<<
>>

Теорема Лагранжа (теорема о среднем дифференциального исчисления).

Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда внутри отрезка [a;b] существу-

ет по крайней мере одна точка c, такая, что для неё выполняется равенство f (b) - f (a) = f\' (c)(b - a).

Доказательство. Введем новую функцию

(f (b) - f (a))¦ (x - a)

g(х) = f (х) - f (a) -

b-a

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [a; b], так как представляет собой разность между непрерывной функцией f (х) и линейной функцией; она имеет определённую конечную производную на (a; b), равную

g\' (х)=f\'(х) - т-ж.

b-a

Наконец непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что g(a) = g(b) = о .

Следовательно, найдется точка c є (a; b), такая, что

g\'(c) = f \'(c) - /МО = о

b-a

, \\ f (b) - f (a)

Отсюда j (c) = —— —, что и требовалось доказать. ?

b-a

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 2.3. Заметим, что (f (b) - f (a))/(b - a) является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a,f(a)), B(b,f(b)) кривой y = f(х), а f (c) есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку C (c, f (c)).

Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f (х) между точками А и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB.

Доказанная формула f (b) - f (a) = f\'(c)(b - a) носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений. Она очевидно верна и для случая a > b.

Дифференциальная теорема Лагранжа о среднем значении, записанная для функции многих переменных y = f (Х1, X2,. ., Xn ), позволяет перейти к формуле

n

Dy = Z fx (cUc2,->cn)Dxi i=1

Рис. 2.3. Графическая интерпретация теоремы Лагранжа

Рис. 2.3.

Графическая интерпретация теоремы Лагранжа

Поскольку

Ci = Xi + aDxi є (Xi; Xi + Dxi), a є (0;1), то формулу (2.9) можно переписать в виде

n

Dy = Z fX ¦ (Xl + aDxi, x 2 + a Dx 2,..., xn + a Dxn) Dxi, (2.10) i=1

где 0 < a < 1 - параметр, который используется при анализе модели, если существует необходимость более тщательного исследования влияния изменения факторов на вариацию результирующего показателя.

Таким образом, теорема Лагранжа позволяет получать точные формулы для расчёта влияния изменения факторов на изменение обобщающего показателя в случае не малых, но конечных приращений. При этом, значение параметра a позволяет найти промежуточные значения факторов, при которых достигается точное разложение приращения анализируемого результирующего показателя на величины факторного влияния.

На рис. 2.4 представлена графическая интерпретация результата применения теоремы о промежуточном значении в случае двухфакторной модели.

Траектория перехода от начальной точки к конечной в этом случае представляет собой прямолинейный ориентированный отрезок MоM1. При этом точное разложение приращения функции достигается в некото-

рой промежуточной точке, через которую проходит касательная плоскость, построенная на касательных прямых, интерпретирующих соответствующие частные производные функции.

Рис. 2.4. Иллюстрация применения теоремы Лагранжа для определения влияния факторов на результирующий показатель

Рис. 2.4. Иллюстрация применения теоремы Лагранжа для определения влияния факторов на результирующий показатель

Если a находить не требуется, то выражение для разложения приращения результирующего показателя можно получить с использованием интегральной формы теоремы о среднем.

<< | >>
Источник: Блюмин С.Л., Суханов В.Ф., Чеботарёв С.В.. Экономический факторный анализ: Монография. - Липецк: ЛЭГИ,2004. - 148 с.. 2004

Еще по теме Теорема Лагранжа (теорема о среднем дифференциального исчисления).:

- Авторское право - Аграрное право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -