4.2. Эффективные портфели из двух активов

Эффективная траектория для рискового портфеля

В дальнейшем нам потребуется формула парного коэффициента корреляции (нормированного показателя степени статистической связи):

V»

г.. = —* ,

где Уу - ковариация двух случайных величин И.;, Рассмотрим возможность комбинирования в портфеле двух видов рисковых ценных бумаг с характеристиками (Ш), 0|) < (ш2, а2). Запишем соотношения (49), (50), (51), полагая п = 2:

Ур = х,2о,2 + 2х1х2г|2а|а2 + х22а22,

Шр = Ш1Х| + т2Х2, Х| + х2 = 1. (53)

В этом случае при каждом заданном значении тр получается единственный допустимый портфель (точка А на

рис. 33

Рис. 33. ЕСдинственность допустимого нортфеля при п = 2

При повышательном движении прямой "б" можно выйти на допустимые ТОЧКИ СО СКОЛЬ угодно ВЫСОКИМ уровнем Шр, что достигается с помощью коротких продаж по первому активу (Х| < 0, х2 > 1). При запрете на короткие продажи возможности для формирования портфеля с задаваемым уровнем средней доходности Шр ограничиваются значениями персональных характеристик Ш|, ш2: Ш|?тр? т2.

Исключая х2, преобразуем (53) к следующему виду:

Ур = Ор2 = (а,2 - 2г,2а,а2 + а22)х,2 + 2а2(г12а, - а2)х, + а22, (54)

тр= (т, - т2)х, + т2.

Характеристика шр линейно зависит от Х|. Поэтому ар2(тр) - неотри-цательная квадратичная функция от шр, причем ее график при нулевом дискриминанте квадратного трехчлена (54) касается горизонтальной оси. Этот дискриминант О = 4а22а|2(г]22 - 1).

Отсюда следует, что нулевой риск можно получить только при комбинации активов с полной положительной или отрицательной корреляцией: Г|2 = ± 1. Для Г|2 = - 1, когда эффективности меняются разнонаправленно, этот вывод согласуется со здравым смыслом и был ранее отмечен в примере п. 3.9.

Для плюсовой единичной корреляции безрисковый портфель можно получить, сочетая "закупки" одного из активов с короткими продажами другого, что с учетом поменявшей знак переменной фактически меняет корреляцию на обратную.

Понятно, что для достаточно больших тр, достигаемых с помощью операции 5\'Иоп-5а\'1е, допустимые портфели будут эффективны (рис. 34).

Рис. 34. При заданном уровне С риска ор2 тот из двух допустимых портфелей В, D эффективен (D), у которого больше ожидаемая доходность (шц > тв)

Отсюда вывод: при использовании операции типа short-sale можно получать эффективные портфели СКОЛЬ угодно ВЫСОКОЙ ДОХОДНОСТИ ГПр.

Очевидно, что переход к координате ар сохранит конфигурацию графика рис. 34. Назовем соответствующую кривую графиком допустимых портфелей, или допустимой траекторией. При ограничении на знак пе-ременных эта траектория будет находиться в пределах промежутка {т(, т2], при снятии ограничения на знак ветви этой кривой уйдут в бесконечность. Восходящая часть этой кривой будет определять эффективную траекторию: укороченную до точки ш2 кривую "б", если short-sale невозможен, и простирающуюся в бесконечность кривую "а" при наличии взятого в долг капитала.

Для "большеразмерного" портфеля эти кривые расходятся (кривая "а" не продолжает кривую "б", как в двумерном случае, а располагается ниже), но ведут себя аналогичным образом. Доказано, что их наклон, ото- \r\nсражающий зависимость риска (среднеквадратичного отклонения) от эффективности, постепенно возрастает (в математике такая функция на-зывается строго выпуклой).

ПК»

Пример. Рассмотрим влияние корреляции на характер траектории эффективных портфелей. Пусть ГП) = О, О] = 1 и соответственно т2 = 1, »2 = 2,

и вцпотш ЦОТЦПО jnimmi\' Г._ = Q. 3/-I\' ]•

® раболы (54) имеет вид: (а, - г12а,)а.

1_2

Подставляя в нее исходные данные, вычислим для каждого варианта корреляции координату Х|в- Соответственно для каждого случая получим

5 2

координату х1В - —,—,2,—. Отсюда и из формул (54) определим пова-

4 3

риантные значения доходности трв и риска арВ для "вершинного" порт-феля, то есть того, который располагается в начале эффективной траектории. Данные вычислений сведем в следующую таблицу:\r\nN2 варианта I II III IV\r\nг12 0 s 1 -1\r\nх1В 4/5 5/4 2 2/3\r\nтрВ 1/5 -1/4 -1 1/3\r\nорВ vVs vVs 0 0\r\n

При полном вложении в один из активов: Х| = 1 или Хг = 1, независимо от номера варианта тр = 0, ор = 1 и соответственно шр = 1, ар = 2. Этих данных вполне хватает, чтобы представить все четыре случая в удобном для сравнения графическом виде (рис. 36). \r\n

Различия между графиками по расположению вершины М относительно полосы [Ш|, m2i и характеру течения кривых в координатах "доходность - риск" вызваны различием корреляций, так как прочие условия Bvy BvvA ВйрйяНТйх совпадаю!.

