Теорема о среднем интегрального исчисления.

b

J g(x)dx = m • (b - a),

a

где m < m < M .

Доказательство.

Если a < b, то по свойству определённого интеграла получаем

b

m(b - a) < J g(x)dx < M(b - a),

a

откуда

m < —— J g(x)dx < M .

b

b - a

a

Приняв в качестве m величину

b

m = T^" J g(x)dx ,

b-a

a

получаем требуемое равенство.

По основной формуле интегрального исчисления (формуле Ньютона- Лейбница) определённый интеграл функции равен разности двух значений первообразной функции, а именно

b

J g (x)dx = G(b) - G (a). (2.11)

a

Если применить к полученному выражению теорему о среднем дифференциального исчисления и учесть, что g (x) = G\'(x), то получим G(b) - G(a) = G\' (c)(b - a) = g(c)(b - a), a < c < b . Таким образом, с помощью формулы Ньютона-Лейбница устанавливается связь между теоремами о среднем в дифференциальном и интегральном исчислении.

Геометрический смысл формулы

b

J g(x)dx = g(c)(b - a)

a

проиллюстрирован на рис. 2.5.

Рассмотрим криволинейную фигуру ABCD под кривой h = g(x). Тогда площадь этой криволинейной фигуры (выражаемая определённым интегралом) равна площади прямоугольника с тем же основанием и с некоторой средней ординатой g (c) в качестве высоты. Таким образом, используя соотношение (2.11), для функции y = f (x) получаем:

x+Dx

Ay = f (x + Dx) - f (x) = J f\'(t)dt.

Рис. 2.5. Графическая интерпретация теоремы о среднем интегрального исчисления

Так как t = t(a) = x + aDx, a є (0;1), то в соответствии с формулой за-мены переменной в определённом интеграле, получим формулу для нахождения точного разложения приращения функции

1 1 Dy = J f \'(t) • t\' (a)da = J f\' (x + aDx) • Dxda.

Применив интегральную форму теоремы о среднем значении для функции многих переменных, получаем:

n 1 n

DУ = ? J fxt (x1 + aDx1xn + aDxn)Dx.da = ? Ax. . (2-12) i=10 i=1

При отыскании значений параметра a в случае анализа мультипликативной модели общего вида в соответствии с формулой (2.9) может потребоваться исследовать вопрос определения числа корней некоторого многочлена на заданном интервале. Для этого можно использовать теорему Бю- дана-Фурье [62, С. 252-255, 138].

Пусть дан многочлен f (x) n -й степени с действительными коэффициентами, причём допускаем, что он может обладать кратными корнями. Рассмотрим систему его последовательных производных

f(x) = f (0)(x), f"(x), f"(x),..., f(n-1)(x), f (n)(x), (*)

из которых последняя равна старшему коэффициенту ao многочлена f (x), умноженному на n!, и поэтому всё время сохраняет постоянный знак. Если действительное число c не служит корнем ни одного из многочленов по-

лученной системы производных, то обозначим через S (c) число перемен знаков в упорядоченной системе чисел

f(c), f"(c), f"(c),..., f(n-1)(c), f (n)(c).

Таким образом, можно рассматривать целочисленную функцию S (x), определённую для тех значений x, которые не обращают в нуль ни одного из многочленов в первоначальной системе производных.

Посмотрим, как меняется число S(x) при возрастании x. Пока x не пройдёт через корень ни одного из многочленов (*), число S (x) не может измениться. Ввиду этого мы должны рассмотреть два случая: переход x через корень многочлена f (x) и переход x через корень одной из производных f(k)(x), 1 < k < n -1.

Пусть a будет l -кратный корень многочлена f (x), l > 1, то есть

f (a) = f"(a) = ... = f(l-1)(a) = 0, f(l)(a) * 0 .

