§ 5Ь. Полнота
В случае диффузионного (В, Р)-рынка, порождаемого m-мерным вине- ровским процессом W = (W1,...
,Wm), имеет место многомерный аналог теоремы 2 из § Зс, гл. III, согласно которой всякий локальный мартингал М — (Mt,9t) допускает представление
(1)
с ^s-измеримыми функциями фі (s), такими, что
Как и в случае (В, 5)-рынка (см. § 4Ь), наличие этого представления играет ключевую роль при исследовании вопросов полноты для рассматриваемых (В, Р)-моделей.
Пусть То - некоторый фиксированный момент времени и /т0 - некоторое 9т0-измеримое платежное поручение. Будем предполагать /т0 ограниченным (|/т01 ^ С) и говорить, что это платежное поручение воспроизводимо, если найдется такой самофинансируемый портфель ж = (/3,7), что
Если это свойство выполнено для любого То и любого ограниченного ¦^То-измеримого платежного поручения /т0, то говорят, что (В, V)-модель является полной.
Пусть цены Т-облигаций Р(<, Т) подчиняются соотношениям
dP(t, Т) = P(i, Т) (r(t) dt + f^Bi(t, Т) dW^J
тп
Будем предполагать, что 0 < Bi(t,T) ^ С = Const.
В этих допущениях исходная мера Р является мартингальной в том смысле, что последовательность пен (P(i, T))t^r образует локальный мартингал и
т ft Г [оо _
Bi(s,T)P(S,T)ls(dT)^dWi. (4)
Обозначим
Тогда для М = (Mt, имеет место представление (1), и из сопоставле-ния с (4) видим, что для воспроизведения значений Mt, t ^ То, с помощью капитала ЗГ^, t ^ То, некоторого самофинансируемого портфеля тг, необ-ходимо и достаточно, чтобы ([38]) ((dP х dt )-п.н.)
фі (t) = P ВІ(t, T)P(t, T) 7t (ЛГ) (6)
дляі = 1,...,тиК To-
Если решение (dT), f ^ To, T ^ T0} существует, то тогда, полагая
/•То _
p;=Mt-J P(t,T)7;(dT), (7)
находим, что портфель 7г* = (/3*, 7*) будет самофинансируемым и таким, что
X*t=Mu t^T0.
д.* frp „
В частности, XTq = ——и, значит, = /7^ (Р-п.н.), т.е.
имеет -"То І7-)место То-полнота.
2. Пример ([36], [38]). Пусть на (В, -рынке имеется лишь конечное число d облигаций с временами исполнения Ті,..., Tj. (Тем самым, носи- телимер 7t(dT) могут быть сосредоточены лишь в точках {Ті},..., {Tj}.) Поскольку число "источников случайности" равно т, то интуитивно по-нятно, что для воспроизводимости платежного поручения fx0 надо иметь достаточно большое число d облигаций, которое, видимо, не меньше числа "источников" т.
Пусть d = т. Тогда система (6) примет следующий вид:
d
фі(і) = J^Bi^TjWit^jtdTj}), (8)
3=1
где і = 1,..., d.
Из (8) ясно, что при каждом t ^ TQ эта система имеет решение в том и только том случае, когда матрица \\\\Bi (t, Tj) || является обратимой. Если 771 = d — 1, то система (8) превращается в соотношение
ViW = B1(f,T1)P(<,T1)7t({T1}), (9)
из которого следует, что для t ^ Ті
Вг^Тг^Тг)
И7П№}) =0приТ1