§ Зс. Асимптотический арбитраж и контигуальность

1. Из всего предшествующего изложения в этой главе, относящегося к теории арбитража., понятно, сколь значительна в этой теории роль проблематики "абсолютной непрерывности вероятностных мер" Ниже-следующее изложение показывает, что для теории асимптотического арбитража ключевую роль играет понятие контигуальности вероятностных мер, являющееся одним из важных концептуальных понятий в асимптотических вопросах математической статистики.

Чтобы ввести понятие контигуальности наиболее естественным путем, рассмотрим сначала "стационарный" случай (см.

п. 2 в § ЗЬ для определения и обозначений).

Пусть (Рп)„?і - некоторая последовательность (согласованных) мар-тингальных мер из Р. Предположим, что на (П, 9) существует также мера Р такая, что Р | Э"п = Pn, n ^ 1.

Напомним (см. §3а, гл. V), что меры Р и Р назывались локально экви-валентными (Р ^ Р), если Рп ~ Р„, п ^ 1.

Важно при этом подчеркнуть, что из свойства Р Р не^следует, вообще говоря, ни одно из следующих свойств: Р < Р, Р < Р, Р ~ Р.

Согласно следствию из предыдущего параграфа, если

Р(^оо > 0) = 1, (1)

где Zoo = limZn, Zn — ", то асимптотический арбитраж отсутствует.

"Р«

Согласно импликациям (і) (ііі) в теореме из § За, гл. V, условие (1) равносильно (в рассматриваемом предположении Р Р) тому, что Р <С Р. Таким образом, условие Р « Р (как, разумеется, и условие (1)) может рассматриваться как именно то дополнительное (к свойству Р ~с Р) тре-бование на поведение вероятностных мер п-рынков, которое препятствует появлению при п —> оо асимптотического арбитража.

В том же случае, когда на (П, с & — V отсутствует

мера Р со свойством Р1= Рп, п > 1, для формулирования соответствующего аналога утверждения

P(Zoo > 0) = 1 <і=Ф Р « Р (2)

важным оказывается следующее

Определение 1. Пусть на измеримых пространствах (Еп, &п) заданы вероятностные меры Qn и Qn, п ^ 1.

Последовательность мер (Qn)n^i называется контигуальной по от-ношению к последовательности (Qn)„^i (обозначение: (Qn) <1 (Qn)), если для всех последовательностей множеств А" Є &п со свойством Qn(An) 0, п оо, имеет место также и свойство Qn (Ап) -? 0, п оо.

Замечание 1.

Когда пространство (EnlSn) и меры Q™ и Q" не зависят от п ((Еп, Теорема 1 ("стационарный" случай). Пусть (Р„) - некоторая по-следовательность мартингальных мер из Р. Тогда

Р(ZOO > о) = 1 (Ря) < (Р„). (3)

Выполнение условия контигуальности (Рп) < (Рп) гарантирует отсутствие асимптотического арбитража.

Если (Р„) _ единственная мартингальная последовательность, то условие (Рп) < (Р«) является необходимым и достаточным для отсутствия асимптотического арбитража.

Доказательство теоремы непосредственно вытекает из теоремы 1 предыдущего параграфа и приводимой ниже леммы 1, содержащей некоторые полезные критерии контигуальности, для формулировки которых понадобятся дополнительные обозначения и определения.

2. Пусть Q и Q - две вероятностные меры на измеримом пространстве

(Е,Ё) и Q = |(Q + Q), 3 = j — Z = -. (Версии производных

dQ dQ З

Радона-Никодима з и з могут быть выбраны так, что 3+3 = 2.)

Напомним теперь, что, согласно разложению Лебега (см., например, [439; гл. III, § 9]), мера Q может быть представлена в виде

Q = Qi+Q2,

где меры

QI (А) = EQ ZIa, Q 2(A) = Q(An(Z = OO)).

Поскольку Q(Z < 00) = 1, то Qi Q и Cfe-LQ.