Пусть положительное число s столь мало, что отрезок [a - s; a + s] не

содержит корней многочленов f (x), f\' (x),..., f(l-1)( x), отличных от a,

а также не содержит ни одного корня многочлена f(l)(x). Докажем, что в системе чисел

f(a-e), f \'(a-s),..., f(l-1)(a-s), f (l)(a-s) всякие два соседних числа имеют противоположные знаки, тогда как все числа

f (a + s), f \'(a + s),..„ f(l-1)(a + s), f (l)(a + s) имеют один и тот же знак.

Из доказанного следует, что при переходе x через l -кратный корень многочлена f (x) система

f(x), f\'(x),..., f(l-1)(x), f(l)(x) теряет l перемен знаков.

Пусть a будет теперь корнем производных

f(k)(x), f(k+1)(x),..., f(k+l-1)(x), 1 ? k ? n — 1, l > 1,

но не служит корнем ни для f(к—1)(x), ни для f(к+1)(x). По доказанному выше, переход x через a влечёт за собой потерю в системе f(к)(x), f(k+1)(x),..., f(k+l—\'»(x), f(k+l)(x) l перемен знаков. Правда, этот переход создаёт, возможно, новую перемену знаков между f(k—1)(x) и f(k)(x), однако, ввиду l > 1, при переходе x через a число перемен знаков в системе

f(k—\'»(x), f(k»(x), f(k+1)(x),., f(k+l—1)(x), f(k+l)(x) или не меняется, или же уменьшается. Оно может уменьшиться при этом лишь на чётное число, так как многочлены f(k—1)(x) и f(k+l)(x) не меняют своих знаков при переходе x через значение a .

Из полученных результатов вытекает, что если числа a и b, a < b, не являются корнями ни для одного их многочленов системы (*), то число действительных корней этого многочлена f (x), заключенных между a и b и подсчитываемых каждый столько раз, какова его кратность, равно разности S (a) — S (b) или меньше этой разности на чётное число.

Для того, чтобы ослабить ограничения, наложенные на числа a и b , введём следующие обозначения.

f(с), f "(с), f "(с),., f(n—1)(с), f (n)(c), (**)

подсчитываемое следующим образом: если

f (/і)(с) = f(k+1)(с) = ... = f(k+l—1)(с) = 0, (***)

но

f(k—1)(с) Ф 0, f(k+l)(с) Ф 0, (****)

то считаем f(k )(c), f(k+1)(c),..., f(k+l 1)(c) имеющими такой же знак,

как у f(k+l)(c); это равносильно, очевидно, тому, что при подсчёте числа перемен знаков в системе (**) нули предполагаются вычеркнутыми. С другой стороны, через S - (c) обозначим число перемен знаков в системе (**), подсчитываемое следующим образом: если имеют место условия (***) и (****), то считаем, что f(k+i)(c), 0 < i < l -1, имеет такой же знак, как

и f(k+1)(c), если разность l - i чётная, и противоположный знак, если эта

разность нечётная.

Если мы хотим теперь определить число действительных корней многочлена f (x), заключенных между a и b, a < b, причём a и b не являются корнями f (x), но служат, быть может, корнями для других многочленов системы (*), то поступаем следующим образом. Пусть s столь мало, что отрезок [a; a + 2s] не содержит корней многочлена f (x), а также отличных от a корней всех остальных многочленов системы (*); с другой стороны, пусть h столь мало, что отрезок [b - 2h; b] также не содержит корней f (x) и отличных от b корней остальных многочленов системы (*). Тогда интересующее нас число действительных корней многочлена f (x) будет равно числу действительных корней этого многочлена, заключенных между a + s и b - h, то есть, по доказанному выше, равно разности S(a + s) - S(b - h) или меньше этой разности на чётное число. Легко видеть, однако, что

S(a + s) = S + (a), S(b -h) = S- (b).

Таким образом, доказана теорема Бюдана-Фурье: если действительные числа a и b, a < b, не являются корнями многочлена f (x) с действительными коэффициентами, то число действительных корней этого многочлена, заключенных между a и b и подсчитываемых каждый столько раз, какова его кратность, равно разности S + (a) - S - (b) или меньше этой разности на чётное число.