Теорема Лагранжа (теорема о среднем дифференциального исчисления).
ет по крайней мере одна точка c, такая, что для неё выполняется равенство f (b) - f (a) = f\' (c)(b - a).
Доказательство. Введем новую функцию(f (b) - f (a))¦ (x - a)
g(х) = f (х) - f (a) -
b-a
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [a; b], так как представляет собой разность между непрерывной функцией f (х) и линейной функцией; она имеет определённую конечную производную на (a; b), равную
g\' (х)=f\'(х) - т-ж.
b-a
Наконец непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что g(a) = g(b) = о .
Следовательно, найдется точка c є (a; b), такая, что
g\'(c) = f \'(c) - /МО = о
b-a
, \\ f (b) - f (a)
Отсюда j (c) = —— —, что и требовалось доказать. ?
b-a
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 2.3. Заметим, что (f (b) - f (a))/(b - a) является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a,f(a)), B(b,f(b)) кривой y = f(х), а f (c) есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку C (c, f (c)).
Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f (х) между точками А и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB.
Доказанная формула f (b) - f (a) = f\'(c)(b - a) носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений. Она очевидно верна и для случая a > b.
Дифференциальная теорема Лагранжа о среднем значении, записанная для функции многих переменных y = f (Х1, X2,. ., Xn ), позволяет перейти к формуле
n
Dy = Z fx (cUc2,->cn)Dxi i=1
Рис. 2.3. Графическая интерпретация теоремы Лагранжа
Поскольку
Ci = Xi + aDxi є (Xi; Xi + Dxi), a є (0;1), то формулу (2.9) можно переписать в виде
n
Dy = Z fX ¦ (Xl + aDxi, x 2 + a Dx 2,..., xn + a Dxn) Dxi, (2.10) i=1
где 0 < a < 1 - параметр, который используется при анализе модели, если существует необходимость более тщательного исследования влияния изменения факторов на вариацию результирующего показателя.
Таким образом, теорема Лагранжа позволяет получать точные формулы для расчёта влияния изменения факторов на изменение обобщающего показателя в случае не малых, но конечных приращений. При этом, значение параметра a позволяет найти промежуточные значения факторов, при которых достигается точное разложение приращения анализируемого результирующего показателя на величины факторного влияния.
На рис. 2.4 представлена графическая интерпретация результата применения теоремы о промежуточном значении в случае двухфакторной модели.
Траектория перехода от начальной точки к конечной в этом случае представляет собой прямолинейный ориентированный отрезок MоM1. При этом точное разложение приращения функции достигается в некото-
рой промежуточной точке, через которую проходит касательная плоскость, построенная на касательных прямых, интерпретирующих соответствующие частные производные функции.
Рис. 2.4. Иллюстрация применения теоремы Лагранжа для определения влияния факторов на результирующий показатель
Если a находить не требуется, то выражение для разложения приращения результирующего показателя можно получить с использованием интегральной формы теоремы о среднем.