§ 1а. Допустимые стратегии. I. Самофинансируемость. Векторный стохастический интеграл
[В, S)-рынка, состоящего из банковского счета В и конечного числа акций S = (S ,..., Sd),
и
(В,Р)-рынка, состоящего также из банковского счета В и, вообще говоря, континуального числа облигаций V = (Р(?,Т); О ^ t < Т, Т > 0}.
Разделы 1-4 относятся к (В, S)-рынкам.
(В, Р)-рынок имеет свои осо-бенности, и его рассмотрение выносится в отдельный раздел 5.стратегию (инвестора, трейдера,...) на рассматриваемом рынке, состоящем из d + 1 актива.
Процесс Xж = (Xf)t^о со значениями
d
= (1) «=0
или, в векторной записи,
X? = (*uXt), (2)
будем называть капиталом или процесс-капиталом портфеля Ж. Значение х = Xq есть величина начального капитала, что иногда подчеркивается обозначением Хп — Х^(х).
2. В § 1а, гл. V, для случая дискретного времени было введено понятие самофинансируемых стратегий ж и объяснена их роль как тех стратегий, для которых эволюция соответствующего капитала Хж может осуществляться лишь только за счет изменений в рыночных стоимостях (ценах) активов Xі без какого-либо "оттока или притока" капитала извне.
Для случая непрерывного времени определение самофинансируемости становится несколько более деликатным, что связано, в конечном счете, с проблемой описания того класса функций, которые допускают интегрирование по рассматриваемым семимартингалам.
Напомним, что в случае дискретного времени (см. § 1а, гл. V) портфель ж = (7Г°, 7Г1,..., 7rd) называется самофинансируемым (я- є SF), если при каждом n ^ 1
п
К=*о + (3)
k= 1
или, в развернутой форме,
fc=i ;=о
Точно так же и в случае непрерывного времени естественно было бы говорить, что ж есть самофинансируемый портфель, или самофинансируемая стратегия (я- Є SF), если при каждом t > О
Х? = Х5+ f\\*„dXa) (5)
J о
или, что то же,
г* d
*г = *о + / (6)
что в символической форме будем записывать как
dX? = (74,dXt).
При этом, конечно, надо, в первую очередь, дать определение "векторных стохастических интегралов (5)"
Один из способов их определения состоит в том, чтобы положить просто по определению
[\\*a,dXa) = J2 f* т.е. Подобный способ определения вполне оправдан (и мы его придерживаемся) для "простых" функций, что, в сущности, является наиболее естественной (если и не единственной) конструкцией, соответствующей самой идее "интегрирования" Однако оказывается, что определением (7) не охватываются все те случаи, когда "векторный стохастический интеграл / (irs,dXs)" может J о быть вполне корректно определен, например, предельным переходом от соответствующих интегралов [ (irln\\dXs) для "простых" процессов J о 7г(п) = (7Ts(n))s^0, n ^ 1, которые аппроксимируют (в подходящем смысле) процесс 7г = (tts)s>o- Суть дела здесь состоит в следующем. Во-первых, даже обычные (скалярные) стохастические интегралы rt . ж1 ¦ Х\\ = / я-* dX\\ определяются, вообще говоря, для более широкого J о класса предсказуемых процессов жг, а не только для локально ограниченных, как это было изложено в §5а, гл. III. (Привлекательная особенность локальной ограниченности процессов жг состоит в том, что если Хг Є Л\\ос, то стохастический интеграл жг ¦ Xі также принадлежит классу Ж\\ос\\ см. свойство (с) в п. 7, §5а, гл. III.) Во-вторых, "покомпонентное определение" (7) никак не учитывает возможную "интерференцию" участвующих семимартингалов, которая, в принципе, может привести к расширению класса векторных процессов 7г = (тг°, тг1,... ,ird), аппроксимируемых "простыми" векторными процес-сами 7г(п), га ^ 1. 3. Поясним основные идеи и результаты "векторного стохастического интегрирования" учитывающего отмеченные обстоятельства, отсылая за деталями доказательств к специальной литературе (см., например, [74], [172], [248; гл. II], [249], [250], [303], [304], [347]). Пусть X = (Xі,..., Xd) - d-мерный семимартингал с (некоторым) раз-ложением X = Х0 + А + М, (8) где А=(АIі,..., Ad) - процесс ограниченной вариации и М= (М1,... Очевидным образом можно найти такой согласованный с потоком F = (^Ьо неубывающий процесс С = (Ct)t^o с Со = 0 и согласованные процессы с1 = (cj) и cIJ = (С(3), г, j — 1,..., d, такие, что А\\ — Ґ el dCs, t> 0, (9) Jo а квадратические вариации [М\\М% = fjjdCs. (10) Jo (По поводу определения процессов [АР, АР] и выполненного для них свойства [АР, АР]1\'2 Є Мое см. §5Ь,гл. III.) Пусть 7Г = (я-1,..., 7rd) - предсказуемый процесс. Будем говорить, что тг Є Lvai(A), (И) если (для всех ft I d dCs < оо, t > 0. (12) 4=1 Будем писать также (q ^ 1) т Є L«oc(M), (13) "|<г/2 Є Мое, ( ? ^с^тгЛ -Чі=1 \' если процесс т. е. если для некоторой последовательности марковских моментов тп "f оо, п —> оо, 9/2 < оо. (14) Если для некоторого представления X = Хо + А + М предсказуемый пропесс 7Г Є Lvai (Л) П L^oc (М), то говорят, что тг Є Lg(X), (15) или что 7Г Є Lq(X; Р, F), если нужно подчеркнуть роль меры Р и потока F = (^t)t^cb относительно которых ведутся все рассмотрения. Подчеркнем, что принадлежность ж классу Lg(X) не зависит от конкретного выбора доминирующего процесса С = (Ct)t^.o- (См., например, [249].) И в скалярном, и в векторном случае одно из стандартных определений стохастических интегралов / (tts, dXs), t > 0, для 7Г Є Lq(X) состоит JO в том, чтобы положить, по определению, [ (тгs,dXs) = f (tts, где ^ / Jo Ю i=1J0 ¦ сумма (потраекторных) интегралов Лебега-Стилтьеса и rt J Jo Г (7Ts,dAs) = T [ <4dCs (17) {*s,dMs) (18) Ю - стохастический интеграл по локальному мартингалу М — (М1,..., Md). Определение интегралов Лебега-Стилтьеса по пропессу ограниченной вариации (для % Є Lvar {А) и каждого о; Є О) не вызывает трудностей. Основная же здесь проблема заключается в том, чтобы дать определение (векторных) интегралов (18) по локальному мар-тингалу М (для 7г Є Lfoc(M)) и доказать корректность определения (16), иначе говоря, установить н независимость значений так получаемых интегралов / (tts, J о от конкретного семимартингального разложения (8). Замечание 1. "Естественное" определение (16) содержит ряд "под-водных камней" Так, из него автоматически вовсе не следует, например, свойство линейности: a f\\ir\'SJdXs) + b f\\ir\'s\