Таким образом, Z есть не что иное, как производная Радона-Никодима абсолютно непрерывной компоненты меры Q по мере Q. ^Именно в этом

dQ \\

смысле следует понимать используемое для Z обозначение

Определение 2. Пусть а Є (0,1) и

H(a;Q,Q) = E^j1\'", (4)

tf(Q,Q)=tf(i;Q,Q), (5)

p(Q> Q) = \\Л — H(Q, Q). (6)

Величина H(a\\ Q, Q) называется интегралом Хеллингера порядка а между мерами Q и Q, Н(Q,Q) - интегралом Хеллингера, ap(Q, Q) - расстоянием Хеллингера между мерами Q и Q.

Доказывается (см. [250; гл. IV, § 1а]), что значение Н(a; Q, Q), на самом деле, не зависит от выбора доминирующей меры Q. Это свойство объясняет часто используемую символическую запись

tf(a;Q,Q)= f (dQ)a (dQ)1\'", (7) J E

H(Q,Q) = JE\\/dQdQ, (8)

p(Q, Q) = \\ ! (VdQ - yf*)\\ (9)

Пример.

Пусть Q = Qi x Q2 x ¦ • •, Q = Qx x Q2 x ¦ • •, где Qfc и Qt - гауссовские меры на (R, SB (Ж)) с плотностями

у/2ж

(x-Jit)2

y/2nah

Тогда

H(a; Qfc,Qfc) - Jj.dQkridQk)1-" = f dQk

и,следовательно,

Я(а; Q, Q) = ? (Ю)

Лемма 1. Пусть (Еп,@п) - измеримые пространства, наделенные вероятностными мерами Q" и Qn, п ^ 1. Следующие утверждения

( dQn dQn 1 ~ \\

равносильными (Г = Z" = Qn = -(Qn+Q«)J:

(Qn) < (Qn);

ІітЇЇт Qn(3" < є) = 0;

є4.0 n

lim їїт Qn(Zn > N) = 0;

JVfoo n

lim lim Д"(а; Q", Q") = 1. «4-0 n

Доказательство леммы см. в [250; гл. V, лемма 1.6].

Доказательство утверждения (3) в вышеприведенной теореме 1 следует непосредственно из эквивалентности утверждений а) и с) в лемме 1, применяемой к Qn = Р„ и Q" = Рп:

являются

(Р«) < (Рп) Um lim Р > N) — 0 Nt°o п \\dpn J

lim lim P( < є ) = 0

є4.0 n

lim P(Zqo < є) = 0 P(Z0о > 0) = 1, є4.о

dPn

где Zoo есть lim существующий Р-п.н. "Pn

Утверждение об отсутствии асимптотического арбитража при выпол-нении условия контигуальности (Р„) < (Рп) вытекает из следствия к теореме 1 из § ЗЬ и установленного свойства (3).

3. Обобщение теоремы 1 на общий ("нестационарный") случай не вызо- вает каких-либо затруднений.

Будем придерживаться схемы, изложенной в п. З в § ЗЬ.

Теорема2. Пусть (Р?(п))п>1 ~ некоторая "цепочка" мартингальных мер на (Bn,Sn)-рынках (P?(n) ~ р?(„))-

Условие (PJJ(n)) < (Pfc(n)) гарантирует отсутствие асимптотического арбитража.

Доказательство. Из равносильности условий а) и с) в лемме 1 заключаем, что

(Pfc(n)) < (Pfc(n)) ЪьЪЙ- P"(2fcn(n) < є) = 0, (11) cfP", ,

где z*(n)=и\'наломним\' =рп і ^

Требуемое утверждение об отсутствии асимптотического арбитража при выполнении условия контигуальности (Рцп)) < (Pfc(n)) следует из (11) и теоремы 2 из § ЗЬ.

4. Ло сих пор условия отсутствия асимптотического арбитража форму-лировались в терминах асимптотических свойств отношений правдоподобия (теоремы 1 и 2 в § ЗЬ) или в терминах контигуальности (теоремы 1 и 2 в настоящем параграфе).

