<<
>>

§ 1а. Неопределенность и нерегулярность поведения цен, вероятностное их описание и представление

1. Предположим, что единицей измерения времени является один день (п-0,1,2,...) и

S = (5п)п^о

- рыночная пена, скажем, акции, обменный курс двух валют или какой- либо другой финансовый индекс (без каких-либо ограничений на время его "жизни" как это имеет место для цен облигаций).

Эмпирический анализ значений Sn, п ^ 0, показывает, что они меняются весьма нерегулярно, флуктуируют так, как если бы, по словам М. Кендалла (см. ранее §2а, гл. I), "... the Demon of Chance drew a random number ... and added it to the current price to determine the next ... pricef.

JI. Башелье, без сомнения, был первым, кто стал для описания пен (Sn)n^o пользоваться понятиями и методами теории вероятностей, дающей модель для изучения эмпирических феноменов, характеризуемых статистической неопределенностью, но в то же самое время обладающих свойствами устойчивости статистических частот.

Придерживаясь вероятностного подхода и следуя общепринятой ныне аксиоматике теории вероятностей Колмогорова, мы будем предполагать, что все рассмотрения ведутся на некотором вероятностном про-странстве

(П.^.Р),

где

Q - пространство элементарных событий OJ (состояний рынка, в рас-сматриваемом контексте) ;

3 - (7-алгебра подмножеств П (совокупность событий, наблюдаемых на рынке);

Р - вероятность, вероятностная мера на 3-.

Как отмечалось в § 1а гл. I, время и динамика являются неотъемлемыми компонентами финансовой теории, в связи с чем целесообразно исходное вероятностное пространство (fi, 2Р, Р) специфицировать, считая заданным поток F = (3:п)п^о (У-алгебр таких, что

^Ь С 3:1 С - • • С С ¦ ¦ ¦ С

Смысл введения этого потока неубывающих ст-подалгебр, входящих в & и называемых также фильтрацией, проясняется следующей интерпретацией:

Зп - совокупность событий, наблюдаемых до момента п (включительно).

По-другому можно сказать, что 3-п - это доступная наблюдателю "информация" о состоянии рынка до момента времени п.

(В рамках концепции "эффективного" рынка это может быть, например, одна из трех сг-алгебр 3^, 3?, 3%; см. §2а в гл. I.)

Итак, будем считать, что нашей базовой вероятностной моделью является фильтрованное вероятностное пространство

называемое также стохастическим базисом.

Во многих случаях целесообразно расширить понятие стохастического базиса, считая, что, вместо единственной вероятностной меры Р, задано целое семейство = {Р} вероятностных мер. (Вызвано это тем, что часто бывает трудно специфицировать какую-то одну конкретную меру Р.) Пользуясь терминологией статистической теории решений, набор объектов (Л, 3 ^ (Зп)п^о, S?) можно назвать фильтрованным стохастическим (статистическим) экспериментом.

2. Если интерпретировать 3-п как информацию, доступную к моменту времени п, то естественно считать, что

Sn - -измеримы,

т.е., образно говоря, считать, что значения пен складываются в зависимости от событий, наблюдаемых на рынке до момента времени п (включительно).

Исходя из смысла Sn как "пены" (скажем, акции) в момент времени п, будем предполагать, что Sn > 0, п ^ 0.

Приведем теперь два наиболее распространенных способа представления цен S = (Sn)n^0-

Первый способ - (I), аналогичный формуле "сложных процентов" ("compound return"), см. § lb в гл. I, исходит из представления

Sn = S0eH», (1)

где Нп = ho + hi + Ь hn, ho = 0, п > 0, причем случайные величины

hn = hn (и>) являются 3-п-измеримыми. Таким образом, здесь

Яп=1п^ (2)

и "возврат" "отдача" "логарифмическая прибыль" (return)

(3)

Jn-l \\ Jn-1/

ASn — Sn — Sn-1- Положим

hn = Hn= Y, (4)

йп-1 lsjfcijn

Тогда формула (1) перепишется в виде

Sn = S0 П (1+Л*), (5)

или, равносильно, в виде

Sn = So П a + &Hk) = S0e"» П (1 + АЛк)е~АЙь. (6)

Представление (5) - это и есть второй способ, (II), представления цен, аналогичный формуле простых процентов ("simple return").

