§ 2d. Полнота в семимартингалъных моделях

Естественно, что свойство воспроизводимости существенно зависит от того, какой класс самофинансируемых стратегий допускается к рассмотрению.

Напомним, что вторая фундаментальная теорема (§ § 4а, f, гл. V) утверждает, что в безарбитражных моделях с дискретным временем (п ^ N < оо) и конечным числом активов (d < оо) полнота имеет место тогда и только тогда, когда множество мартингальных мер состоит в точности из одной меры (Р), эквивалентной мере Р.

Ниже будет приведено одно достаточное условие полноты в общих семимартингалъных моделях в предположении, что для них класс ??(Р) эк-вивалентных мартингальных мер не пуст.

В этом предположении имеет место следующее утверждение.

Теорема. Пусть множество мартингальных мер содержит лишь одну меру Р. Тогда в классе SF(X) найдется стратегия ж такая, что Xj, = fx (Р-п.н.) для любого платежного поручения fx с Ер\\/т\\ < оо.

Доказательство этой теоремы проходит по следующей схеме (ср. с диаграммой в § 4а, гл. V):

\\ЗР{Р)\\ = 1 "Х-представимость" полнота.

Здесь "Х-представимость" относительно мартингальной меры Р Є ?^(Р) означает (ср. с "5-представимостью" в §4Ь, гл. V), что всякий мартингал М — {Mt, 3"t, P)t^ г, заданный на том же самом фильтрованном вероятностном пространстве (fi, (&t)t4.T, Р), что и Р-мартингал X, допускает представление

Mt =М0+ [ (7*,ОД, J о

где 7 Є L(X).

Импликация {1} следует из общих результатов Ж. Жакода (см. [248; гл. II]) и применительно к теории арбитража была впервые сформу-лирована в работе Дж.

Импликация {2} доказывается точно так же, как и в случае дискретного времени (см. доказательство леммы в §4Ь, гл. V).

По поводу конкретных примеров полных рынков см. далее разделы 4 и 5.

3. Замечание 1. Вопросы "X-представимости" (локальных) мартин-галов на неполных безарбитражных рынках рассматриваются, например, в [9].

Замечание 2. Остановимся на вопросе о взаимоотношениях концепций арбитража, (локально) мартингальной меры и полноты, постоянно встречающихся в нашем изложении.

Важно подчеркнуть, что каждая из этих концепций изначально форму-лируется независимо от других. При этом и арбитраж, и полнота определяются в терминах свойств исходной ("физической") вероятностной меры Р, и ни о какой мартингальной мере речи и не было.

В случае дискретного времени и конечного числа активов (N < оо, d < оо) оказалось ("первая фундаментальная теорема"), что отсутствие арбитража допускает простую эквивалентную характеризапию - сущест-вование мартингальной меры (^(Р) ф 0), а полнота в таких безарбитражных моделях оказалась ("вторая фундаментальная теорема") равно-сильной единственности мартингальной меры (|^(Р)| = 1).

Однако, если иметь в виду более общие модели, то вполне возможно отсутствие арбитража и без существования мартингальных мер, что показывает пример 1, приведенный в § 2Ь, гл. VI.

Точно так же не должно создаваться впечатление (в связи со "второй фундаментальной теоремой"), что о полноте нельзя говорить без отсут-ствия арбитражных возможностей или без наличия мартингальных мер, и логически вполне возможно, например, что

полнота может иметь место как в безарбитражных, так и арбитражных моделях;

полнота может иметь место, когда существует, но не единственна "классическая" (т. е. неотрицательная) мартингальная мера;

полнота может иметь место, когда отсутствует "классическая" мар-тингальная мера, но есть единственная "неклассическая" (т. е. со знаком) мартингальная мера.