§ 4f. Расширенный вариантвторой фундаментальной теоремы

Предварительно введем некоторые обозначения.

Будем полагать Sn = —— (дисконтированные пены),

Вп

Напомним, что векторы ах,.. •,од, где аі Є 2 ^ к ^ d + 1, называются аффинно независимыми, если существует г Є {1,..., к} такое, что к — 1 векторов (aj — йі), j = 1 ,...,k,j ф і, являются линейно не- зависимыми. Если это свойство выполнено для некоторого і Є {1,..., к}, то оно будет верным и для любого г = 1,..., к. Заметим, что свойство аффинной независимости d-мерных векторов а1;..., а к равносильно тому, что наименьшая аффинная гиперплоскость, содержащая ах,..., ак, имеет размерность к — 1.

Теорема В* (расширенный вариант второй фундаментальной теоремы; [251]). Пусть (В,S)-рынок (В = (Bn)o^n^N, Вп > 0 и 9п-г-из- меримы, S = (Sn)osjnsjjv, Sn = (Si,...,S?), S^Ou 9п-измеримы) является безарбитражным-, N < оо, d < оо.

Тогда следующие условия равносильны.

Рынок является полным.

Рынок является совершении.

Множество мартингальных мер ??(Р) содержит в точности одну меру.

Множество локально мартингальных мер &\\0с(Р) содержит в точности одну меру.

В множестве ??іос(Р) существует мера Р\' такая, что всякий мартингал М = (Мп, POo^n^JV допускает "S-представление"

п

Мп = Мо + ¦ъN> i=l

С -измеримыми 7f

С точностью до множеств Р-меры нуль = o(S\\, ¦ ¦ ¦ ,S„) и найдутся d+ 1-предсказуемые M.d-значные процессы (ах,т • • • !ad+i,n)i 1 ^ п ^ N, являющиеся аффинно-независимыми (для всех пи и>), и такие, что (Р-п.н.) носители мер Qn( •; w) содержатся в множестве

С точностью до множеств Р-меры нуль 9-п — o(S\\,..., S„) и найдутся d + 1-предсказуемые Rd-значные процессы (ai:„,...

В рассматриваемых случаях о-алгебра Зу является чисто атомической (относительно меры Р) с не более чем (d+ 1)^ атомами.

Доказательство в случае d. ~ 1 было изложено в предыдущих параграфах. В общем случае d ^ 1 соответствующее доказательство содержится в работе [251]. Отсылая читателя за всеми техническими деталями, вызванными векторностью цен S = (S1,..., Sd), d ^ 1, остановимся здесь лишь на схеме доказательства и отличиях в случаях d = 1 и d > 1.

Во-первых, заметим, что равносильность свойств (f) и (g) является простым следствием того, что о1]Г1 и at rl связаны соотношением

* - + а»,п - ~б- + -Ьп-11 "Б ~5 1 •

?>п \\?>п Дц-1/

Далее, очевидным образом (Ь)==>(а) и, в силу теоремы А* (§2е), (d)^(c).

Поэтому для доказательства теоремы надо установить справедливость следующих импликаций:

(а) (d),

(с) => (g), (g) (b), (а) + (g) =». (е), (е) (а).

Импликация (a)==>-(d) доказывается точно так же, как ив случае d = 1 (см. п. 2 в §4а), с заменой мартингальных мер Pt, і = 1,2, на локально мартингальные.

В импликации (c)=>-(g) утверждение о том, что = Наиболее трудоемкой частью в доказательстве справедливости импликации (c)=»(g) является установление структуры носителеймер Qn( ¦; ц>). В случае d — 1 носители мер были "двуточечными" В обшем случае d > 1 носители этих мер состоят самое большее из d + 1 точки (в Rd). Эта часть доказательства подробно изложена в [251] и здесь опускается. (В идейном плане доказательство такое же, как и в случае d = 1, и проводится следующим образом. Пусть сама мера Р является мартингальной. Если носитель Qn (•; ш) состоит из более чем d -I-1 точки, то можно, используя снова идею "перекачивания" масс, построить новую меру Р\' по формуле

P\'(dui) = z(w) P(c!w), которая, при подходящем выборе 9н-измеримой функции z(u>), оказывается мартингальной мерой, Р\' ~ Р и Р\' ф Р.

Обратимся к импликации (g)=>(b). Пусть /jy - -измеримая случайная величина и мартингальной является сама исходная мера Р. Из (g) следует, что, на самом деле, f?f является случайной величиной, принимающей конечное число значений.

