§Зс. Классический пример актуарных расчетов. Теорема Лундберга-Крамёра

В 1929 году по инициативе ряда шведских страховых компаний в Сток-гольмском университете была образована профессорская единица по страховой (актуарной) математике. Она была предложена Г. Крамеру, и с этого времени началась деятельность "Стокгольмской группы\'\'] известной своими результатами и в актуарной математике, и в общей теории вероятностей, статистике и случайных процессах;.

Вот как формулируется классический результат теории актуарных рас-четов - "Фундаментальная теорем а теории риска Лундберга-Крамера".

Определим процесс риска (см. рис. 10), скажем, некоторого страхового бизнеса следующим образом:

Nt

Rt —U+ct — 6=> fc=1

где

и - начальный капитал, с - скорость поступления "премий" взносов, (?*:) - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с некоторой функцией распределения F(x) = Р{€і < /і = Efi (F(0) = 0, /і < оо),

N = (Nt)t^o ~ процесс Пуассона,

к

где Ті, І2,... - моменты поступлений требований к оплате, причем (Tk+1 —2\\)fe> і являются независимыми величинами, имеющими экспоненциальное распределение с параметром Л:

P{Tk+i-Tk^t}=e~Xt.

Ясно, что

EJ?t = и + (с — = и + pXfxt

с коэффициентом р = с/(Ад) — 1, предполагаемым положительным ("условие положительности чистого дохода").

Одна из первых естественных задач, связанных с этой моделью - это расчет вероятности разорения вообще, Р(т < оо), или вероятности разо-рения Р(т ^ t) до момента времени t, где

Теорема Лундберга-Крамера утверждает следующее. Пусть существует такое R > 0, что выполнено условие

Гей1(1 -F(x))dx = j.

Тогда

Р(т < оо) < e~Ru, где и - начальный капитал.

Сформулированные в модели Лундберга-Крамера предположения естественным образом можно ослаблять, а саму модель усложнять. Можно, например, считать, что процесс риска

Nt

Rt = u+ [ct + aBt) -

k=1

где (Bt) - броуновское движение, a (Nt) - процесс Кокса (т. е. "считающий процесс" со случайной интенсивностью; см., например, [250]).

В заключение остановимся кратко на вопросе о характере распределений F — F(x) величин выплат. Весьма, правда, условно события, связанные с выплатами, принято относить к одному из трех типов:

нормальные,

экстремальные,

катастрофические.

Для описания нормальных событий используются распределения с быстро убывающими "хвостами" (например, экспоненциальное с условием 1 — F(x) ~ е~х, х оо).

Для описания "экстремальных" событий используют распределения F = F(x) с "тяжелыми хвостами", например, 1 — F(x) ~ х~а, х —у оо, а > 0 (распределение типа Парето) или

1 -F(x) =ехр{-(^^)Р}, х>м,

(распределение Вейбулла) с р Є (0,1).

Отметим, что теорема Лундберга-Крамера относится к нормальному типу и неприменима к случаю выплат большого размера. (Тогда даже не определен "коэффициент Лундберга" R. По поводу доказательства теоремы Лундберга-Крамера см., например, [439; англ. изд.].)