Приведенная выше лемма 1 в качестве необходимого и достаточного условия контигуальности (Qn) <1 (Qn) дает условие, выраженное в терминах асимптотических свойств интегралов Хеллингера порядка ос Є (0,1):

(Qn) « (Qn) <=> lim lim Я(о; Q", Qn) = 1. (12)

c*4.o n

В ряде случаев оперирование с такими интегралами не представляет трудностей и быстро приводит к установлению отсутствия асимптотического арбитража. (См. далее примеры в п. 5.)

В этом смысле простейшим является случай "прямого" произведения мер.

Именно, будем предполагать, что

Е" = Е" х ¦•¦ х S»(n)> g»=g?x...x

Q" = Q? х ¦ - ¦ х Q»(n), Q» = Q" х • • ¦ х Q»(n),

где Qfc и Q]J - вероятностные меры на (Eg

Ясно, что в таком случае

fc=i fc(»)

= П [1-(1- tf(a;Q?,Q?))] (13)

ь=і

*(")

lim lim Н(а] Q", Qn) = 1 <=> lim lim V* (l -#(a;Q?,Q?)) = 0. (14)

aJ-O n aiO n

Тем самым, в рассматриваемом случае "прямого" произведения

«К»)

(Qn) < (Q") lim lim ]Г (1 - Я(о; Q", QJ*)) = 0. (15) а4Л "

5. Приведем некоторые примеры, с одной стороны, показывающие эффективность критериев отсутствия асимптотического арбитража, основанных на интегралах Хеллингера порядка а, и, с другой стороны, проясняющие рассуждения и выводы теории APT, изложенной в § 2d, гл. I. Примеры 1 и 2 являются частными случаями примеров, рассмотренных в работе [260].

Пример 1 ("большой стационарный" рынок с d(n) = 1 и к(п) — п). Будем считать, что имеется вероятностное пространство (П, 3, Р), где О = { —1,1}°° - пространство двоичных последовательностей х = (21,2:2, • • •) с ХІ = ±1, мерой Р такой, что Р{х: (ж1;... ,х„)} = 2-п. Пусть ЄІ(Х) = ХІ, і = 1,2,... . Тем самым, є = (є і, є2, ¦. ¦) есть последовательность бернул- лиевских случайных величин Р(є, = ±1) = j.

Каждый (Б", 5")-рынок, действующий на (П,Зп,Рп) с 9п = = сг(єі,...,є„) и Р" = Р|^п, предполагается таким, что = 1 и

5" = (Si,...,5п),где

Sk = Sk-i(l + Рк), So = 1, (16)

С Pfc = Mfc + 0, max(-

Из (17) и теоремы 2 в § 3f, гл. V, вытекает, что в рассматриваемом случае существует и притом единственная мартингальная мера, имеющая структуру прямого произведения, рп — р« х Р« х . .. х Р™, относительно которой величины ЄЇ, Є2, ¦. -, єп независимы и

Вспоминая, что ?>ь = , и применяя теорему 1, находим, что условие

( — ) < оо является необходимым и достаточным для отсутствия fc=i W/

асимптотического арбитража на рассматриваемом "большом стационарном" рынке.

Пример 2 ("большой" рынок с к(п) = 1 и d(n) = п). Будем рассматривать одношаговую модель {Вп, 5п)-рынков, предполагая, что Вп = (В?), = Si..., S^\'1), где к = 0,1 и50" - В? = 1, а

Предполагается также, что <7j > 0, с* > 0, с2 + с2 = 1 и є = (єоі є і»¦ • •) - последовательность независимых бернуллиевских случайных величин, принимающих два значения ±1 с вероятностями

В связи с теориями САРМ и APT полезно сейчас представлять Sj., г > 1, как стоимость некоторой акции в момент к, торгуемой на "большом" "глобальном" рынке, а - как индекс этого рынка (скажем, индекс S&P500 на рынке акций тех пятисот компаний, по которым составляется этот индекс; см. п. 6 в § lb, гл. I).

