§ 1а. Неопределенность и нерегулярность поведения цен, вероятностное их описание и представление

S = (5п)п^о

- рыночная пена, скажем, акции, обменный курс двух валют или какой- либо другой финансовый индекс (без каких-либо ограничений на время его "жизни" как это имеет место для цен облигаций).

JI. Башелье, без сомнения, был первым, кто стал для описания пен (Sn)n^o пользоваться понятиями и методами теории вероятностей, дающей модель для изучения эмпирических феноменов, характеризуемых статистической неопределенностью, но в то же самое время обладающих свойствами устойчивости статистических частот.

Придерживаясь вероятностного подхода и следуя общепринятой ныне аксиоматике теории вероятностей Колмогорова, мы будем предполагать, что все рассмотрения ведутся на некотором вероятностном про-странстве

(П.^.Р),

где

Q - пространство элементарных событий OJ (состояний рынка, в рас-сматриваемом контексте) ;

3 - (7-алгебра подмножеств П (совокупность событий, наблюдаемых на рынке);

Р - вероятность, вероятностная мера на 3-.

Как отмечалось в § 1а гл. I, время и динамика являются неотъемлемыми компонентами финансовой теории, в связи с чем целесообразно исходное вероятностное пространство (fi, 2Р, Р) специфицировать, считая заданным поток F = (3:п)п^о (У-алгебр таких, что

^Ь С 3:1 С - • • С С ¦ ¦ ¦ С

Смысл введения этого потока неубывающих ст-подалгебр, входящих в & и называемых также фильтрацией, проясняется следующей интерпретацией:

Зп - совокупность событий, наблюдаемых до момента п (включительно).

По-другому можно сказать, что 3-п - это доступная наблюдателю "информация" о состоянии рынка до момента времени п.

Итак, будем считать, что нашей базовой вероятностной моделью является фильтрованное вероятностное пространство

называемое также стохастическим базисом.

Во многих случаях целесообразно расширить понятие стохастического базиса, считая, что, вместо единственной вероятностной меры Р, задано целое семейство = {Р} вероятностных мер. (Вызвано это тем, что часто бывает трудно специфицировать какую-то одну конкретную меру Р.) Пользуясь терминологией статистической теории решений, набор объектов (Л, 3 ^ (Зп)п^о, S?) можно назвать фильтрованным стохастическим (статистическим) экспериментом.

2. Если интерпретировать 3-п как информацию, доступную к моменту времени п, то естественно считать, что

Sn - -измеримы,

т.е., образно говоря, считать, что значения пен складываются в зависимости от событий, наблюдаемых на рынке до момента времени п (включительно).

Исходя из смысла Sn как "пены" (скажем, акции) в момент времени п, будем предполагать, что Sn > 0, п ^ 0.

Приведем теперь два наиболее распространенных способа представления цен S = (Sn)n^0-

Первый способ - (I), аналогичный формуле "сложных процентов" ("compound return"), см. § lb в гл. I, исходит из представления

Sn = S0eH», (1)

где Нп = ho + hi + Ь hn, ho = 0, п > 0, причем случайные величины

hn = hn (и>) являются 3-п-измеримыми. Таким образом, здесь

Яп=1п^ (2)

и "возврат" "отдача" "логарифмическая прибыль" (return)

(3)

Jn-l \\ Jn-1/

ASn — Sn — Sn-1- Положим

hn = Hn= Y, (4)

йп-1 lsjfcijn

Тогда формула (1) перепишется в виде

Sn = S0 П (1+Л*), (5)

или, равносильно, в виде

Sn = So П a + &Hk) = S0e"» П (1 + АЛк)е~АЙь. (6)

Представление (5) - это и есть второй способ, (II), представления цен, аналогичный формуле простых процентов ("simple return").

