Формирование портфеля без риска

В основе моделей оценки премии опционов лежит посылка о том, что инвестор может сформировать портфель из опционов и базис­ных активов, нейтральный к риску изменения цены актива. Напри­мер, инвестор сформировал безрисковый портфель из опционов и акций.

Изменения цены акции и опциона пут направлены в противопо­ложные стороны. Поэтому, формируя портфель без риска из акций и опционов пут, инвестору следует купить опционы пут и купить акции или продать опционы пут и продать акции.

Для формирования портфеля необходимо рассчитать пропор­цию, в которой изменяется цена опциона при изменении цены ак­ции. Например, инвестор определил, что при изменении цены ак­ции на 1 руб. цена опциона колл изменяется на 0,5 руб. Это озна­чает, что, формируя портфель, он должен на каждые два продан­ных опциона колл купить одну акцию. Тогда при росте цены акции на 1 руб. инвестор выиграет 1 руб. на акции. Цена двух опционов в сумме также увеличится на 1 руб. Инвестор продавал контракты. Поэтому, если он будет закрывать позицию по опционам, ему при­дется выкупить их по цене выше в совокупности на 1 руб, Таким образом, он потеряет 1 руб на опционах, В результате стоимость портфеля останется неизменной: выигрыш по акции компенсирует­ся проигрышем по опционам.

При падении цены акции на 1 руб. он потеряет 1 руб. на акции. Цена двух опционов также понизится в сумме на 1 руб. Инвестор продавал контракты. Поэтому, если он будет закрывать позицию по опционам, то выкупит их по цене ниже в совокупности на 1 руб.

Портфель нейтрален к риску только для небольшого роста или падения цены акции, т.е. пока отмеченная ценовая пропорция оста­ется практически неизменной. При более значительном изменении курса бумаги изменится и ценовая пропорция между акцией и преми­

ей опциона. Поэтому, чтобы сохранить нейтральность портфеля к риску, необходимо постоянно корректировать его состав, Например, курс акции вырос, и новое ценовое соотношение равно 1:1, т.е. при изменении цены акции на 1 руб. цена опциона также изменяется на 1 руб. Тогда для поддержания нейтральности портфеля к риску инве­стору необходимо купить еще одну акцию. В этом случае при росте цены акции на 1 руб. он выиграет по акциям в сумме 2 руб., однако по опционам проиграет также 2 руб. Соответственно при падении цены акции на 1 руб. он проиграет по акциям 2 руб., но выиграет эту сумму по опционам.[53]

Допустим, что акция является делимой на части. Тогда можно сформировать портфель из опциона и части акции, который будет нейтрален к риску. Например, инвестор продал опцион колл и купил 0,5 акции, поскольку ценовое соотношение между курсом акции и премией опциона равно 1:0,5. В следующий момент цена акции вы­росла, и новая пропорция составила 1:0,6. Тогда инвестор покупает дополнительно 0,1 часть акции, чтобы сохранить нейтральность портфеля к риску, В следующий момент цена акции упала, и новая пропорция равна 1:0,55. Инвестор продает 0,05 часть акции, и т.д. Чем чаще будет инвестор корректировать портфель, т.е. пересмат­ривать его при малейшем изменении ценовой пропорции, тем более нейтральным он будет к риску. Если предположить, что можно осу­ществлять непрерывную корректировку состава портфеля при изме­нении цены акции, то портфель будет абсолютно нейтрален к риску изменения цены акции, и стоимость его будет оставаться неизмен­ной. Если допустить, что издержки по корректировке состава порт­феля равны нулю, то инвестор в течение всего периода действия опционного контракта без каких-либо затрат может поддерживать нейтральность портфеля.

Таким образом, инвестор может сформировать из опционов и ба­зисных активов портфель нейтральный к риску и поддерживать его нейтральность в течение действия контракта, покупая и продавая базисные активы в зависимости от изменений конъюнктуры рынка.

Выше мы отметили, что цену опциона можно определить для экономики, в которой инвесторы нейтральны к риску, и она будет

одинаковой для всех трех типов экономик. Такой прием мы вправе использовать в отношении любых финансовых инструментов, если существует возможность сформировать безрисковый портфель, так как в этом случае цена этого инструмента определяется не отдельно, а через оценку стоимости безрискового портфеля, содержащего дан­ный инструмент и базисный актив.

Рассмотрим на примере, каким образом можно применить техни­ку формирования портфеля без риска применительно к простой би­номиальной модели.

Пример 2.

Цена спот акции 100 руб. Через три месяца ее цена может соста­вить 80 руб. или 120 руб. Предполагается, что акция делима. Трех­месячная ставка без риска 10% годовых. Инвестор продает трехме­сячный европейский опцион колл на акцию и приобретает п акций. Данный портфель будет безрисковым, если к моменту истечения срока действия опциона стоимость его окажется одинаковой, незави­симо от конкретного значения цены акции. При падении курса акции до 80 руб., стоимость портфеля окажется равной 80п руб. Если курс поднимется до 120 руб., цена портфеля составит (l20«-20) руб.

Чтобы сформировать портфель без риска, инвестор должен купить такое число акций, которое бы удовлетворяло уравнению:

120«-20 = 80«.