Если следовать изложенной выше "схеме серий" (Вп, 5")-рынков, то можно считать, что каждый из них определен на вероятностном пространстве (П, ^п,Р"),где^"п = Сг(єо, ЄЇ,...

Из (23) и (24) легко устанавливается, что в рассматриваемой схеме для каждого n ^ 1 заведомо существует (по крайней мере одна) мартингаль- ная мера. Действительно, в качестве такой меры можно взять меру Р"

(снова имеющую структуру прямого произведения), устроенную так, что относительно нее величины SQ , є\\,.. ., єп і независимы,

Р"(ЄІ = 1) = І(1 + bi), Рп(ЄІ = -1) = i(l - Ьі). Непосредственно видим, что

Как и в предыдущем примере, отсюда заключаем, что

в дополнение к условиям\r\nМО < 1, PoPi ~ Pi\r\n00 СГіСі\r\n(26)

отсутствие асимптотического арбитража. (Ср. (26) с (4) в §2с, гл. I, и (19) в § 2d, гл. I.)

Замечание 2. Следует подчеркнуть принципиальную разницу в рассмотренных примерах. В первом из них, где временной параметр к ^ п, существует единственная мартингальная мера Рп, что и дало возможность

утверждать (в силу теоремы 1), что условие Y1 ( — ) < 00 является не-

обходимым и достаточным для отсутствия асимптотического арбитража.

Во втором же примере, где п играет роль номера серии, мера Р" не является единственной для п ^ 1, что и поясняет то, что условие (26) является литтть достаточным для отсутствия асимптотического арбитража. Как показывается в работе [260], необходимым и достаточным является

Пример 3. Рассмотрим "стационарный" логарифмически-гауссов- ский (§3с, гл. V) рынок (В, S) = {(5", 5"), п > 1} с В? = 1, Sn = {So, Si,.. .,S„), где

Предполагается, что hk = Цк + ffc^fc, к ^ 1, где (єі, ¦ ¦ •) - последовательность независимых нормально распределенных, JY(0,1), случайных величин, заданных на вероятностном пространстве (О, З, Р), и а к > 0, Jb> 1.

Пусть = <т(єі,..., єп), Pn = P|^n, n> 1. В §3с, гл. V, было показано, что если

то по мере Р„ с dP„ = dPn последовательность цен (Sk)k4n образует мартингал, при этом Law(/ifc | Pn) = J/{fik, crk)c

Отсюда легко найти, пользуясь формулой (10), что

гарантирует отсутствие асимптотического арбитража.

то исходная вероятностная мера Р является мартингальной для последовательности S = {Sk)k>0-

Отметим, что условие (30) является также необходимым и достаточным для (Pn) < (Р"). Тем самым, это условие необходимо и достаточно для взаимной контигуальности последовательностей мер (Р") и (Рп), обозначаемой (Рп) <> (Рп).

6. Кратко остановимся на понятии полной асимптотической разделимости, являюшейся естественным "асимптотическим" аналогом понятия сингулярности.

Определение 3. Пусть на измеримых пространствах (Еп, &п) заданы вероятностные меры Qn и Qn, n ^ 1.

Говорят, что последовательности (Q")„^i и (Q")n^i удовлетворяют свойству полной асимптотической разделимости (обозначение: (Qn) Д (Q™)), если существует подпоследовательность | ос при k too и для каждого к существуют множества А"* Є &Пк такие, что Q"k (АПк) —> 1 HQ"*(An*) 0 при fc 1" оо.

Лемма 2. Пусть (Еп,§п) - измеримые пространства, наделенные вероятностными мерами Qn и Q", n ^ 1. Следующие утверждения

( dQn dQn —„ 1, ~ Л являются равносильными = -=j, Zn = , Q = - (Qn + Qn)J:

Доказательство леммы см. в [250; гл. V, лемма 1.9].

