Портфель из акций и заемных средств эквивалентный опционному контракту

1 Вместо заемных средств можно включить в портфель безрисковую облигацию.

Один из подходов к оценке премии опциона состоит в создании портфеля из акций и заемных средств1, который полностью копирует суммы выплат по опциону к моменту окончания действия контракта, Поэтому стоимость опциона при заключении контракта должна рав­няться стоимости портфеля, иначе можно совершить арбитражную операцию.

Рис. 10.1. Динамика курса акции в рамках простой биномиальной модели

случае в конце периода стоимость акции составит величину Su , во втором - Sd , где S - курс акции в начале периода; и = 1 + про­цент прироста цены акции; d - 1 - процент падения цены акции.

Пример 1.

Цена спот акции 100 руб. Инвестор определил, что через три ме­сяца ее цена может составить 80 руб. или 120 руб. Предполагается, что акция делима. Трехмесячная ставка без риска 10% годовых. На акцию торгуется европейский опцион колл с ценой исполнения 100 руб. Если через три месяца курс акции составит 120 руб., то от исполнения опциона будет получено 20 руб., если цена составит 80 руб., результат составит ноль руб., поскольку опцион не будет исполнен. Необходимо определить, сколько должен стоить опцион колл.

Для ответа на этот вопрос рассмотрим портфель из акций и заемных средств, который бы копировал результаты по опциону. Пусть инвестор покупает акцию в количестве п единиц, используя собственные и заем­ные средства. Дополнительные средства он занимает на три месяца под ставку без риска в сумме к руб.

условиям задачи сформированный из акций и заемных средств порт­фель через три месяца должен принести такие же результаты, как и опцион колл. Поэтому, чтобы найти величины ий, приравняем стои­мости портфеля и опциона в конце периода для первого и второго вариантов конъюнктуры. Получим систему уравнений:

Решение системы уравнений (10.1) дает ответ: п = 0,5акций; к = —39,02руб.

Это означает, что инвестор покупает 0,5 акции за 50 руб. Для этого он занимает сумму 39,02 руб. на три месяца под 10% годовых и до­полнительно использует свои средства в размере:

50-39,02 = 10,98/?j6.

Если через три месяца цена акции вырастет до 120 руб., стои­мость портфеля с учетом погашения средств по кредиту составит:

120 ■ 0,Ьащии - 40 = 20руб.

(40 руб. - это сумма кредита с начисленными за три месяца про­центами), Если цена акции упадет до 80 руб., портфель будет стоить:

80 • 0вакцин -40 = 0 руб.

Таким образом, результаты портфеля полностью копируют выплаты по трехмесячному европейскому опциону колл на акцию с ценой ис­полнения 100 руб. Стоимость портфеля и опциона колл через три месяца одинаковы. Следовательно, они должны быть равны и в на­чале периода. Стоимость портфеля инвестора с учетом заемных средств в начале периода составляет:

50-39,02 = 10,98/губ.

Поэтому премия опциона также равна 10,98 руб. Если она будет вы­ше или ниже найденной величины, можно совершить арбитражную операцию, Рассмотрим возможные варианты.

а) Цена опциона занижена и равна 10 руб. Тогда арбитражер бе­рет взаймы 0,5 акции и продает ее за 50 руб., покупает опцион за 10 руб. и размещает оставшиеся 40 руб. на трехмесячном депозите под 10% годовых. Если через три месяца курс акции 120 руб., он продает опцион в последний день его действия и получает 20 руб. (Цена оп­циона перед моментом истечения контракта равна его внутренней стоимости).

Из полученных сумм он уплачивает 60 руб. за половину акции и воз­вращает ее владельцу. Прибыль арбитражера равна:

20 + 41 - 60 = 1руб.

Если курс бумаги через три месяца 80 руб., он не исполняет оп­цион. По депозиту арбитражер получает 41 руб. За 40 руб. он поку­пает половину акции и возвращает ее владельцу. Прибыль равна:

41 -- 40 = 1 руб.

б) Цена опциона завышена и составляет 11 руб. Тогда арбитра­жер продает опцион, занимает 39 руб, под 10% годовых на три меся­ца и покупает половину акции за 50 руб.

Если цена акции через три месяца 120 руб., арбитражер продает 0,5 акции за 60 руб., выкупает колл в последний день действия кон­тракта за 20 руб., возвращает сумму кредита в размере:

Если курс акции 80 руб., опцион не исполняется, арбитражер продает половину акции за 40 руб., возвращает кредит в сумме 39,98 руб. Его прибыль составляет:

40 - 39,98 = 0,02 руб.

Таким образом, опцион должен стоить 10,98 руб., чтобы исключить возможность получить арбитражную прибыль.

В данном примере следует обратить внимание на следующие важные моменты. Определяя премию опциона, мы не использовали ни одной переменной, которая бы говорила об отношении инвестора к риску. Нам не потребовалось знания ставки дисконтирования, кото­рая бы соответствовала риску инвестирования средств в опционный контракт. Также не потребовалось знания вероятности, с которой курс акции мог пойти вверх или вниз. Для вычисления величины пре­мии опциона инвестору было безразлично, будет ли курс акции высоким (120 руб.) или низким (80 руб.), будет ли он расти или па­дать.

Всех инвесторов можно разделить на три группы: склонных к риску, не склонных к риску и нейтральных к риску.[51] Согласно трем группам инвесторов можно представить и три типа экономик, в ко­торых действуют только или склонные, или не склонные, или ней­тральные к риску инвесторы. Поскольку при оценке стоимости оп-

циона отношение инвесторов к риску не учитывается, то цена одно­го и того же опциона должна быть одинаковой в любой из этих эко­номик. Поэтому неважно, в какой из них определять премию опцио­на. В то же время, наиболее просто найти ее в экономике, где ин­весторы нейтральны к риску. Такие инвесторы не требуют возна­граждения в соответствии с риском финансовых активов. Ней­тральный к риску инвестор безразличен в выборе между активом, который гарантированно приносит ему доходность равную ставке без риска, и активом, ожидаемая доходность которого равна ставке без риска.[52] В нейтральной к риску экономике инвесторы обращают внимание только на ожидаемую доходность актива и не принимают в расчет его риск. Так как риск не учитывается, то не требуется и адекватное ему вознаграждение. Поскольку не требуется вознагра­ждения за риск, то все активы должны оцениваться таким образом, чтобы их ожидаемая доходность была одинаковой и равной ставке без риска. Соответственно цена любого актива в такой экономике будет равняться ожидаемым по нему выплатам, дисконтированным под ставку без риска.

При оценке премии опциона не играет роли вероятностное рас­пределение курса акции и величина ее ожидаемой доходности, но имеет значение стандартное отклонение доходности акции. Так, если известно, что возможные значения цены акции к моменту истечения опциона составят не 120 руб. и 80 руб., а 140 руб. и 60 руб., т.е. ак­ция характеризуется большим стандартным отклонением, то премия опциона в примере составит уже не 10,98 руб., а 20,74 руб.

Отмеченные особенности оценки премии опциона могут пока­заться несколько нелогичными, так как опцион - это довольно рискованный финансовый актив. Однако нелогичность исчезнет, если подчеркнуть следующую особенность представленного под­хода. Стоимость опционного контракта определяется не само­стоятельно, а опосредованно через оценку стоимости безрисково­го портфеля, который инвестор может сформировать из опционов и базисных активов. Поэтому рассмотрим концепцию формирова­ния портфеля без риска.

10.1.1.2.