Обозначим §(Н)п выражение, стоящее в правой части (6):

8{Н)п=ей- J] (1 + ДЯ^)е"Л^. (7)

Определяемая этим выражением стохастическая последовательность

?(Н) = (?(Н)п)п>0, ЦН) 0 = 1,

называется стохастической экспонентой, порожденной величиной Я (Нп)п^о» Но — 1, или экспонентой Долеан.

Таким образом, можно сказать, что первый способ представления цен (I - "compound return") использует обычную экспоненту:

Sn=S0eH«,

второй же способ (II - "simple return") для своего описания использует стохастическую экспоненту:

Sn = S0S{H)n. (8)

При этом из (2)-(4) следует, что

нп= ? (eAHk -1),

что равносильно представлению

#„=Я»+ ? (еАНк-АНк-1). (9)

Понятно также из (3) и (4), что

Яп= ? 1п(1 + А Нк), (10)

где hn = АНп > — 1 вследствие предположения Sn > 0.

Полезно отметить, что стохастическая экспонента удовлетворяет стохастическому разностному уравнению

AS(H)n = S(H)n-iAHn, (11)

что непосредственно следует из (7).

Замечание 1.

eHt = 8(H)t,

где

Ht=Ht + -(Hc)t+ (еЛН® — 1 — AH3) (12)

0и S(H) = (S(H)t)t>0 - стохастическая экспонента-.

g(H)t = e^\'-^b Д (і + ДЯ3)е-Л^, (13)

о <.»<«

которая удовлетворяет (ср. с (11)) линейному стохастическому дифферен-циальному уравнению

dS{H)t = §(H)t-dHt. (14)

(В формулах (12) и (13) через (Яс) и (Н°) обозначены квадратические характеристики непрерывных мартингальных составляющих у семимартин- галов Я иЯ; см. раздел 5 в гл. III. По поводу стохастических дифференци-альных уравнений для случая, когда Я является броуновским движением, см. §3е, гл. III.)

Таким образом, для случая непрерывного времени аналогами (1) и (8) являются, соответственно, представления

St = S0eHt (15)

и

St = S0g(H)t, (16)

где процесс Я = (Ht)t^Q связан с Н — (#i)t>o формулой (12). Присутствующий в (12) ряд абсолютно сходится, поскольку на каждом интервале [0, t] у семимартингала с вероятностью единица имеется лишь конечное число "больших" скачков (|Д#а| > §) и J2 |АЯ<,|2 < оо. (См. замечание 3, §5Ь, гл. III.) 0Замечание 2. Из (3) и (4) следует, что

Л„=1п(1 + Л„) (17)

и

hn = eH»-1. (18)

Понятно, что при малых значениях hn

hn и hn, (19)

при этом

hn-K = l-h2n+l-hl + ---. (20)

3. Остановимся на проблеме описания распределения вероятностей по-следовательностей S ~ (Sn)n^о, Н = (Нп)п^о-

С точки зрения классической теории вероятностей и далеко продвину-той "статистики нормального распределения" было бы весьма привлекательно рассчитывать на то, что последовательность Н = (Нп)п^о является гауссовской (нормально распределенной).

Я„ =A1 + -" + An> 1, (21)

то свойства такой последовательности полностью определяются двумер-ными распределениями последовательности h — (hn)n^i> характеризуемыми средними

цп = Еhn, п ^ 1,

и ковариапиями

Cov(/in, hm) = Еhnhm - EhnEhm, m,n ^ 1.

Предположение нормальности существенно упрощает решение многих вопросов, зависящих от свойств распределений. Так, например, теорема о нормальной корреляции (см., например, [303; гл. 13]) в явном виде дает формулу для условного математического ожидания hn+i = Е(/гп+і | hi,..., hn), являющуюся оптимальной в среднеквад- ратическом смысле оценкой hn+1 по hi,..., hn:

п

hn+1 = Mn+i + ? a.i(hi - щ), i= 1

где коэффициенты щ подсчитываются по матрице ковариалий (см. [303; гл. 13], а также [439; гл. II, § 13]).

