Теорема Ролля.

Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема во всех внутренних точках [a;b]. Пусть, кроме этого, f (a) = f (b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c такая, что

f \'(c) = о.

Доказательство.

По теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a;b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма. Теорема доказана. ?

Геометрический смысл этой теоремы проиллюстрирован на рис. 2.2: по теореме Ролля существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная равна нулю.

У\r\nJ \\ № J j

/ і / і

І і *

j \r\n 1 г^ і

4 \r\n0 а с b X\r\nРис. 2.2. Графическая интерпретация теоремы Ролля

<< | >>

↑

Источник: Блюмин С.Л., Суханов В.Ф., Чеботарёв С.В.. Экономический факторный анализ: Монография. - Липецк: ЛЭГИ,2004. - 148 с.. 2004

Еще по теме Теорема Ролля.:

- Инвестиции - История экономики - Основы экономики - Платежные системы - Политэкономия - Рынок ценных бумаг - Ценообразование - Эконометрика - Экономика предприятия - Экономическая теория - Экономический анализ -