Теорема об инвестировании в два фоида

Подтвердим предшествующее графическое обоснование математическим доказательством. Чтобы не утомлять читателя матричными обозначениями в многомерном случае, предложим ему покомпонентную запись на примере трехвидового портфеля. Для большего упрощения задачи ограничимся некоррелированными активами и неизвестными Хо, хь х2 произвольного знака. Несмотря на эти частности, нашего рассмотрения вполне достаточно, чтобы понять, как доказывается теорема в общем случае.

При и = 3 и V|2 = 0 из. общей записи (57) получим следующую модель сформулированной задачи:

min(o,2xf + а\\х\\/r(lx„ + т,х, + т2х2 = тр,х0 + х, + х2 -1). (58) \r\n

Для ее решения воспользуемся методом множителей Лагранжа и вве-дем функцию Лагранжа:

L(x, \\) = aj X|2 + л.|(п1р- гплп - rrnxi - niixi) + Хл(1 - xn- xj - \\~л

Тогда решение поставленной задачи должно удовлетворять соотношениям:

м д;

-lib. « о. = 0.i==0- 1.2 i = 1,2, что приводит к системе упаимений:

[¦ ^ - г0Х, - Х2 = О

I 2о|2Х| - Ш|Х| - = О

1 2О22Х2 - 1112^1 - = 0

I г0х0+ Ш|Х| + т2х2 = тр

V - \'0;«-| ? ущ2 - (59)

x, = —2 , л2 - = -

1 Хо + Х| + X2 =1

Из первых трех уравнений, заменяя Х.2 = - Го?ч, найдем:

/„ - \\i - \'«;Л

2о,2 2 а

Исключая из четвертого и пятого уравнений переменную хо, придем к соот н ош е н и ю:

(Ш| - г0)Х| + (т2 - г0)х2 = тр - г0. (60)

Подставляя (59) в (60), получим уравнение для (ш, - г„)2Х, (т2 - г„)2Х, \r\n

Подставляя найденные оптимальные значения х,,х, в критерий задачи (58), определим минимум дисперсии портфеля при заданном тр: \r\n

\r\n(тр ~ го)"\'

о„

! 7 !Т! - Г ^ /т _ г \\

О, \r\n

\r\nИз этого соотношения с учетом обозначения § следует линейность уравнения эффективной траектории модели (58):

о\'р --Ь(тр-ги). <62>

Пусть тр* - ожидаемая эффективность рискового портфеля с пропор-циями (61).

о

(58) при тр = тр*, у которого х» - 0, и он обязан лежать на прямой (62). Полагая в (58) х0 = 0, придем к "укороченной" оптимизационной задаче (53) (тр = тр*, Г|2 = 0) с тем же оптимальным решением, но уже на эффективной траектории "а" (рис. 35).

Таким образом, точка на прямой (62), соответствующая хо = 0, должна лежать на кривой ор*(тр*) (кривая "а" на рис. 35), то ёсть

о

Ор(Шр) - 0*р(ш*р). В то же время при всех Шр * шр* минимум риска для

I <1

задачи (58) будет меньше, чем у задачи (53) ар(тР) < 0р(тр). Иначе говоря, прямая (62) расположена под кривой "а" и имеет с ней одну общую точку - точку касания (тр*, ор*), что было представлено на рис. 39 (прямая АЕ касается кривой "а" в точке С).

В заключение несколько слов о портфельных задачах произвольной размерности. Как и в рассмотренных частных случаях, если ограничения на знак отсутствуют, эти задачи допускают явное решение и его можно найти методом множителей Лагранжа.

Не приводя соответствующих доказательств, дадим формулы полученного Д. Тобиным решения расширенной задачи (57). Пусть V - матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X = (х,), М = (ш;) - век- тор-столбцы долей капитала, вкладываемых в 1-й вид рисковых бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, \\ = 1, ..., п. Пусть та^же I - п-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны I. Тогда оптимальное значение долей X; есть

Х- т"\'Г" у-ЧМ-гЛ)- («)

Здесь V-\' - матрица, обратная к V, Т - знак транспонирования, и поэтому (М - г01)т - вектор-строка. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия, тоже получится число. Сопос- \r\nо

таапяя компоненты вектора х, нетрудно удостовериться, что оптимальные пропорции рисковых вложений не зависят ОТ Шр. В то же врем° сумма этих компонент пропорционально увеличивается с ростом шр, и

поэтому "безрисковая" часть ;<„, дополняющая эту сумму до единицы, будет уменьшаться.

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности.

тимальный вектор х, обозначив знаменатель формулы (63) через d2. Применяя правила матричной алгебры, получим: V„ = f(m„ - m>2/d4irV-\'(M - roDFVfV-\'fM - r0!)j =

fi 1 V |/ «\' I л «• v и /Л I \\ U / i

= [(mp- r0)Vd4ll(M - roDW-\'W-l (M - r0I>].

Ввиду того что Vy = Vji, матрйца V - симметричная, то есть V* = V и, следовательно,

Vp = (mp - r0)2/d2 или Op = (mp - r0)/d.

Перегруппировав, определим линейное соотношение между эффективностью портфеля и его риском

mp - rg = dap или IT!,, = r0 + dop.

Подставим это соотношение в числитель формулы (63) и получим

«

следующую связь между оптимальным решением х и риском ор:

" On

:V-\'(M-r0I).

