Теоремы о пределах функций

В 3TO.it разделе мы укажем основные свойства пределов функции, сформулированные в виде теорем, доказательства которых опускаем.

Теорема 4.1. Функция /(л) имеет в точке а предел тогда и только то] да, когда в этой точке существуют левый п правый пре целы причем они равны.

Теорема 4.2. Пусть функции/ (д ) н£ (д) имеют в точке а пределы А и В. Тогда функции /(.с) ±р (.г), ((д ) £ (V) и /(х)/,Ц ( Г) (при В * 0) име- к;| в точке а пределы, равные, соответственно, /I ± В, АВ и А/В.

Заметим, что теор< ма 4.2 справедлива п в тех случаях, когда а является со (-гоо или -се).

Зачастую вычисление предел он функций снизано с нростыми приемами: разложением числителя и знаменателя на с( 1м ножи гели, делен нем числителя и знаменателя на степень * п ч. д. Рассмотрим это на примерах.

Пример И. Найти предел

Решение. Нетрудно видеть, что непосредственная подстановка предельного значения г= 2 в дробь пол знаком предела приподит к непп- ре течей пости вида —. Разложим квадратные трехчлены числителя ]і

знаменателя па сомножители н сократим общи б сомножитель, после чего уже подставим предельное значение л= 2:

Решение. Поделим числитель и знаменатель дробі под знаком предела иа г1 (зчо старшая степень д), после чего воспользуемся теоремой 4.2:

Поясним также раскрытие неопределенности вида аз -го. Рассмотрим характерный пример.

Пример 14.

Решение. Здесь следует умножить и разделить выражение под знаком предела на сопряженное выражение — в данном случае иа

4.2.4.

Два замечательных предела

В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложениях. Доказательства соответствующих теорем мы опускаем.

Предел (4.6) называется первым замечательным пределом. Этот предел применяется при вычислении ряда других пределов. Рассмотрим несколько примеров ею применения.

Пример 15. Найти предел функции sin (си) сл при лг-> 0.

Решение. Преобразуем данную дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса; только тогда можно будет применить первый замечательный предел, поскольку при х —> 0 пределом ах также является нуль. Получаем:

Решение. Теорему 4.2 здесь непосредственно применить нельзя, так как при лс —> 0 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. Для решения задачи необходимо сначала преобразовать данную дробь, а затем уже выполнить предельный переход:

Число є является одной из фундаментальных величин в математике. Показательная функция вида ^ называется экспонентой, логарифм с основанием о называется натуральным и обозначается символом 1п. В тесрин вероятностей и математической статистике функция е\' является основополагающей.

4.2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 5.

Аналогично определяются бесконечно малые функции прі

Теорема 4.5. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке а, как и произведение бесконечно малом и ограничен ним функции, являются бесконечно малыми (функциями в точке а.

Определение 6. Функция /"(.г) называется бесконечно большой функцией і? точке а (или просто бесконечно большом), сели для люооіі сходящемся к а последовательности (х„) значении арі умен та соответствующая тюс ледовит с л ь и ость {[ (х„)} зі і ач єн 11 і і функции являє гс и бес КО IIСЧШ) бол ьши Й

АнаЛОГИЧНО определяются бесконечно болы ЛИС функции при Л -> ос.

д- —> Г со. И X —У —оа.

Между бесконечно малммн н бесконечно большими функциями существует та же связь, что н между соответствующими последовательностями. т. е если а (д) — бесконечно малая функция при г-хт, тп /(.г) - 1/а (х) — бесконечно большая функция, н наоборот

4.3.1.