§ 4а. Арбитраж и условия его отсутствия. Полнота

В настоящем параграфе вопрос об отсутствии арбитражных возможностей будет рассматриваться для того случая, когда пены являются процессами Ито (§ 3d, гл. III).

Пусть (0,Р) - вероятностное пространство, на котором задано броуновское движение В = (Bt)t^o- Через (&t)t>o будем обозначать броуновскую (винеровскую) фильтрацию, т.е. поток ег-алгебр = <7(J5? и Я), где J50 _ а(В.,8 ^ t) и JT = {А Є Р(А) = 0}. (См. подробнее § За, гл. III.) При этом будем также полагать 9 = V

Фильтрованное вероятностное пространство (0,Р) удовлетворяет обычным условиям (§3а, гл. III) и будет рассматриваться как тот стохастический базис, который описывает вероятностно-статисти-

чеснуто неопределенность и структуру поступающей информации.

Пусть St = SoeHt - процесс цены (So > 0) некоторого актива, скажем, акции с t 2 t

Ht = J (fis - dx + j asdBs, (1)

где п = (/і(,^)и<7= (at,&t) ~ два стохастических процесса, удовлетво-ряющих (Р-п.н.) условиям

(2)

I \\ps\\ds < оо, / <т2ds < оо, t > 0.

J о Jo

Из формулы Ито следует, что

dSt=StdHt, (3)

где f t

Ht= psds+ Jo Jo

т. e. S имеет стохастический дифференциал

dSt = St {fit dt+ot dBt). (5)

Если fa = [і, at = сг ф 0, то получаем стандартную диффузионную модель Самуэльсона, [420], описывающую динамику цен акций с помощью геометрического броуновского движения (§4Ь, гл.

dSt = St(ndt + a dBt). (б)

Положим

*-«,(-?*-!(*)%). (7)

Тогда ЕZt = 1 и из теоремы Гирсанова (см. § ЗЬ или § Зе, гл. III) следует, что для всякого Т > 0 относительно меры Ру с

dPT = ZTdPT, (8)

где Ру = Р | процесс S — (St,&t)t20 становится мартингалом с диф-ференциалом

dSt = aStdBt, (9)

где В — (Bt, 9t)t^.T является Рт-стандартным броуновским движением.

Таким образом, в случае ЕZt = 1 построенная на ((1, 9т) мера Рт эквивалентна мере Рт (Рт ~ Ру) и относительно нее процесс S = (St, 9t)t^T является мартингалом.

Полезно отметить, что эта мера Рт является единственной в том смысле, что если Qt ~ другая мера с тем свойством, что Qт ~ Рт и относительно Qt процесс S = (St,9t)t^T является локальным мартингалом, то Qt = Рт- Этот результат самым непосредственным образом связан с теоремой о представлении локальных мартингалов относительно броуновской фильтрации (см. § Зс, гл. ІП) и его доказательство дается ниже в п. 5.

3. Обратимся теперь к тому случаю, когда процесс цен S имеет дифференциал (5).

Пусть выполнены следующие условия: Р-п.н. для t > О

at > 0 (10)

?(*)"<«. <~ (И,

При этих условиях определен процесс Z = (Zt)t^o,

являющийся положительным локальным мартингалом, для которого в качестве локализующей последовательности (тп)п^г можно взять последовательность с ^

тп = infJ ^У ds ^ nj. (13)

Если EZt = 1, то тогда Z — (Zt)t^.T является мартингалом, мера Рт с гіРт = ZT d-Рт будет вероятностной мерой, Рт ~ Ртти относительно этой меры процесс S = (St, 9t)t^T является локальным мартингалом.

Для доказательства последнего утверждения воспользуемся результатом теоремы 2 из § 3g.

Поскольку

dZt = —Zt — dBt, (14)

ft

то (см. (3) в §3g)

d(Z°,S°) %-Stat к 1

Относительно меры P семимартингал S имеет триплет (В, С, и) с и = О,

(16)

Bt = Ґ Su/iu du, Ct = f* S2ual du. Jo Jo

Ho

/%u dCu = Г Jo J 0

Bt

guMu- "uS2fl \\du = 0.

Поэтому, согласно утверждению теоремы 2 из §3g, процесс S= (St, &t)t^T относительно меры Рт становится локальным мартингалом.

