Динамические свойства модели
Динамические свойства модели Фридмена удобнее анализировать после проведения преобразования Койка. Предположим, что мы используем агрегированные данные, и поэтому индекс / можно опустить.
Подставив выражение- в (10.46), мы получим:
Сдвигая выражение (10.45) на один период назад, имеем:
Pl?, С,7!,. (10.51)
Подставив это выражение в (10.50), получим:
С, = рх. У, + (1 - Х.)С,_! + Cj - (1 - X)Cjix. (10.52)
Это уравнение позволяет одновременно оценить кратко- и долгосрочную предельную склонность к потреблению. Краткосрочная предельная склонность к потреблению ЭС,/Э1^ равна коэффициенту при Yp то есть рА.. Слагаемое (1 — А.)СМ в краткосрочном аспекте выступает как константа, поскольку изменение Y, не может сказываться на значении См.
Что происходит в случае, когда величина дохода изменяется во времени — скажем, постепенно возрастает? Увеличение дохода в этом году прямо воздействует на объем потребления в этом году и косвенно — на объем потребления в следующем году, поскольку величина (1 — А.) С, в следующем году будет больше, чем в текущем. Другими словами, график функции потребления сдвинется вверх. Если доход продолжит рост в будущем, график функции будет сдвигаться и дальше, а сложившаяся зависимость между объемом потребления и доходом, которой соответствует пунктирная линия на рис. 10.1, будет иметь более крутой наклон, чем краткосрочная зависимость.
Рис. 10.1. Динамические свойства модели постоянного дохода Фридмена
Зависимость для состояния долгосрочного равновесия, без учета случайного члена, может быть получена подстановкой С, = С,_х = С и Y, = F в формулу (10.52):
С = РАУ + (1 - А)С, (10.53)
что может быть упрощено до вида:
Модель сводится к фридменовской зависимости постоянного потребления от дохода с равным нулю свободным членом и коэффициентом наклона, равным р.
Угол наклона краткосрочной функции РА. оказывается меньше, поскольку значение А. находится в границах между 0 и 1. Следовательно, модель Фридмена объясняет сосуществование краткосрочной предельной склонности к потреблению, меньшей единицы, и приблизительно постоянной средней склонности к потреблению, которое в послевоенные годы было загадкой для эконометристов. Заметим, однако, что модель Брауна, представленная в упражнении 10.7, приводит к похожему уравнению. Здесь мы имеем пример двух радикально различных экономических моделей, приводящих к одинаковой зависимости между наблюдаемыми переменными. Верно также, что если случайный член в поведенческом уравнении удовлетворяет условиям Гаусса—Маркова, то он будет также удовлетворять им в преобразованной по Койку модели Брауна, но не в модели Фридмена, где он будет отрицательно коррелировать со своим значением в следующий период, и поэтому МНК окажется неприменимым. В принципе этот вывод может быть положен в основу для выбора модели, но если есть причины полагать, что случайный член в поведенческом уравнении может не удовлетворять требуемым условиям, то данный мотив для выбора модели становится неприемлемым.Пример
Для сравнения своего варианта функции потребления с другими функциями М. Фридмен оценил ее на годовых рядах данных о реальном потреблении на душу населения и о реальном располагаемом доходе на душу населения в США в период 1905-1951 гг., за исключением военных лет (Friedman, 1957, pp. 142— 152). В пошаговом поиске он рассчитал значения постоянного дохода как взвешенную сумму текущего и 16 предшествующих значений дохода, и оптимальное значение А. оказалось равным 0,37. В уравнении функции потребления он получил значение р = 0,88. Как следствие, краткосрочная предельная склонность к потреблению была равна 0,33, а краткосрочный мультипликатор — 1,5. Долгосрочные показатели составили 0,88 и 8,5 соответственно.
Упражнение
- Исследователь полагает, что расходы на одежду определяются следующей моделью:
log y, = ct + P,log z, + P2log/7, + u, (1)
где у, — расходы на одежду (млрд.
долл., в постоянных ценах); z, — постоянный доход; р, — реальный индекс цен на одежду (отнесенный к уровню инфляции). Исследователь также полагает, что постоянный доход зависит от фактического дохода хр согласно следующему уравнению:
щих и лаговых значений х, то веса в этой зависимости подчиняются полиномиальному распределению. По этой причине лаги Алмон также часто описываются как полиномиально распределенные лаги. Приведем простые примеры, когда значения весов подчиняются квадратичной зависимости (как на рис. 10.2А и 10.2Б) кубической функции (как на рис. 10.3) или полиному более высокой степени. Выбор функции остается за исследователем, и он, конечно, может быть сделан на основе экспериментов.