Обозначим §(Н)п выражение, стоящее в правой части (6):

8{Н)п=ей- J] (1 + ДЯ^)е"Л^. (7)

Определяемая этим выражением стохастическая последовательность

?(Н) = (?(Н)п)п>0, ЦН) 0 = 1,

называется стохастической экспонентой, порожденной величиной Я (Нп)п^о» Но — 1, или экспонентой Долеан.

Таким образом, можно сказать, что первый способ представления цен (I - "compound return") использует обычную экспоненту:

Sn=S0eH«,

второй же способ (II - "simple return") для своего описания использует стохастическую экспоненту:

Sn = S0S{H)n. (8)

При этом из (2)-(4) следует, что

нп= ? (eAHk -1),

что равносильно представлению

#„=Я»+ ? (еАНк-АНк-1). (9)

Понятно также из (3) и (4), что

Яп= ? 1п(1 + А Нк), (10)

где hn = АНп > — 1 вследствие предположения Sn > 0.

Полезно отметить, что стохастическая экспонента удовлетворяет стохастическому разностному уравнению

AS(H)n = S(H)n-iAHn, (11)

что непосредственно следует из (7).

Замечание 1.

Представления (1) и (8) даны в случае дискретного времени п = 0,1,.... В том же случае, когда цены S = эволюционируют в непрерывном времени t ^ 0, обычно предполагается, что процессы Я = (Ht)t^o иЯ = (Ht)t^o являются семимартингалами (см. раздел 5 в гл. III). Тогда из формулы Ито (§5с, гл. III; см. также [250; гл. I, §4е]) следует, что

eHt = 8(H)t,

где

Ht=Ht + -(Hc)t+ (еЛН® — 1 — AH3) (12)

0и S(H) = (S(H)t)t>0 - стохастическая экспонента-.

g(H)t = e^\'-^b Д (і + ДЯ3)е-Л^, (13)

о <.»<«

которая удовлетворяет (ср. с (11)) линейному стохастическому дифферен-циальному уравнению

dS{H)t = §(H)t-dHt. (14)

(В формулах (12) и (13) через (Яс) и (Н°) обозначены квадратические характеристики непрерывных мартингальных составляющих у семимартин- галов Я иЯ; см. раздел 5 в гл. III. По поводу стохастических дифференци-альных уравнений для случая, когда Я является броуновским движением, см. §3е, гл. III.)

Таким образом, для случая непрерывного времени аналогами (1) и (8) являются, соответственно, представления

St = S0eHt (15)

и

St = S0g(H)t, (16)

где процесс Я = (Ht)t^Q связан с Н — (#i)t>o формулой (12). Присутствующий в (12) ряд абсолютно сходится, поскольку на каждом интервале [0, t] у семимартингала с вероятностью единица имеется лишь конечное число "больших" скачков (|Д#а| > §) и J2 |АЯ<,|2 < оо. (См. замечание 3, §5Ь, гл. III.) 0Замечание 2. Из (3) и (4) следует, что

Л„=1п(1 + Л„) (17)

и

hn = eH»-1. (18)

Понятно, что при малых значениях hn

hn и hn, (19)

при этом

hn-K = l-h2n+l-hl + ---. (20)

3. Остановимся на проблеме описания распределения вероятностей по-следовательностей S ~ (Sn)n^о, Н = (Нп)п^о-

С точки зрения классической теории вероятностей и далеко продвину-той "статистики нормального распределения" было бы весьма привлекательно рассчитывать на то, что последовательность Н = (Нп)п^о является гауссовской (нормально распределенной).

Если

Я„ =A1 + -" + An> 1, (21)

то свойства такой последовательности полностью определяются двумер-ными распределениями последовательности h — (hn)n^i> характеризуемыми средними

цп = Еhn, п ^ 1,

и ковариапиями

Cov(/in, hm) = Еhnhm - EhnEhm, m,n ^ 1.

Предположение нормальности существенно упрощает решение многих вопросов, зависящих от свойств распределений. Так, например, теорема о нормальной корреляции (см., например, [303; гл. 13]) в явном виде дает формулу для условного математического ожидания hn+i = Е(/гп+і | hi,..., hn), являющуюся оптимальной в среднеквад- ратическом смысле оценкой hn+1 по hi,..., hn:

п

hn+1 = Mn+i + ? a.i(hi - щ), i= 1

где коэффициенты щ подсчитываются по матрице ковариалий (см. [303; гл. 13], а также [439; гл. II, § 13]).