V(M-rflI)TV-4M-rn0

На эту формулу можно смотреть как на запись оптимального решения портфельной задачи по критерию максимума эффекта и с ограничением на риск: \r\n

\r\nroXo + ymjXj/VYVyXiXj -ap,x0 +YXj -l|.

(64)

шах

pi ыб ft )Я J \r\n

\r\nВ этом можно убедиться, решив задачу о портфеле максимальной эф-фективности (64) методом множителей Лагранжа, однако подобное соот-ветствие вполне предсказуемо и объясняется взаимностью задач (57), (64).

При добавлении ограничений на неотрицательность неизвестных анализ усложняется и аналитические решения уступают место алгоритмам квадратичного программирования. В этом случае Представление о свойствах решения можно получить с помощью обобщенного метода Лагранжа, вводя дополнительные множители р = (т, ..., р,,) по каждому неравенству а 0, и со ссылкой на теорему Куна-Таккера. \r\nОпуская подробный анализ, основанный на условиях дополняющей нежесткости, ограничимся здесь кратким описанием качественных особенностей эффективного портфеля:

с увеличением требуемой ожидаемой эффективности вклады в каждую ценную бумагу меняются линейно, если возможен short-sale, или кусочно-линейно, если такие операции запрещены. Некоторые вклады растут (это относится к более эффективным, но и более рисковым ценным бумагам), некоторые уменьшаются (менее эффективные и менее рисковые ценные бумаги);

мера риска эффективного портфеля возрастает с ростом требуемой ожидаемой эффективности, причем одинаковым последовательным приростом этой меры отвечают все меныиие и меньшие приросты эффективности.

Соответствующие этим выводам графические иллюстрации можно по-лучить, опираясь на частные случаи эффективных портфелей, рассмотренных выше; для рискового портфеля из трех активов подтверждающие диаграммы имеются в работе Первозванских (см. список литературы).

Выбор портфеля при возможности безрискового заимствования и кредитования

В задаче о таком портфеле переменная Хо может быть любого знака. Имея возможность получения и предоставления займов по безрисковой ставке г0, инвестор выберет оптимальный портфель, найдя точку касания своей кривой безразличия с линейным эффективным множеством. На рис. 42 изображены два возможных варианта: для осторожного инвестора А и для инвестора В с более легкомысленным отношением к риску.

Рис. 42. Влияние безрискового заимствования и кредитования на выбор портфеля

Здесь А и В - точки касания кривых безразличия первого и второго участников к линии эффективных портфелей из двух компонент: безрисковой по ставке го и оптимального портфеля С. Консервативный инвестор А ориентируется на умеренную доходность тА < тс и определенную часть своего капитала оставляет в безрисковом виде: ссужает его под ставку г0 (х0 >0). \r\n

Его более легкомысленный коллега В надеется на высокую доходность тв > тс и не слишком озабочен возможными расхождениями от средней оценки. В связи с этим он действует правее точки С в области отрицательных значений х0. В этом положении отражается ситуация, когда В занимает деньги под безрисковый процент го (уходит в короткую позицию по деньгам), но вкладывает их все равно в некоторой пропорции, которая соответствует точке С.

До сих пор считалось, что безрисковые ставки заимствования и кредитования одинаковы. Рассмотрим теперь, что произойдет, если предположить, что инвестор может взять в долг, но по ставке, превышающей доходность от инвестирования в безрисковый актив. Обозначим эти ставки через г^ц и Гц^, причем г^ ^ гр^.

Один из способов оценки влияния сделанного предположения на эффективное множество заключается в следующем.

Рассмотрим, что произойдет, если величину ставки поднять до гов> но оставить одной и той же как для получения, так и для предоставления займа. Результирующим эффективным множеством будет прямая линия, проходящая через точки гов и Сц (рис. 43а). Заметим, что портфель Сц расположен выше портфеля Сі_ на эффективной траектории Марковица, поскольку он является точкой касания для прямой, соответствующей большей безрисковой ставке.

а) оценка различных 6) эффективная траектория

безрисковых ставок при неравных беэрисковых ставках

Рис. 43

Поскольку инвестор не может занять по ставке то часть линии, выходящей из гоь которая продолжается правее С^, недоступна для инвестора и поэтому далее не рассматривается. \r\n

Аналогично, так как инвестор не может предоставить заем по ставке гов, то часть линии, выходящей из г0в, которая располагается левее Св, не годится инвестору и поэтому далее также не рассматривается.

Юго-восточная граница множества оставшихся в рассмотрении портфелей, показанного на рис. 436, является результирующим эффективным множеством. Оно состоит из трех различных, но соединенных между собой частей:

первой частью является прямой отрезок, соединяющий Г()1_ и С]_, который представляет собой комбинации различных объемов безрискового кредитования в сочетании с инвестированием в портфель рискованных активов С^

второй частью является участок кривой из эффективного множества Марковица, соединяющий точки С^ и Св;

третьей частью является прямой луч, выходящий из точки Св, который представляет различные комбинации заимствования в сочетании с инвестированием в рискованный портфель Св-

Оптимальным портфелем для инвестора, как и прежде, будет портфель, который соответствует точке касания кривой безразличия инвестора с эффективным множеством. В зависимости от вида кривых безразличия точка касания может оказаться на любом из трех сегментов, составляющих эффективное множество.