В нашем примере mj =0; m2 = 1. Поэтому, комментируя различия, воспользуемся обозначением [0; 11, хотя выводы будут справедливы и дня произвольных значений 0 <; nil < пъ.

В случае полной корреляции (rj2 = ±!} эффективные траектории представляют собой повышающие полупрямые, упирающиеся в ось абсцисс, и весь риск в точке М элиминируется. Внутри полосы [0; 1] отрицательная единичная корреляция выгоднее, вне этой полосы предпочти-тельнее становится случай Г|2 = 1.

Для независимых активов вершина М всегда находится в полосе [0; 1], и этот случай занимает промежуточное по выгоде положение между вариантами детерминированной линейной связи (г]2 = ±1).

Рис. 36. Влияние корреляции иа поведение допустимой траектории и ее эффективной части

Двувидовой портфель с безрисковой составляющей

Несмотря, на простоту, эта модель является важным элементом портфельной теории и понадобится нам, когда мы будем изучать расширение д. ! ооина для задачи 1. Марковица. паидем эффективную траекторию таких портфелей. Пусть го - эффективность безрискового вложения, а случайная эффективность R, имеет ожидание mr и вариацию о,2, естественно го < mr. Деление вклада на безрисковую и рисковую части в долях Хц и хг = i - Xq приводит к портфелю со случайной эффективностью: Rp = Х0Г0 + xrRi"

Ожидаемое значение этой эффективности и ее среднеквадратичное отклонение равны:

тр = ад + (1 - Xo)mr, ор = 11 - хо|аг. (55)

Допустим, что имеется возможность брать и давать в долг под безрисковую ставку г0, то есть переменная XQ может быть любого знака. В отличие от этого, по рисковому активу операция short-sale лишена финансового смысла, поскольку при хг = 1 - хо < 0 разность mp - г0 = (xq - 1)(го - т,) < 0.

Следовательно, тр < го, а ор = (хо - 1)аг > 0. Эта смесь (составной актив) заведомо хуже, чем однородный безрисковый вклад. Чтобы уйти с неэффективной траектории, следует ввести ограничение неотрицательности ДЛЯ Хг ИЛИ равносильное условие Хо s 1.

Исключая Хо « 1 из соотношений (55), получим:

(56)

Шг-Г0

то есть связь между риском ар и ожидаемой эффективностью шр линейна (рис. 37).

Рис. 37. Эффективная траектория двувидового портфеля с безрисковой составляющей

Очевидно, что все сочетания активов, представленные точками луча АС, являются Парето-оптимальными, причем часть АВ всей траектории относится к случаю отсутствия заемного капитала (хо аг 0).

рис. 37

Из множества эффективных портфелей инвестор отберет такой, который доставляет максимум полезности U(m, о).

Пример. Некто может беспроцентно ссужать или занимать деньги (Г0 ¦= О, XQ - без ограничения но знак), а кроме того, он имеет возможность вложиться под рисковую ставку R. с характеристиками mr = 2, а,2 = 4. Очевидно, что брать деньги в долг под рисковую ставку R. (short-sale), чтобы беспроцентно держать их

у себя, - бессмысленно, то есть хг = 1 - XQ 2 0. Отношение индивида к риску за-

1

дано уровневой функцией полезности U(m о) = Ги - -о2

8

Решим вместе с вкладчиком его задачу и найдем оптимальный портфель. Уравнение (56) траектории эффективных портфелей для нашего

суоъекта примет вид: а = т.

Определению эффективного портфеля с оптимальным сочетанием доходности ш и риска о отвечает следующая оптимизационная задача:

тах^т - ^ а2 / о = т j.

Она сводится к максимизации квадратичной функции:

Y(m) = m -im2

при условии, что m г 0, и имеет очевидное решение: т* = 4.

Отсюда и из (55) найдем риск о* = 4, оптимальные пропорции xr* = 1 - Хо* = 2, Хо* = - 1 и максимальный уровень полезности Y(4) = 2. На рис. 38 дано графическое решение задачи с помощью карты кривых

безразличия т--а2 =С.

Рис. 38. Оптимальный портфель А - точка касания кривой безразличия о « д/8(т - с) и эффективной траектории о = т

Согласно полученному ответу (точка А) вкладчик-оптимизатор вос-пользуется возможностью беспроцентного кредита для удвоения капитала и полностью инвестирует его в рисковый актив.

4.3. Задача об эффективном портфеле с безрисковой компонентой

Эта задача отличается от постановки (49) - (51) тем, что инвестор, кроме рисковых пенных бумаг, учитывает также возможность безрисковых вложений с гарантированной эффективностью г0. Обозначив долю таких вложений через Х(), придем к следующему расширению задачи (49) - (5 Г): \r\n

\r\n(57)

, V у „1 і

т V

іпіпі V V \\/..х.х /г„х„ + у гп Х- = и \' 1 0 " ? 1 \' \r\n

\r\n