§ 4Ь. Цена хеджирования на полных рынках

В общих семимартингалъных моделях соответствующее изложение.проходит параллельным образом, за исключением разве лишь того, что надо четко оговаривать, какие классы стратегий являются допустимыми.

Будем придерживаться диффузионной модели (-В(О), 5)-рынка, описанной в п.

Несколько видоизменяя введенное выше (§2d) понятие Т-полноты, будем говорить, что неотрицательное ^у-измеримое платежное поручение fx с Е%тїт < оо является воспроизводимым (достижимым), если най-дется стратегия 7Г Є П_|_ (S) такая, что Xj< = fx (Р-п.н.). Понятно, что если fx ограничено, то условие EZxfx < оо выполнено.

Определение. Если платежное поручение fx воспроизводимо, то ценой (совершенного) хеджирования Европейского типа (ср. с терминологией в § lb, гл. VI), или просто ценой, называется величина

С(/Т;Р) = inf{x ^ 0: Этг Є П+(5) clj = х,Х% = /т}. (1)

Доказательство. Если тг = (/3,7) является а-допустимой самофинансируемой стратегией, то

Х?=Х% + f 1 и dSu, t^T, (3)

Jo

причем (согласно теореме Анселя-Стрикера; см. п. 6, § la) X* = является Ру-супермартингалом и, значит,

ЕРтХ? < XS. (4)

Поэтому если Х?г = /у, то Ерт/у ^ -^о и

EZt/t = E?3,/tПокажем теперь, что существует 0-допустимая самофинансируемая стратегия тг с начальным капиталом XQ =- EZy/y, которая воспроизводит /у, т.е. =/у (Р-п.н.). Определим процесс

= E(ZT/y|^t), tsST. (6)

Ясно, что X = (Xt, ^t) і < т является мартингалом относительно "броу-новской фильтрации" и, по теореме о представлении (см. §3с, гл. ПІ), най-

гТ

дется такой пропесс ф = (фг, с /0 ФІ ds < 00, что

Xt=X0+ f\\,dBa. (7)

Jo

Заметим, что процесс (Zt-1Xt)t^y таков, что он воспроизводит /у:

Zy хХу = /у. (8)

Покажем теперь, что найдется 0-допустимый самофинансируемый портфель тіг = (/3,7), такой, что

X? = Z^Xt. (9)

Поскольку

dZt = -Zt — dBu (10)

at

то по формуле Ито (§ 3d, гл.

d(zr1) = zr1((^)2dt+^dB^ (11)

и

d(Z^Xt) = ZtXdXt + Xtd(Z^) + d(Z~1)dXt

= г^іФі dBt) + XtZ-1 ((—Ydt + ^ <шЛ + Zt1 (—rpt)dt

\\\\at/ at J \\ot ^

= Z-\'фі (dBt + —dt)+ XtZ?1\'— (dBt + — dt) \\ at 1 at\\ ot )

= st(at dBt + Pt dt) \\s;lz^1 (І^ + ХіЦ)

Положим

(13)

+ (И)

Тогда видим, что

d(Zrlxt)=jtdSt, (15)

причем

f 72CT2duJo

(Cp. (16) с условием (18) в §4a.) Тем самым, для t ^ Т

Z^Xt = Е(ZTfT) + Г 7« dSu. (17)

Jo

Полагая

ft = Z^Xt - 7t5t, (18)

находим, что (в силу (15)) стратегия п - (/?, -у) является самофинансируемой с капиталом Хж — (Xf)t^.T, таким, что

х! = Е (ZTfT) (19)

и

Xf = Z^Xt, х| = /т. (20)

Из (5), сопоставляя (19) и (20), получаем требуемое равенство (2). Заметим, что построенная стратегия 7Г является 0-допустимой, поскольку Xf ^ 0, і < Т.