Решив его, получим: « = 0,5 акции. При таком условии портфель че­рез три месяца и в первом и во втором случае будет стоить 40 руб.:

1) 80дуб. ■ 0,5акции ~ 40руб.

2) 120руб. ■ О,Ъакции - 20руб.

Стоимость портфеля в момент заключения опционного контракта равна:

100 -0,5-с- = 50 -с.

Портфель без риска должен приносить инвестору доходность равную ставке без риска. Поэтому стоимость портфеля в начале периода должна соответствовать его дисконтированной стоимости через три месяца, т.е.:

Таким образом, опцион должен стоить 10,98 руб., иначе можно получить арбитражную прибыль. Действия арбитражера будут ана­логичны действиям, рассмотренным в примере 1.

10.1.1.3. Риск-нейтральная вероятность

Как показано в примере 1, для одного временного периода вы­платы аналогичные выплатам по опциону можно получить, сформи­ровав портфель из акции и заемных средств, Стоимость такого портфеля в начальный момент времени должна равняться цене оп­циона, а именно:

п -количество акции;

S-цена акции в момент заключения опционного контракта; В -сумма кредита.

В конце периода портфель может стоить или

или

стоимость опциона (и соответственно портфеля) в случае

роста цены акции;

стоимость опциона (и соответственно портфеля) в случае

падения цены акции;

и = 1 + процент прироста цены акции; d= 1 - процент падения цены акции;

R = 1 + ставка без риска.

Чтобы сформировать эквивалентный портфель из акции и заем­ных средств, необходимо знать величины п и В. Из формул (10.3) и (10.4) получим:

и

Подставив значения п и В из формул (10.5) и (10.6) в формулу (10.2), находим стоимость опциона в начале периода:

или

Числитель в формуле (10.7) представляет собой ожидаемую стоимость опциона к моменту истечения контракта, где весами вы­

Поэтому можно сказать, что

цена опциона в начале периода равна дисконтированной стоимости средневзвешенных выплат по контракту в конце периода.

Как следует из формулы (10.7), она не включает ни одной пере­менной, которая бы учитывала отношение инвестору к риску. Таким образом, мы можем определить цену опциона в экономике, в которой действуют нейтральные к риску инвесторы. Такой подход к опреде­лению премии опциона получил название риск-нейтральной оцен­ки. Она попросту означает, что мы предполагаем нейтральное отношение к риску всех инвесторов. В то же время, полученная стоимость опциона одинакова для всех трех типов экономик.

В формуле (10.7) в явном виде не присутствуют вероятности рос­та и падения цены акции, поскольку они не учитывались при опреде­лении премии опциона.

первого периода составит си можно принять величину

Обозначим ее через р. Данную величину можно также принять за вероятность роста цены акции. Тогда вероятность получить значение

через (l - р). Данную величину мож­

но принять за вероятность падения курса акции. Таким образом, вы­полняется необходимое условие для представления указанных ве-

личин в качестве вероятностей: сумма вероятностей акции пойти вверх и вниз равна единице. В результате премию опциона можно рассматривать как дисконтированную под ставку без риска средне­взвешенную стоимость опционного контракта к моменту его истече­ния, где весами выступают вероятности роста и падения цены акции.

Выше мы отметили, что при оценке стоимости опциона инвестор не принимает во внимание фактические вероятности роста или па­дения курса акции. Поэтому необходимо конкретизировать, что пред­ставляют собой найденные вероятности р и (l-p) применительно

к цене акции.

Ожидаемое значение цены акции в следующий момент време­ни является средневзвешенной величиной ее значений при росте и падении, а весами выступают вероятности. Поэтому можно за­писать. что:

получим:

Уравнение (10.10) говорит о том, что ожидаемое значение цены акции определяется на основе ставки без риска. Как известно, ожи­даемая доходность актива равна ставке без риска в условиях, когда инвесторы нейтральны к риску. Таким образом, если полагать, что вероятности роста и падения цены актива соответственно равны р

и (1 - р), то его ожидаемая доходность должна равняться ставке без

риска. Это, в свою очередь, означает, что мы действуем в экономике с нейтральными к риску инвесторами. Тогда вероятности роста и падения цены акции р и (l-/?) можно рассматривать как вероят­ности, существующие в экономике с нейтральными к риску инвесто­рами, или риск-нейтральные вероятности.

Таким образом, премия опциона равна дисконтированной стои­мости его средневзвешенных цен к моменту истечения контрак­та, где весами выступают риск-нейтральные вероятности роста и падения цены акции.

Рассмотрим случай, когда до истечения срока действия опциона два периода. Как видно из рис. 10.2, цена акции может принять в

упасть за первый период до Sd и далее опуститься до

ти до Su в первом периоде и упасть до Sud во втором; или вначале упасть до уровня Sd , а затем подняться до Sud. Опцион колл, со­ответственно ценам акции, принимает в конце второго периода три

hspace=0 vspace=0> Проанализируем вначале второй период. Можно увидеть, что он состоит из двух однопериодных моделей. В первой из них цена опцио­на в начале периода равна с. . а в конце периода принимает значения