§ 1с. Допустимые стратегии. II.Некоторые специальные классы

X? = XS + Гыз, dxa), і < Г, (1)

Jo

где f {жа, dX3) - векторный стохастический интеграл по (неотрицатель-

J О

ному) семимартпингалу X = (Х°,Хг,...

В дальнейшем актив будем считать положительным (X® > 0, і < Т) и брать его в качестве дисконтирующего процесса. При этом,

чтобы не оперировать с "дробными" выражениями ^типа , будем

сразу полагать X® = 1, считая, тем самым, что исходный семимартингал X = (ljX1,... является (d + 1)-мерным продисконтированным активом.

Введем в рассмотрение некоторые специальные классы допустимых стратегий, роль которых будет полностью раскрыта при рассмотрении "мартингальных критериев" отсутствия арбитражных возможностей (см. далее разделы 4 и 5).

Определение 1. Для всякого а ^ 0 положим

Пв(Х) = {тг Є SF(X):X? > -о, і Є [0,Т]}. (2)

Смысл условия а-допустимости ^ —а, t Є [0, Г]" вполне понятен: величина а > 0 ограничивает те максимальные потери от стратегии ж, которые допускаются теми или иными экономическими соображениями.

Если о > 0, то для капитала Хп допускаются отрицательные значения, что можно интерпретировать как взятие средств в долг (будь то взятие с банковского счета или "короткая продажа" акции, например).

d

В случае а = 0 суммарный капитал X? = должен оставаться

i=о

неотрицательным при всех 0 ^ t sj Т.

Классы Па (X), а > 0, были введены уже в первых работах ([214], [215]) по теории арбитража и впоследствии стали рассматриваться как наиболее естественные классы стратегий, для которых (как в известной "Петер-бургской игре"; см., например, [186; 2-е изд.]) не допускается неограниченное во времени "удвоение ставки при проигрыше" (ср. с примером 2 в § 2Ь, гл. V).

Именно с классами Па(Х), а ^ 0, и некоторыми их расширениями связаны работы, касающиеся необходимых и достаточных условий отсутствия арбитражных возможностей, среди которых, в первую очередь, отметим серию работ Ф.

Классы Па(-Х"), а > 0, являются далеко не единственными "естественными" классами допустимых стратегий.

Следующее определение систематически используется в р аботе К. А. Сина (С. А. Sin, [447]).

Определение 2. Пусть д = (д°, д1,..., gd) - (d + 1)-мерный вектор

с неотрицательными компонентами, g(Xt) — (g,Xt) I = 22 91 ) ¦ ¦

v i=o \'

Положим

П9(Х) = {тг Є SF(X):X? > -g(Xt), t Є [0,Т]}. (3)

Как и в случае определения 1, наглядный смысл условия UX? ^ —g(Xt), t 6 [0, Т]" ясен: в каждый момент времени t величиной g(Xt) ограничиваются те максимальные потери или тот максимальный долг, которые допус-каются "экономикой" имеющей капитал д° на банковском счете и д1 акций каждого из г активов, і — 1,... ,d.

Понятно, что если д° > а, то Па(Х) С ПЭ(Х).

Для последующего изложения вопросов теории арбитража в се- мимартингальных моделях полезно ввести некоторые классы "тестовых" ^r-измеримых платежных функций -ф = которые могут быть мажо-рированы доходом / (яа, dXs) от стратегий 7Г из введенных выше классов

J О

допустимых стратегий.

Определение 3. Пусть для а > 0

*„(*) = jtf Є Loc(fi, j\\*a,dXa)

для некоторой стратегии 7г Є Па(Х) >

и

Ф+(Х) = jtf Є Р): Ф < j\\*„dX.)

для некоторой стратегии тг Є П+ (X) ^,

гдеП+(Х) = (J П„(Х).

Определение 4. Для д = (д°, д1,..., gd) eg1 > 0, і = 0,1,..., d, положим

Ф9(Х) = jtf Є Ьд(П,9т,Р):ф < j\\its,dX3)

для некоторой стратегии тг Є Пэ (X) j>,

где Lg(Cl, ^г, Р) ~ множество -измеримых случайных величин ф таких, что \\ф\\ < д{Хт).

5. Как обычно, в пространстве случайных величин ф

(правильнее было бы говорить о классах эквивалентности случайных величин; см., например, [439; гл. II, § 10]) вводится норма

Moo = esssupl^l = inf{0 с) =0},

ш

относительно которой это пространство становится полным (и, следовательно, по определению, банаховым).

Замыкания множеств Фа(Х), а > 0, и Ф+(Х) по норме || • ||оо будем обозначать Фа (X) и Ф+ (X).

В пространстве ФЭ(Х) будем рассматривать норму || • ||э, определяемую формулой

Ф

9(ХТ)

Замыкание ФЭ(Х) по этой норме обозначается ФЭ(Х).