Требуется доказать, что может быть представлено в виде

n

fN=x+Yl 7fcASfc. (1)

к= 1

п __

Поскольку последовательность Xп = х + liASi, п ^ N, является

і=І

Р-мартингалом, то, необходимым образом, должны быть выполнены следующие соотношения: х = Е и

lnASn=E(fN\\9n)-E(fN\\9n-1). (2)

Тем самым, для получения представления (1) мы полагаем х - E/JV и затем показываем (как и в случае d = 1), что из условия (g) вытекает возможность построения &"п -1 -измеримых функций 7„ с требуемым свойством (2). (Подробнее см. [251].)

Импликация (а) + (g) => (е). В силу (g) а-алгебра З-jq является чисто атомической. Тем самым, все -измеримые случайные величины принимают лишь конечное число значений и, значит, являются ограниченными.

Пусть Р\' Є ^іос(Р) и М = (Мп,9п, P\')n^N - мартингал. Согласно (а), существуют х Є R и предсказуемый пропесс 7 = (7,,) такие, что

JV _ MN = х + X) ТІА^І- i=l

n

Последовательность M\' - (М\'п,Зп, P\')n<^N с М\'п = х + X) 7«А^

является Р\'-локальным мартингалом и, следовательно, мартингалом в силу того, что все случайные величины здесь ограничены. Поскольку М,у = M\'N, то мартингалы М и М\' совпадают (Р\'-п.н.), откуда следует утверждение (е).

Наконец, для доказательства импликации (е)=>-(а) достаточно лишь заметить следующее (ср. с леммой в § 4а).

Пусть всякий мартингал М = (МП, Р\') с Р\' Є 5аіос(Р) допускает

т» _

"5-представление" МП = MQ + 7ІД5І-

i=l

Пусть /jy — -измеримая ограниченная функция. Рассмотрим мартин-гал Мп — E\'(/jvj^n), п ^ N, где Е\' есть усреднение по мере Р\'.

n

fN=MN=M0 + Y^7.Д5, (Р\'-п.н.).

j=i

Следовательно, /я может быть представлено в виде

n

/лг + (Р-п.н.)

і=1

с х — Мо и предсказуемой последовательностью 7 = (7t)tЭтим завершается рассмотрение всех сформулированных выше импликаций, требуемых в доказательстве теоремы В*.

Кокса-Росса-Рубинштейна Г

. і

Sn = Sn-iB, а с вероятностью q — Р(рп = а) - в значение Sn = Sn-i А где В = 1 + ЬиЛ = 1 + а.

В предположении —1 < а < 0 < Ь существует единственная мартин- гальная мера и, следовательно, соответствующий (B,S)-рынок является

безар битражным и полным. \\

Из теоремы В* следует, что в случае d — 1 каждый полный безарбит- |

ражный рынок имеет весьма сходную "двоичную" структуру ветвления I

цен. [

А именно, при заданной "истории" (So, Si,...,Sn-i) значение S„ = І

s„_i(l + р„), где величины рп = рп (So, Si,..., Sn-i) принимают всего !

лишь два значения: о„ = on(So,Si,..., Sn-i)vibn = b„(So, Si,..., S„_i). |

В рассмотренной выше модели Кокса-Росса-Рубинштейна величины ап |

и Ьп были константами (а„ — a, bn = Ь). В общем же случае эти значения j

зависят от предшествующей истории движения пен, но опять-таки для по- j

ложительности цен, полноты и без арбитражности должны быть выполне- [

ны условия — 1 < ап < 0 < bn. |

Пример 2{d=2,N = 1). Пусть В0 = Bj = 1 и S = (S\\S ) -цены і

двух акций с Sj = SQ = 2. Будем рассматривать одношаговую модель !

(N - 1) и пусть (

—

- вектор приращений цен с AS[ = S\\ — SQ = S[— 2, г = 1,2.

В соответствии с теоремой В*, для полноты соответствующего без ар-битражного рынка нужно, чтобы носитель меры Р(А5і Є •) был сосредоточен в трех точках на плоскости, скажем,

(;:)• (г)- (г)-

причем соответствующие три вектора в R2 должны быть аффинно-незави- симыми. Как уже отмечалось выше, это равносильно тому, что векторы

/ аі аз | и / а2 «з j являются линейно независимыми.

V h ~ Ьз ) \\Ь2-Ь3;

Например, пусть вероятность каждого из векторов

(!)• (1)\' (-?)

равна і. Эти векторы аффинно независимы, и мартингальной мерой явля-ется мера, приписывающая этим векторам вероятности | и соответственно.