Вложение в два фонда

Возьмем какой-нибудь портфель В на этой траектории и будем сочетать его с безрисковым вкладом по схеме рис. 37 (точки В, А). В результате получим прямолинейную траекторию всех возможных портфелей, представленную на рис. 39 лучом АР.

а

Рис. 39. АСЕ - эффективная траектория при допущении заемного капитала и безрисковых вложений

Обозначим пропорции эффективного портфеля В, полученные как решение укороченной задачи (49) - (51), через х?, х®> •••> х®- Очевидно, что хв + ?(1-хв)х? -1 и, кроме того,

Го*в + Шр(1 - х0) - г0х() + у Ші(1 - х„)х? - шр.

Отсюда следует, ЧТО портфель (Хо, (1 - Хо) Х,В, (1 - Хо) х®) является допустимым для задачи (57), то есть траектория АР - одна из допусти \r\nмых. Но она для модели, (57) неэффективна, так как в диапазоне доход- ностей (шрв, шр°) ее портфели дают более высокий риск, чем у кривой "а", (рис. 39). Отсюда ясно, что получить эффективную траекторию в задаче (57) можно только с помощью такой точки С на траектории "а", в которой прямая АСЕ касается этой траектории. Так, из рис. 39 видно, что с помощью означенной прямой можно добиться любой доходности Гор а го с наименьшим по сравнению со всеми другими допустимыми портфелями риском.

При запрещении заемного капитала, то есть для неотрицательных переменных х0, Х|, ..., хп, аналогичные доводы подсказывают, что кривая эффективных комбинаций АСЕ получается сочленением касательной АС с последующей за точкой С частью траектории "б", перенесенной на рис. 40 с рис. 35.

Рис. 40. АСЕ - эффективная траектория при запрещении заемного капитала и допущении безрисковых вложений

Вид ломаной кривой АСЕ на рис. 40 объясняется понижающим влиянием детерминированной компоненты г0 на ожидаемую доходность и риск портфеля.

Изложенного достаточно, чтобы пойять, что при возможности без-рисковых вложений задача инвестора сводится к поиску оптимального по полезности распределения капитала между безрисковым активом А и рисковым портфелем С При данном значении эффективности го портфель С определяется единственным образом и будет один и\'ТОТ же для всех вкладчиков, независимо от их оценок полезности.

Более того, "касательный" портфель С по результату смешивания его с безрисковым активом А оказывается наилучшим по сравнению с прочими рисковыми портфелями эффективной траектории ("а" или "б"). Имея это в виду, будем называть портфель, который в координатах Х|, ..., х„ соответствует точке касания С, оптимальным рисковым или, кратко, оптимальным портфелем.

Допустим, что финансовый рынок отмечен высокой непредсказуемостью и не оставляет инвестору никаких направлений для извлечения гз- рантированного дохода. При таком раскладе остается единственная безрисковая "лазейка" - беспроцентное сбережение денег, например в домашней копилке до лучших времен.

В анализируемой ситуации Гц = 0 и модель расширенной задачи (57) примет вид:

^ \'-> " \' " \' \' \' 1 V \' ^ > " \'\'

то есть повторяет постановку задачи о рисковом портфеле (49) - (51) с одним отличием: жесткое бюджетное ограничение (51) заменяется неравенством 5 Последнее условие предусматривает возможность неполного инвестирования наличных средств.

Графически этому отвечает тот же рисунок 40, но с касательной АС, выходящей из начала координат (

рис. 41

Рис. 41. Примеры ДВУХ портфелей: с жестким (Б) и соответственно нежестким (Р) бюджетным ограничением

Из сравнения эффективных траекторий: криволинейной для рисковых бумаг и прямой при двух фондах (го = 0; тс), понятно, что на оптимальных решениях консервативного инвестора (тр < тс) бюджетное условие (Х\'У 5 О обратится в строгое неравенство.

\' Пример. Найдем оптимальный портфель на траектории эффективных комбинаций из двух рисковых ценных бумаг с характеристиками гп] - 2, О] ~ 1; ГП2 ~ 3, 02 " 2; г;2 ~ 1/2 при условии, что эффективность добавляемого безрискового актива гр — 1.

Подставляя данные примера в (54), получим, что: ор2 = Зх(2 - 6х| + 4, шр = - Х( + 3.

Исключив Х|, придем к уравнению эффективной траектории:

ар = J3mi - 12rr.n + 13,

"стартующей" из низшей точки mPg = 2, оРв = 1.

Чтобы найти абсциссу nif точки касания С, запишем известное урав-нение касательной к функции f(\\) в точке х0:

Y = f(Xn) + f\'(Xo)(X - х0).

В обозначениях нашего примера оно примет вид:

г—;—— ~ (бшс -12) . .

о = yim: - umc + и +—, (ш - гпс).

2j3m* - 12mc + 13

Данная прямая проходит через точку А с координатами m = го — 1, о = 0 (рис. 39). Это позволяет получить следующее уравнение для неизвестной доходности тс оптимального портфеля:

Л/ЗШ^ -12Шс+13 + -т=ЛШс"2) (1 - тс) - 0. -у/ЗШс - 12тс + 13

7 2\\\'3

Откуда тс = —, стс = ——. Пользуясь связью между тр и Х|(Х| = 3 - тр)

найдем, полагая т „ Z, структуру оптимального портфеля:

\' 3

х, = 3 - 7/3 = 2/3, х2= 1/3.

Таким образом, в оптимальном портфеле С на две стоимостные единицы ценных бумаг первого вида должна приходиться одна стоимостная единица бумаг второго вида.