Формула (22) особенно проста, если hi,..., hn независимы. В этом случае

Со \\/(hn+i,hi) йі = Dfc \'

и оценка

~hn+1 = E/in+i + ± Cov(A +1,Ді)(/іі _ Efti) (23)

TL Dhi

Ошибка оценивания

A«+i = — hn+i)2

определяется по формуле

л пь V- Cov2(/in-n,/tj) . Д„+Х = Dhn+1 - РТ- • (24)

i=l *

Заметим, что если

1 (*~н)2

- плотность нормального распределения с параметрами (ц,а2), то (см. рис. 11)

гц+а

/ ?\'(/i,J fx —а

Рис. 11. График плотности V(o,i) С2-) стандартного нормального распределения. Площадь заштрихованной части равна примерно 0.6827

ц+1.65 а

Точно так же,

(25)

— 1.65*7

^^(а;) da; «0.90.

В силу гауссовости,

hn+1 - hn+i ~ Jf (0, Дп+і)

и, согласно (25),

P{|/iN+I -Лп+1| < 1.65Л/АП-1-1 } « 0.90.

Следовательно, можно утверждать, что с вероятностью, близкой к 0.90, ожидаемое значение величины hn+i будет принадлежать доверительному интервалу

[A„+i - 1.65-v/An+i, hn+1 + 1.65-у/Д„+і ].

Отсюда вытекает, что в 90% случаев прогнозируемое значение Sn+i величины рыночной цены SVJ+I (ПО наблюдениям hi,..., hn) лежит в интервале

[ 5пеЛ"+1-1-65\\/Л»+1, 5пблп+1+1-65^дп+1 j

4.

Оказывается, однако, что к привлекательной гипотезе "нормальности" распределений величин hn,n ^ 1, надо относиться с осторожностью. Дело в том, что эмпирический анализ многих финансовых данных показывает (см. далее гл. IV), что

(а) число выборочных значений, не попадающих в "доверительные" ин-

— — — 1 ™ тервалы Г hn — kan, hn + кЭп] с к = 1,2,3, где hn = — hi- выборочное

П j=l

среднее и ап - стандартное отклонение,

»=1

значительно больше, чем это должно было бы быть при гипотезе нормальности; наглядно это означает, что "хвосты" эмпирических плотностей убывают значительно медленнее, нежели для гауссовского распределения ("тяжелые хвосты");

(Ь) эксцесс, или коэффициент вытянутости (kurtosis),

где Ш2 и Ш4 - эмпирические второй и четвертый моменты, значимым образом является положительным (для нормального распределения kurtosis равен нулю), что означает сильную "вытянутость" пика плотности распределения в окрестности центральных значений:

Рис. 12. Эмпирическая плотность одномерного распределения величин (hn)п^300, подчиняющихся модели НАRCH(16) (см. §ЗЬ). Непрерыв-ная кривая - плотность соответствующего нормального распределения Я(т, ст2) с т = Лзоо, <т2 = 5§0о

Пожалуй, самым сильным (относительно структуры распределений величин h — (hn)) является, помимо гауссовости, предположение независимости и одинаковой распределенности этих величин.

При таких условиях анализ пен Sn = SoeHn, Нп = hi + ¦¦¦ + hn, легко проводится обычными методами теории вероятностей, основанными на этих предположениях. Но, конечно, понятно, что предположение независимости значений Л = (hn) сразу разрушает надежду (и веру) в то, что "прошлые данные" могут что-то дать для прогноза "будущих значений"

На самом же деле, в этом отношении ситуация более благоприятна, поскольку многочисленные исследования временных финансовых рядов показывают наличие, как уже отмечалось, негауссовости и зависимости в значениях (hn), хотя они могут быть и некоррелированными, а зависи-мость - весьма слабой. Проще всего убедиться в наличии зависимости можно, рассматривая эмпирические корреляции не для величин hni а для |/in| или hn- (В приводимой далее модели стохастической волатильнос- ти ситуация такова, что Соv(hn,hm) = 0 для п ф т, но Cov(/i2 и Cov(|/in|, Ihm I) значительно отклоняются от нуля; см. §3с.)

<< | >>
Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме § 1а. Неопределенность и нерегулярность поведения цен, вероятностное их описание и представление:

- Авторское право - Аграрное право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -