§ 2а. Концепция отсутствия арбитража и ее разновидности

ELMM EMM <=> NA. (1)

Здесь NA есть свойство отсутствия арбитража (NA = No Arbitrage) в смысле определения 2 из § 2а, гл.

Тем самым, если на рассматриваемом рынке арбитраж отсутствует, то импликация NA =Ф EMM говорит о наличии мартингальной меры (Р ~ Р), что, как было показано в предшествующей главе, дает возмож-ность при расчетах воспользоваться хорошо развитой техникой теории мартингалов.

Если же, с другой стороны, модель (В, 5)-рьшка такова, что для нее существует, по крайней мере, одна мартингальная мера, то импликация EMM => NA позволяет утверждать, что мы имеем дело с "честно" функционирующим рынком (в том смысле, что на нем отсутствуют арбитражные возможности).

Первые две импликации =>¦ и Понятно, что и в случае непрерывного времени (и, по крайней мере, для семимартингальных моделей) желательно иметь утверждения типа (1). Однако оказывается, что в этом случав ситуация становится более сложной, хотя, по существу, "отсутствие арбитража" (при соответствующем определении) имеет место тогда и только тогда, когда существует экви-валентная мера с некоторыми (уточняемыми далее) "мартингальными" свойствами.

Из дальнейшего изложения станет ясно, что для удовлетворительного ответа на вопрос о справедливости утверждений типа (1) приходится при-бегать к различным версиям понятия "отсутствие арбитража" которые, в конечном счете, определяются тем, какие классы стратегий допускают-ся к рассмотрению.

В этой связи напомним, что в случае дискретного времени для справед-ливости утверждений (1) на стратегии ж = ((3,7) никаких, в сущности, ограничений (кроме стандартных предположений предсказуемости и самофинансирования) не требовалось.

Другое дело - случай непрерывного времени, где уже для формулирования свойства самофинансируемости приходится прибегать к векторным

Г*

стохастическим интегралам / (ж3,dX3), для существования которых на

J О

(предсказуемые) стратегии ж приходится накладывать условие допустимости: ж Є L(X).

Конечно, если к рассмотрению допускать лишь только "простые" стратегии, являющиеся конечными линейными комбинациями "элементарных" стратегий (§ 5а, гл.

К сожалению, в случае непрерывного времени из факта безарбитражности в классе "простых" стратегий не удается, вообще говоря, установить существование мартингальных мер или мер с теми или иными свойствами "мартингальности" (Класс "простых" стратегий оказывается для этого слишком "бедным"!)

2. Перейдем теперь к основным определениям, относящимся к от-сутствию арбитражных возможностей в семимартингальных моделях

X = (l,X1,...,Xd),Xi = {Xi)tСледующее понятие можно считать классическим (ср. с определением 2 из §2а, гл. V).

Определение 1. Говорят, что (в момент времени Т) выполнено свойство NA, если для всякой стратегии ж Є SF(X) с Xq — 0

Р{Х% ? 0) = 1 => Р(Х? = 0) = 1. (2)

Определение 2. Говорят, что выполнены свойства NAa и NA+, если, соответственно,

Фа(Х)П?+(П,^т,Р)={0} (3)

и

= (4)

где Фа (X) и Ф+ (X) определены в § 1с и L+J (СІ, 9т , Р) - подмножество не-отрицательных случайных величин пространства L^ (fi, 9т, Р) •

Нетрудно показать, что условие (4) равносильно условию

Ф»(Х)ПІ+(ПІ^г>Р) = {0}, (5)

где

Ф° (X) = jtf є ?с»(П, Jt, Р): Ф = j\\n„dX,)

для некоторой стратегии тг Є П+ (X . (6)

Определение 3. Говорят, что выполнено свойство NA+, если

Ф+(Х)П?+(П,^т,Р) = {0}. (7)

Свойство NA+, являющееся усилением свойства NA+, систематически используется в работах Ф. Делбаена и В. Шахермайера (см., например, [100], [101]), где оно названо свойством NFLVR - No Free Lunch with Vanishing Risk (отсутствие бесплатного ленча с исчезающим риском). Объяснение названия NFLVR состоит в следующем. Когда рассматривается вопрос о выполнении -версии отсутствия арбитража, то в качестве "тестовых" функций ф берутся лишь неотрицательные функции, которые либо мажорируются, либо совпадают с "доходом" / (ir3,dX3) от стратегий тг Є П+(Х). о

Но когда рассматривается ЛҐ.4+-версия отсутствия арбитражных воз-можностей, то в качестве "тестовых" берутся (снова неотрицательные) функции ф Є Ф+(Х) П?+(П,?т,Р), в том числе и те, которые могут возникать как пределы (по норме || • Цоо) некоторых элементов фк, fc ^ 1, из Ф^Х), принимающих, вообще говоря, и отрицательные зна-чения ^в частности, ими могут быть и J^ (irk,dX3), мажорирующие при

некоторых тгк функции фк^.

Поскольку \\\\фк — ^Цоо 0, к оо, то можно считать, что фк > -1/п (для всех и> Є Г2), что и интерпретируется как исчезающий риск (VR - Vanishing Risk).

Весьма замечательно, что jVA+-версия отсутствия арбитражных воз-можностей допускает, как установлено в [101], прозрачное необходимое и достаточное ("мартингальное") условие.

3. Приведем также версии отсутствия арбитража, связанные с использованием стратегий из класса Пэ (X).

Определение 4. Пусть д = (д... ,gd), где дг > 0, г = 0,1,... ,d. Говорят, что выполнены свойства NAg и NAg, если, соответственно,

и

В работе [447] свойство NAg названо свойством NFFLVR - No Feasible Free Lunch with Vanishing Risk (отсутствие возможного бесплатного ленча с исчезающим риском; feasible - возможный, вероятный, подходящий, осуществимый,...).