Вес лагов Вес лагов
Рис. 10.2
В общем случае модель регрессии может быть записана как
У, = а + Ро*, + м,_, + - + РЛ-л + иР (10.55)
где
P, = Yo+Yi5 + Y252 + "-+TW\'’’- (10.56)
Рисунки 10.2А и 10.2Б, следовательно, соответствуют случаю, когда величина т =2, рис. 10.3 — случаю, когда т= 3.
Далее исследователь должен выбрать число лаговых значений объясняющей переменной п, которое будет использоваться в модели. И снова это число может быть определено в результате экспериментов, направленных на получение хорошего описания имеющихся данных.
Рис. 10.3
Для того чтобы сделать наш анализ проще, предположим, что была выбрана квадратичная функция и число лагов равно трем. Подставив выражение (10.56) в (10.55), мы получим:
У, = а + РоХ, + р,х,_, + P^J + Р3х,_з + и, =
= а + УоХ, + (у0 + 7, + 72) х,_, + (70 + 27, + 472) х,_2 + (70 + 37, + 972) х,_3 + и, =
= а + 70(х,+ х,_, + х,_2 + х,_3) + 7,(х^, + 2х,_2 + Зх^3) + 72(х,_, + 4х^2 + 9х,_3) + и, =
= а + Yamp;Zo + Vi + + up (10.57)
где Zo = х,+ д^і + х,_2 + х^3, Z) = Vi+ 2х/-2 + 3*/-з и Z2 = V, + 4х^2 + 9х^3.
Для оценки параметров модели следует построить уравнение зависимости у не от текущего и лаговых значений х, а от сконструированных из них переменных z. Большинство статистических программ позволяют легко сделать это. С их помощью можно получить коэффициенты при сконструированных переменных, а на их основе — рассчитать коэффициенты в исходной модели.
Как видно из рис. 10.2А, сначала возрастающее, а затем убывающее распределение лагов в принципе может быть представлено квадратичной функцией. Однако у этого распределения имеется нежелательное свойство: выпуклый вверх график функции не позволяет весам плавно приближаться к нулю. С этой точки зрения кубическая функция на рис. 10.3, у которой две экстремальные точки, более привлекательна: в окрестности второй экстремальной точки происходит плавное убывание весов.
На практике распределение лагов объясняющей переменной может не соответствовать простой функции, и попытки их применения могут привести к нежелательным результатам: получение весов с неверными знаками, резкое уменьшение весов на краю распределения и т. д. Все эти проблемы в принципе можно преодолеть, используя полиномы более высокой степени: сама Ш. Ал- мон в своей статье использовала полином четвертой степени, получив вполне удовлетворительные результаты. Однако с ростом степени полиномов вновь возникает риск появления неучтенной мультиколлинеарности. Число переменных z равно числу слагаемых в полиноме, и переменные z коррелируют друг с другом, поскольку каждая из них является линейной комбинацией текущего и лаговых значений х.
Остается большой соблазн испытать все кажущиеся возможными комбинации степени полинома и числа лаговых значений и выбрать ту из них, которая дает результаты, наиболее близкие к априорным представлениям или по крайней мере наименее противоречащие им. В итоге вместо того, чтобы служить независимым тестом для гипотез, эксперимент превращается в поиск подтверждений для априорных представлений.
Пример
При построении уравнения регрессионной зависимости расходов на жилье от личных доходов и реального индекса цен на жилье по данным за период 1959— 1983 гг.
из табл. 6.9 было решено использовать описанную выше схему Алмон (квадратичная функция, три лаговых периода) для переменных дохода и цен. В уравнении регрессии, совпадающем с (10.57), постоянный член оказался равен —2,33, коэффициенты при Zq, гх и z2 для переменной дохода были равны 0,417, —0,159 и 0,025 соответственно, откуда следовало, что полиномиальная функция имела вид:Р, = 0,417 — 0.159J + 0,025л2. (10.58)
Подставляя в этой формуле для s значения 0, 1, 2 и 3, можно получить коэффициенты при текущем и лаговых значениях х:
16g *, = -2,33 + 0,417 log х, + 0,283 log х,_, + 0,199 log х,_2 +
+ 0,165 log х,_з + Слагаемые для цен. (10.59)
В данном случае график квадратичной функции оказался вогнутым вниз, как на рис. 10.2Б, и распределение лагов имеет такой же вид, как и укороченное распределение Койка.
Упражнение
- Коэффициенты при ?о, ?, и ?2 для переменной цен в регрессионном уравнении расходов на жилье были равны —0,035, 0,249 и —0,165, соответственно. Рассчитайте коэффициенты при log р,, log р^{, log р^г и log р^3 и прокомментируйте полученный результат.