постоянного дохода подчиняется процессу адаптивных ожиданий. Если фактический текущий доход индивида выше (или ниже) величины его постоянного дохода в предыдущем периоде, то индивид увеличивает (или уменьшает) значение последнего путем умножения А на соответствующую разность:
sY/f = \\(Yj, - Yp_{). (10.42)
В общем случае предполагается, что величина А лежит в границах между 0
и 1. Индивиды корректируют свое представление о постоянном доходе с рос
том фактического дохода, но не на полное значение прироста, сознавая, что изменения фактического дохода частично объясняются вариацией временной составляющей дохода.
Выражение (10.42) может быть переписано как
= (10.43)
или
Y[ = \\Y,; + (l- k)Yp_x. (10.44)
Это уравнение имеет простую интерпретацию. Оно говорит, что оценка индивидом величины постоянного дохода в году t равна средневзвешенной величине текущего фактического дохода и предыдущей оценки постоянного дохода. Если величина А близка к единице, то индивид придает больший вес фактическому доходу, и значение Yp быстро приближается к Y. Если величина А, наоборот, близка к нулю, то фактическому доходу придается относительно меньший вес и процесс корректировки происходит медленно.
Подставив величину Cpit из формулы (10.40) в (10.39), мы имеем:
Cit-Cl = py;-f, (10.45)
или
С it = Р Yp + Cjt. (10.46)
В итоге мы получили соотношение между фактическим потреблением и постоянным доходом, где С \\ играет роль случайного члена, который до этого
отсутствовал в модели.
Использование фактического текущего значения дохода в качестве «заменителя» для показателя постоянного дохода в случае принятия гипотезы о постоянном доходе неприемлемо, поскольку это дает, как было показано в разделе 8.3, смещенные и несостоятельные оценки параметров.
Вместо этого М. Фридмен использовал уравнение (10.44) для оценки связи постоянного дохода с текущим и прошлыми фактическими значениями дохода. Конечно, уравнение- не может использоваться напрямую для измерения постоянного дохода в году / по двум причинам: мы не знаем значения к и нет метода измерения ?ры. Вторую причину можно устранить, заметив, что если выражение (10.44) выполняется для периода t, то оно выполняется также и для периода (/— 1):
tf_, = X Y„_i +(1-Х)ї?2. (10.47)
Подставив это выражение в (10.44), мы получим:
Yf =\\Yit + Х(1 - Х)Г(,_, + (1 - k)2Y,f_2. (10.48)
Конечно, это уравнение включает ненаблюдаемую составляющую Yp^2, но можно устранить ее, сдвинув выражение (10.44) на два периода назад и подставив его в (10.48), получить таким образом зависимость Yp от Yjt, Ylt_x, Ylt_2 и Yp-^3. Повторяя эту процедуру до бесконечности, можно выразить Ypjt как взвешенную сумму текущего и прошлых фактических значений дохода:
Y,f =kYj, + Х(1 - Х)У,_, + Х(1 - k)2Yit_2 + Х(1 - к)%_3 +.... (10.49)
Опираясь на обоснованное предположение о том, что значение к лежит в границах от 0 до 1, можно сделать вывод, что (1-Х) лежит в тех же границах, а следовательно, величина (1 — X)J убывает с ростом s. Это свидетельствует о том, что текущее значение дохода имеет самый большой вес, значение дохода в предыдущем периоде имеет более низкий вес и значение этого веса постепенно убывает по мере продвижения назад к более отдаленным прошлым периодам. Б конце концов оно становится настолько малым, что все предшествующие значения можно не принимать во внимание.
Тем не менее остается проблема оценки величины М Решение М. Фридмена схоже с решением, предложенным Ф. Кейганом в его исследовании гиперинфляции. Он испытал большое число различных значений А. между 0 и 1, рассчитал соответствующие ряды постоянного дохода для каждого из них, построил уравнения зависимости потребления для каждого ряда данных о постоянном доходе, используя коэффициент R2 для измерения качества оценки. Затем он выбрал то значение к, которое позволяло получить ряд Yp, дающий наилучшую оценку.