§ 2Ь. Мартингальный критерийотсутствия арбитражных возможностей. I. Формулировка первой фундаментальной теоремы
Теорема А.
Пусть определенный на фильтрованном вероятностном пространстве (Q, 8Р, Р)(В, S)-рынок
состоит из банковского счета В = (Вп), Вп > 0, и конечного числа d активов S = (S1,..., Sd), S{ = (5*).
Предполагается, что рынок функционирует в моменты времени n = 0,l,...,iV, ^ = {0,0} =
Для того, чтобы (В, S)-рынок был безарбитражным, необходимо и достаточно, чтобы нашлась (хотя бы одна, называемая "мартин- гальной" или "риск-нейтральной") мера Р, эквивалентная мере Р, относительно которойd-мерная нормированная последовательность
I = (SrA
В \\вп)
(1)
с Sn — (S„, ¦ ¦ ¦, Sd) является Р-мартингалом-, для всех г — 1,... ,d и п = 0,1,... ,iV
< оо
Вп
ч
и для тг = 1,... ,N
Доказательство этой теоремы будет проводиться в несколько этапов: достаточность - в § 2с, и необходимость - в § 2d. В § 2е будет приведено другое доказательство несколько более расширенного варианта этой теоремы. Сейчас же сделаем некоторые замечания относительно содержательности сформулированного критерия.
Раньше уже отмечалось, что предположение отсутствия арбитражаиме- ет вполне понятный экономический смысл и может рассматриваться как желательное свойство "рационально" "эффективно" "справедливо" функ-ционирующего рынка. Ценность сформулированной теоремы (Харрисон и Крепе, [214], Харрисон и Плиска, [215], - в случай конечного Q, и Даланг, Мортон, Виллинджер, [92], - в случай произвольного О) в том, что она открывает возможность проведения аналитических расчетов, связанных с финансовыми активами и операциями с ними на таких "безарбитражных" рынках.
(Именно поэтому она и называется первой фундаментальной теоремой теории расчетов.) В сущности, это уже было продемонстрировано выше при расчетах верхних и нижних пен (§ § lb, с). Сформулированный критерий будет систематически использоваться далее, например, прирассмотрении форвардных и фьючерсных цен (§ 1е, гл. VI), рациональных стоимостей опционов (разделы 4 и 5, гл. VI).
Эта теорема имеет также и концептуальную ценность, состоящую в том, что довольно-таки расплывчатая аргументация концепции эффективного, рационально устроенного рынка (§2а, гл. I), преследующая цель как-то обосновать свойство мартингальности цен, становится логически строгой в рамках концепции безарбитражности, говорящей о том, что "рацио-нальная устроенно сть" должна пониматься как отсутствие для инвесторов возможностей получения на рынке бездискового дохода.
2. При оперировании с последовательностями X = (Х„), являющимися мартингалами, важно указывать не только меру Р, но и поток ст-алгебр относительно которых выполнены "мартингальные" свойства:
Хп ~ ^„-измеримы, Е|Х„| < оо, Е(Хп+1\\Рп)=Хп (Р-п-н.).
Чтобы подчеркнуть эти обстоятельства, о рассматриваемом мартингале говорят, что он является Р-мартингалом или (Р, (^"„))-мартингалом и используется запись X = (Хп») Р) •
Отметим теперь, что если X является (Р, (^„})-мартингалом, то он будет и (Р, (^п))-мартингалом относительно всякого "меньшего" потока (^„) с С лишь бы только Хп были ^„-измеримыми. Действительно, из ^„-измеримости Хп и "телескопического" свойства условных математических ожиданий находим, что "мартингальное" свойство выполнено:
Е(Хп+1 | »„) = Е(Е(Х„+11 ^„) | »„) = Е(Х„ | »„) = Хп (Р-п-н.).