4. Сформулируем теперь для модели рынка, состоящего из банковского счета В(0) — (Bt(0))t^o с Bt(0) = 1 и акции S = (St)t^o, динамика которой описывается в (5), условия, гарантирующие отсутствие арбитража (вето і\\ГА+-версии; см. §2а).

Пусть 7г = (/?, 7) - некоторая стратегия и Хж = (X*)t^o ~ ее капитал,

X? =pt + 7tSt. Для самофинансируемых стратегий ж

X? = Х? + Г 7u dSu, (17)

Jo

что, естественно, подразумевает, что стохастический интеграл в (17) должен быть определен.

Как следует из изложения в §1а, стохастический интеграл в (17) опре-делен, если 7 Є L(S). В рассматриваемой сейчас модели (5) естественно условия интегрируемости 7 по S выражать непосредственно в терминах свойств процессов (Ht)t^.T и (°"t)tБудем предполагать, что выполнены условия (2), (10), (11) и

L

t

72ff2du 0. (18)

о

Из последнего условия и непрерывности процесса S = (St)t^о вытекает, что J S2j2cr^du < оо (Р-п.н.) и, значит, определен стохастический интеграл / Suyuau dBu по броуновскому движению (см. § Зс, гл. III и § 1а

J о

в настоящей главе).

Далее,

{^j < J (7u<7u)2 du ¦ J du.

Поэтому из (11) и (18) вытекает существование и конечность (Р-п.н.) ин-

rt ft

тегралов 7u/*u du и J^ Sujutiu du, t> 0.

Тем самым, условия (2), (10), (11) и (18) гарантируют существование стохастического интеграла в (17).

Следующий результат, непосредственно вытекающий из изложенного в п. 3 и импликации (9) теоремы 2 в § 2Ь, является наиболее известным утверждением относительно отсутствия арбитража в диффузионных мо-делях.

Теорема. Пусть цена акций S = {St)t~zо имеет дифференциал (5) и выполнены условия (2), (10), (11) и (18) для t ^ Т.

Пусть ЕZT = 1- Тогда выполнено свойство NA+, и, в частности, в классе а-допустимых самофинансируемых стратегий арбитражные возможности отсутствуют при любом а ^ 0.

5.

Будем рассматривать более общий случай, считая, что процесс S опре-делен в (5), а процесс Z - в (12).

Предположим, что Qt - некоторая мера, эквивалентная мере Рт, от-носительно которой S = (St, 9t)t^r является локальным мартингалом.

Образуем мартингал

В силу его положительности найдется (см. (20) в § Зс, гл. III) процесс <р = такой, что

Nt=exp^J cpsdBs-~J^ t^T, (20)

с J^tpl ds < оо (р-п.н.), eNT = 1.

Воспользуемся теоремой 1 из § 3g, показывающей, как при абсолютно непрерывной замене меры преобразуется триплет предсказуемых характеристик у семимартингалов.

Пусть (Вр ,СР ,ир) - триплет процесса S по мере Р. Из представления (5) следует, что

В\\ = Г Sufiu du, Ctp = Г S ual du, vp = 0. (21) Jo Jo

Согласно теореме 1 из § 3g, триплет (В®, CQ, по мере Q определяется формулами

В?=ВР+ Ґ ри dCp, Jo

С? = ср,

vQ = 0, (22)

в = dPt d(Sc, Sc)t Nt Stat\' к \'

Тем самым, из (21) и (22)

(24)

В? = / Su[nu + ipucru]du. Jo

Поскольку по мере Qy процесс S = (St, &t)t^.T является локальным мар-тингалом, то Bf = 0 (Р-п.н.), t < Т. Поэтому из (24) заключаем, что

6. Рассмотрим вопрос о Т-полноте (см. определение в § 2d). Вудемпред- полагать, что выполнены условия приведенной выше теоремы. Предположим также,что (В(0), 5)-рыноктаков,что Bt(0) = lnnponeccS\'= (St)t^T относительно меры dPx — ZT dPx является мартингалом. Тогда в силу установленного выше свойства единственности (локально мартингальной) меры Ру и в соответствии с теоремой из § 2d рассматриваемая диффузионная модель является Т-полной.

Классическим примером Т-полной (и безарбитражной в версиях NA+ и NAg) модели является, конечно, модель геометрического броуновского движения (6), что, во многом, и определяет ее популярность в финансовой математике и финансовой инженерии.