§ 3d. Некоторые аспекты аппроксимации и сходимости в схеме серий безарбитражных рынков

В настоящем параграфе будет рассматриваться та ситуация, когда помимо "допредельных" п-рынков (Вп, 5"), заданных на вероятностных пространствах (Г2П, , Р"), n > 1, имеется также и "предельный" рынок (B,S), заданный на Р), причем при п —»¦ оо имеет место (слабая)

сходимость

Law(?n,S"|P") ->Law(B,5|P). (1)

Основные вопросы, которыми мы будем далее интересоваться, состоят в выяснении того, что можно сказать (в предположении (1)) также и о сходимости

Law(.Bn,5" | Р") Law (Б, 51 Р), (2)

где Р" и Р - те или иные мартингальные меры из классов ё?(Рп) и ^(Р), соответственно, и каким образом выбрать подходящие меры Р" и Р, для которых можно гарантировать сходимость (2).

В связи с последним вопросом целесообразно напомнить, что мы уже имели дело с разными способами построения мартингальных мер, основанными, например, на преобразованиях Гирсанова и Эшера. Напомним также, что понятие минимальной мартингальной меры, о котором шла речь в § 3d, гл. V, возникло (в работах Г. Фёльмера и М. Швайпера; см., например, [167] и [429]) именно в связи с вопросами о том, какие мартингальные меры из ^(Р") следует рассматривать в качестве наиболее "естественных" кандидатов при образовании цепей мер (Р")п^ь используемых для финансовых расчетов. (В этой связи не будет лишним подчеркнуть, что, скажем, расчеты цен хеджирования, рациональных стоимостей опционных контрактов осуществляются с привлечением именно мартингальных мер Р" и Р, а не исходных (также говорят - физических) мер Р" и Р; см., например, "основную формулу для цены хеджирования Европейского типа на неполных рынках" (8) в § 1с или формулу (20) в § 4Ь.)

2. Переходя к рассмотрению поставленных вопросов, целесообразно напомнить, что в финансовой литературе весьма четко выделяются и своею простотой, и своею популярностью следующие две "классические" модели (В, 5)-рынков:

модель Кокса-Росса-Рубинштейна (или биномиальная модель; § 1е, гл. II) в случае дискретного времени и

модель Блжа-Мертона-Шоулса (или стандартная диффузионная модель, основанная на геометрическом броуновском движении; §4Ь, гл. III) в случае непрерывного времени.

Хорошо при этом известно, что первая модель (с малым временным шагом Д > 0) является вполне удовлетворительной аппроксимацией второй модели, и результаты расчетов (скажем, для стандартных опционов), полученные для первой модели, близки к результатам расчетов для второй модели (В, 5)-рынка, для которой

Bt = B0ert, St^Soe^-^*™\