Понятно, что если X является (Р, (,!^„))-мартингалом, то "минимальным" потоком (^„), относительно которого X остается мартингалом, является "естественный" поток, порожденный самим мартингалом, т.е. <9n= цен всех тех активов, которые "действуют" на рынке, иначе говоря, в этом случае поток (^„) является "минимальным" 3- Естественно задаться вопросом о том, сохраняет ли свою силу теорема, когда d = оо или JV = оо. Следующий контрпример В. Шахермайера (W. Schachermayer, [424]) показывает, что в случай d — оо (и N = 1) может иметь место "безарбит- раж" но не существовать "мартингальной" меры, т. е. при d = оо "необхо-димость" в сформулированной теореме, вообще говоря, может и не иметь места. Пример 1. Пусть Q = {1,2,... }, = {0, & = <^1 - ст-алгебра, оо порожденная конечными подмножествами О, и мера Р = 2 &<5fc, т.е. fc=i P{fc} = 2~к. Последовательность цен S = (S„) для г = 1,2,... ип = 0,1 определим следующим образом: 1, ш = г, -1, ш = г\'+1, 0 в остальных случаях. Для такой последовательности пен (В, S)-рынок с BQ = Вг = 1 является безарбитражным. Действительно, всякий капитал Xf (и) может быть представлен в виде оо оо х? = со + Ci5j = XQ + ^CiASi І= 1 »=1 OO /• ОО v гдеХц = со + 2 ci (предполагается, что |с*| < оо). Но если Xq = 0, ОО т. е. со + Cj = 0, то из условия Xi > 0 находим, что і=І XI(1) = сі > 0, ХГ(2) = с2 - ex > 0, ..., Xf(fc) = cfc - cfc_i > 0, ... . Отсюда заключаем, что все Cj = 0 и, значит, = 0 (Р-п.н.). Однако мартингальная мера не может существовать^ В самом деле, пусть существует мера Р ~ Р, относительно которой S является мартингалом. Тогда, при любом і — 1,2,..., должны быть выполнены равенства EpASJ = 0, т. е. Р{г} = Р{?+ 1} при любом г = 1,2,... . Но, очевидно, такой вероятностной меры Р нет. Следующий контрпример относится к возможности справедливости "до-статочности" в теореме в случае N = оо. Именно, он показывает, что наличие мартингальной меры еще не гарантирует отсутствия арбитража, т. е. может иметь место арбитражная возможность в смысле, объясняемом ниже. Пример 2. Пусть на (Q, &, Р) определена последовательность ? = (?п)п^о независимых одинаково распределенных случайных вели- чине Р(?„ = 1) = P(f„ = -1) = Положим So = 0, Sn = + • • • 4- ?n, Вп ~ 1 и пусть капитал ¦ XI = Y, ( = ? ъЬ l^fc^n ^ l^fc^n где Ґ2*"1, если^і = ••• =^fc_! = -1, Ik = і tO в остальных случаях. Хорошо известно, что Х? может рассматриваться как капитал некоего игрока в игре с "симметричным" противником, при которой его выигрыш-проигрыш определяется значениями величин (выигрыш, если ?к = 1, и проигрыш, если = —1), ипри проигрыше происходит удвоение ставки. Понятно, что если = ¦ ¦ ¦ = (,k = — 1 (т. е. игрок все время был в проигрыше), то его капитал г=1 т.е. является чистим проигрышем. Однако, если в следующий момент k + 1 он будет в выигрыше, т.е. ?fc+i = 1, то тогда его суммарный капитал будет в этот момент к +1 равен = XI + 2fc = -(2* - 1) + 2* = 1. Поэтому, если в понятие "стратегии" игрока включить (помимо выбора портфеля) еще и (случайный) момент прекращения игры т, то тогда игрок может иметь положительный выигрыш. Действительно, пусть т = inf{fc: Х? = 1}. Так как Р(т = k) = то Р(т < оо) = 1, и, значит, ЕХ? — 1, поскольку Р(.Х^Т = 1) = 1, хотя начальный капитал Х? = 0. Тем самым, на рассматриваемом (В, 5)-рынке с Вк = 1 имеется арбитражная возможность, состоящая в том, что существует портфель 7Г такой, что XQ = 0 и для некоторого т математическое ожидание ЕХ? = 1. Заметим, между прочим, что использованная в этой игре возможность удвоения ставки при проигрыше подразумевает, что игрок или бесконечно богат, или имеет неограниченный кредит, беря деньги взаймы с банковского счета, что, конечно, мало реалистично и в том, и в другом случае! Именно это обстоятельство и заставляет при рассмотрении вопросов "Теории арбитража" накладывать на классы допустимых стратегий опре-деленные разумные ограничения, вызываемые "экономической" целесооб-разностью. (См. по этому поводу далее § 1а в гл. VII.)