Формула (22) особенно проста, если hi,..., hn независимы. В этом случае

Со \\/(hn+i,hi) йі = Dfc \'

и оценка

~hn+1 = E/in+i + ± Cov(A +1,Ді)(/іі _ Efti) (23)

TL Dhi

Ошибка оценивания

A«+i = — hn+i)2

определяется по формуле

л пь V- Cov2(/in-n,/tj) . Д„+Х = Dhn+1 - РТ- • (24)

i=l *

Заметим, что если

1 (*~н)2

- плотность нормального распределения с параметрами (ц,а2), то (см. рис. 11)

гц+а

/ ?\'(/i,J fx —а

Рис. 11. График плотности V(o,i) С2-) стандартного нормального распределения. Площадь заштрихованной части равна примерно 0.6827

ц+1.65 а

Точно так же,

(25)

— 1.65*7

^^(а;) da; «0.90.

В силу гауссовости,

hn+1 - hn+i ~ Jf (0, Дп+і)

и, согласно (25),

P{|/iN+I -Лп+1| < 1.65Л/АП-1-1 } « 0.90.

Следовательно, можно утверждать, что с вероятностью, близкой к 0.90, ожидаемое значение величины hn+i будет принадлежать доверительному интервалу

[A„+i - 1.65-v/An+i, hn+1 + 1.65-у/Д„+і ].

Отсюда вытекает, что в 90% случаев прогнозируемое значение Sn+i величины рыночной цены SVJ+I (ПО наблюдениям hi,..., hn) лежит в интервале

[ 5пеЛ"+1-1-65\\/Л»+1, 5пблп+1+1-65^дп+1 j

4.

(а) число выборочных значений, не попадающих в "доверительные" ин-

— — — 1 ™ тервалы Г hn — kan, hn + кЭп] с к = 1,2,3, где hn = — hi- выборочное

П j=l

среднее и ап - стандартное отклонение,

»=1

значительно больше, чем это должно было бы быть при гипотезе нормальности; наглядно это означает, что "хвосты" эмпирических плотностей убывают значительно медленнее, нежели для гауссовского распределения ("тяжелые хвосты");

(Ь) эксцесс, или коэффициент вытянутости (kurtosis),

где Ш2 и Ш4 - эмпирические второй и четвертый моменты, значимым образом является положительным (для нормального распределения kurtosis равен нулю), что означает сильную "вытянутость" пика плотности распределения в окрестности центральных значений:

Рис. 12. Эмпирическая плотность одномерного распределения величин (hn)п^300, подчиняющихся модели НАRCH(16) (см. §ЗЬ). Непрерыв-ная кривая - плотность соответствующего нормального распределения Я(т, ст2) с т = Лзоо, <т2 = 5§0о

Пожалуй, самым сильным (относительно структуры распределений величин h — (hn)) является, помимо гауссовости, предположение независимости и одинаковой распределенности этих величин.

При таких условиях анализ пен Sn = SoeHn, Нп = hi + ¦¦¦ + hn, легко проводится обычными методами теории вероятностей, основанными на этих предположениях. Но, конечно, понятно, что предположение независимости значений Л = (hn) сразу разрушает надежду (и веру) в то, что "прошлые данные" могут что-то дать для прогноза "будущих значений"

На самом же деле, в этом отношении ситуация более благоприятна, поскольку многочисленные исследования временных финансовых рядов показывают наличие, как уже отмечалось, негауссовости и зависимости в значениях (hn), хотя они могут быть и некоррелированными, а зависи-мость - весьма слабой. Проще всего убедиться в наличии зависимости можно, рассматривая эмпирические корреляции не для величин hni а для |/in| или hn- (В приводимой далее модели стохастической волатильнос- ти ситуация такова, что Соv(hn,hm) = 0 для п ф т, но Cov(/i2 и Cov(|/in|, Ihm I) значительно отклоняются от нуля; см. §3с.)