§ lb. Дисконтирующие процессы

В гл. I (см. § 2с) была кратко изложена популярная модель ценообразования САРМ, в которой в качестве "базисного" актива часто берется банковский счет (безрисковый актив), апоказателем "качества" и "риска" с помощью которого производится сравнение разных активов А, служит их бета (3(А).

В дальнейшем при рассмотрении d + 1 актива Xі,..., Xd условимся в качестве "базисного" выбирать, скажем, актив , выделяющийся обычно тем, что это - "просто устроенный" актив. Важно, однако, под-черкнуть, что, в принципе, в качестве такого актива может выбираться

любой процесс У = (Yj, лишь бы только он был строго положи

тельным.

Есть также и чисто "аналитические" причины в выборе подходящего процесса Y, состоящие в том, что за счет удачного выбора такого процесса, называемого дисконтирующим процессом (в англо-французской фи-нансовой литературе используется также термин "numeraire"; см., напри-

Хп

мер, [175]), иногда проще оперировать с процессом -р-, а не с Хп непосредственно; см. по этому поводу замечание в конце § 2а в гл. V.

2. Если Y — {Yt,9t)t^o ~ некоторый положительный процесс, опре-деленный наряду с X — (Х9,ХЛ-,...,ХЛ) на стохастическом базисе (fi, О) Р), то положим для г = 0,1,..., d

у і уп

r = ^ = (1)

Если 7Г - самофинансируемый портфель (по отношению к X), то естественно выяснить, будет ли он самофинансируемым по отношению к дисконтируемому портфелю X = (Х°, Xі,..., Xd).

dxi = Yf1 dXi + Xl_ dY-1 (2)

и

Щ = УГ1 dx? + Xl_ dY\'1. (3)

Поэтому из условия самофинансируемости (6) в § la видим, что

d d , d > ? тг\' dX\\ = УГ1 ? 7Tlt dXl + ( ? тг\\ХІ_ ) dY-1 i=0 »=О i=0 \'

(4)

= Y-\'dX? + (j2Предположим, что (Р-п.н.) для t > 0

52ТІ\\*ІьхІьУв-1\\<<х>- (5)

sТогда

d

(ІГкіх;_) dY-1 = (ІГкІХі) dY,Г1 - (?>;дхЛ ДУГ1

t=0 \' 4=0 \' 4=0 \'

и из (4) находим, что

d ( d \\

\\dX\\= УГ1 dX? + X? dYГ1 - $>j AXl ) ЛУ\'_1

і=0 4=0 \'

= УГ1 dX? + х?_ dY-1 + (ах? - АХі) ДУГ1

= Yt-1dX? + X?_dYt~\\ (6)

d

поскольку (іХ^ = 22 nt dXh и7п0 свойствам стохастических интегралов, і=0

d

АХ? = J2 AXl (см- свойство (f) в п. 7, §5а, гл. III). i=0

Из (3) и (6) получаем соотношение

d

dJTt =,?4dXit, (7)

i=0

которое означает, что для дисконтируемого портфеля Х=(Х°, Xі,... ,Xd) свойство самофинансируемости выполнено.

Замечание. В проведенном доказательстве сохранения свойства самофинансируемости при дисконтировании предполагалось, что У является положительным предсказуемым процессом, У-1 ? f и выполнено свойство (5). По поводу других возможных условий, гарантирующих со-хранение самофинансируемости, см., например, [175].

(8)

Bt = В0 exp ^у r(s) ds^j,

где г = (r(t))t^o - некоторая, вообще говоря, стохастическая процентная ставка, предполагаемая обычно положительным процессом. Банковский счет является удобным "стандартом", позволяющим сравнивать "качест-во" других активов, таких, как, например, акции, облигации.

Классическим примером дисконтирующего процесса является банковский счет В = (Bt)t^o-

3. Пусть У1 и У2 - два дисконтирующих актива и временной параметр t Є [0,Т]. Будем предполагать, что относительно некоторой меры Р1 на

X

(SI, 9т) нормированный процесс является ((d + 1)-мерным) мартинга-лом.

Выясним, когда можно утверждать, что существует мера Р2 ~ Р1, №

*

носительно которой нормированный процесс также является мартин-галом.

у2

С ЭТОЙ целью предположим, что относительно меры Р1 процесс pY яв-ляется (положительным) мартингалом. Положим для А є 9г

Р>(Л) = ЕР1 (/,!/!). (9)

Ясно, что Р2 является вероятностной мерой на (П, 9т), причем Р2 ~ Р1. По "формуле Байеса" (см. (4) в § За, гл. V)

= E"(ff И) У?

yi vl V»

(Ю)

= Щ • ^ = Ц (Р2-. Р1—).

Отсюда следует, что по мере

р2

, построенной по формуле (9), нормирован-

X

ныи процесс —z является мартингалом. Y-i

Полезно отметить, что если JT - ^т-измеримая неотрицательная слу-чайная величина, то из (9) и (10) вытекает, что (в предположении 9Q =

П\'Е,, (11)

и (Р2-, Р^П.Н.)

У^Ері | 9^ = У02Ер2 | 9t^j. (12)