7. Проведенный в примерах 1-3 анализ отсутствия асимптотического арбитража показывает эффективность обращения к критериям, выраженным в терминах асимптотических свойств интегралов Хе л линтера порядка а > 0.

В случае фильтрованных вероятностных пространств (как в примерах 1 и 3) полезным оказывается обращение к так называемому процессу Хеллингера, в терминах свойств которого также можно давать критерии абсолютной непрерывности, контигуальности и других "взаимных" свойств вероятностных мер.

Нижеследующее изложение можно рассматривать как введение в круг вопросов, связанных с процессом Хеллингера, на примере случая дискретного времени. (Подробнее см. [250; гл. IV, V].) _

Предположим, что заданы две вероятностные меры Р и Р на фильтро-ванном измеримом пространстве (0,3, (Зп)п^о), Зо = {0,0}, 3 = \\J Зп.

Обозначим через Pn = Р | ЗП и Pn = Р | ЗП их сужения на ЗП, ТІ > 1, Q = i(P + P),Qn=Q|^n. _

напомним, что j„ = 0, если з„_і = 0, и также 3n = 0, если зі - 0).

В этих обозначениях интеграл Хеллингера Нп(а) = Н(а; Р„, Р„) порядка а может быть записан в виде

Пусть fa(u,v) — «"к1-0. Эта функция является выпуклой вниз (для и > 0, v ^ 0),ив силу неравенства Иенсена для т ^ п (Q-п.н.)

Таким образом, последовательность У (a) = (Уп (a), 3n,Q) является (ограниченным) супермартингалом, который, согласно разложению Дуба (гл. П, § lb), может быть представлен в виде

где М{а) = (Mn(a),3n,Q) - мартингал и А(а) = (Ап(a),3n-i,Q) ~ предсказуемый неубывающий процесс с AQ (а) ~ 0.

Конкретная структура (см. (33)) процесса У (а) позволяет для предсказуемого процесса А(а) дать представление следующего вида:

с некоторым неубывающим предсказуемым процессом Л (а) — (hk(a))k-^o, Ло(о) = 0.

Такой пропесс определяется, вообще говоря, неоднозначно. Например, следующие процессы

где ipa (и, v) — au + (1 — ce)v —uav1~a, 0 < a < 1, удовлетворяют сформулированным требованиям, что непосредственно устанавливается проверкой того, что для них процесс М(а) — (Мп (а), , Q) с

является мартингалом. (См. также в этой связи [250; гл. IV, § 1е].)

Определение 4. Всякий неубывающий предсказуемый процесс /i(a) = (M«))fc^o> ho (а) = 0, для которого процесс М(а) = (Мк( a),9k,Q)k^0, определяемый формулой (39), является мартингалом, называется процессом Хеллингера порядка а Є (0,1).

Замечание 4. Пусть Р « Р, т.е. Р„ < Р„, п > 0, Zn = и

Рп = „ " • Тогда процессы hn(а), задаваемые формулами (37) и (38), могут быть представлены в следующем виде:

Замечание 5. Рассмотрим схему "прямого произведения" считал П = EI XJE2 х • • •, 9 = SI ®§2 ® • • •, Р = Qi х Q2 х • • •, Р = Qx х Q2 х • • ¦, где Qi и Qі - вероятностные меры на. (Ei, Si).

Тогда предположение Р Р равносильно тому, что Qn С Qn, " ^ 1, dQn

Поскольку Ер рп = 1, то видим, что правые части в (36) и (37) совпада-ют, и определяемый ими пропесс Хеллингера h(a) = (hn (сх)) с

Если Нп(а) = Н(а]Р„, Рп), то в рассматриваемом случае "прямого произведения"

С разностными уравнениями такого типа мы уже имели дело в гл. II (см. формулу (11) в § 1а), где их решения записывались с помощью стохастической экспоненты:

§ Зс. Асимптотический арбитраж и контигуальность

Еще по теме § Зс. Асимптотический арбитраж и контигуальность: