Актуарная модель накопительной пенсионной системы

Рассмотрим накопительную пенсионную систему, в которой инвестирование пенсионных резеров осуществляется на фондовом рынке, при формировании инвестиционного портфеля из N модельных классов (рис.

Рис. 9.1. Накопительная пенсионная система.

Введем обозначения:

· T – горизонт планирования – определенное количество лет;

· t – текущее время прогноза (планирования) – номер года в горизонте планирования от 1 до T;

· (t) – поступления в пенсионную систему – нечеткая последовательность;

· (t) – платежи из пенсионной системы – нечеткая последовательность;

· (t) – потоки инвестиций резервов пенсионной системы – нечеткая последовательность;

· (t) – расчетный коридор доходности по i-му виду активов, i = 1...N;

· X(t) – принятое на начало планового года t долевое распределение инвестиций между активами – последовательность векторов действительных чисел от 0 до 1 с суммой 1;

· (t) – поток доходов по итогам инвестиций прошлого года - нечеткая последовательность;

· (t) – резерв пенсионной системы на начало периода планирования – нечеткая последовательность;

· P (t) – план резервирования неснижаемого остатка по пенсионной системе на начало периода планирования – последовательность действительных чисел.

Экзогенными факторами модели являются потоки поступлений и платежей (t) и (t).

Поток инвестиций (t) планируется по следующему правилу. Если планово поступления превышают платежи, тогда некоторая доля от разницы между поступлениями и платежами формирует поток инвестиций (мы ее не знаем, нам предстоит ее определить в ходе решения задачи). Если разница отрицательна, то возникает поток отрицательных инвестиций (отзыва средств с фондового рынка).

Накопленные нарастающим итогом инвестиции обращаются на рынке и приносят доход, который можно исчислить по формуле:

(9.2)

Таким образом, баланс резерва пенсионного фонда сводится по формуле:

(t+1) = (t) +(t) + (t) - (t) - (t). (9.3)

Планы резервирования P (t) следует установить на основе специализированных нормативов, исходя из необходимости обеспечения бесперебойной работы пенсионных систем при существенных колебаниях потоков платежей и поступлений (например, 10% от среднего планового уровня платежей предыдущего года):

P(t+1) = 0.1*Aav(t). (9.4)

Если выясняется, что план резервирования не выполнен, т.е. Z(t) < P(t), то считаем это событие неблагоприятным. Риск такого события (поскольку резервы – треугольные числа) можно оценить по формуле (см. раздел 4.3 монографии):

(9.5)

где

, (9.6)

.

Тогда задача оптимального управления инвестиционным портфелем фонда может быть сформулирована следующим образом: определить последовательности (t) и оптимальные распределения X(t), приводящие к выполнению условия минимума целевой функции:

max (t) Risk(t) ® min (9.8)

Сформулированная таким образом задача управления (9.8) – это задача поиска глобального минимума при естественных ограничениях вида:

0 £ X(t) £ 1, , (t) £ (t) - (t). (9.9)

Рассмотрим расчетный пример.

9.1.