<<
>>

§ If. Модели с дискретным вмешательством случая

1. При исследовании последовательностей Я = (Яп)п^о часто представляется удобным их "вложение" в схему с непрерывным временем, что означает следующее.

Свяжем с исходным стохастическим базисом SS = (JT2,3", Р)

следующий базис SS с непрерывным временем (t > 0):

где 3"t = З-щ, [і] - целая часть t.

Определим также по стохастической последовательности Я —J Нп, 3"п) новую последовательность (с непрерывным временем) Н = (Ht, 3t), полагая )

Ht = H[t].

Таким образом (см.

рис. 13), траектории Ht, t > 0, являются кусочно-постоянными со скачками AHt = Ht — Ht-, происходящими в моменты t = 1,2,..., и непрерывными справа. При этом ДЯП = АНп - hn.

Ht

Яз

Hi

іЯ2

0

Рис. 13. Вложение последовательности (Нп) с дискретным временем в схему с непрерывным временем

Понятно, что верно и обратное: заданный на некотором стохастическом базисе 3§ = (fi, 3:, (^t)t^o, Р) случайный процесс Я = (Ht, 3"t)t^о, траектории которого являются кусочно-постоянными, непрерывными справа с возможными скачками в моменты t — 1,2,..., является, в сущности, процессом с дискретным временем рассмотренного выше вида.

2. До сих пор, обсуждал разные модели динамики пен, мы имели дело либо (в основном) с моделями, в которых цены S = {Sn) фиксируются в дискретные моменты времени п = 0,1,..., либо (как в случае Башелье) с моделями, в которых цены 5 = (St)t^o описываются непрерыв-ным случайным процессом (броуновским движением, например) с непрерывным временем t Р 0.

На самом же деле, статистический анализ (см. гл. IV) эволюции реальных цен S = (St)t^o показывает, что их структура в некотором смысле является промежуточной.

Более точно, это означает следующее. Согласно многочисленным наблюдаемым данным, структура траекторий цен S = (St)t^o такова, как это изображено на приводимом рисунке:

at

So

о

Т2

тз

п

Рис.

14. Процесс с дискретным вмешательством случая

(в МОМеНТЫ Ті, Т2 , тз,...)

Иначе говоря, записывая St в форме St = SoeHt, мы находим, что траектории (Ht)t^o имеют вид

(1)

Ht = V* hkI{Tk ^ t),

к>1

где Ti,T2,... - моменты скачков, a hk - величины скачков (АНТк - НТк - НТк _ = hk).

Если считать, что все рассмотрения происходят на стохастическом базисе (Q, 3-, (^t)t^Cb Р), тона (случайные) моменты скачков тк,кр 1, инавеличины hk, к р 1, естественно накладывать некоторые условия "измери-мости" обеспечивающие, по крайней мере, то, что при каждом t > 0 величины Ht являются ^-измеримыми, т. е. определяются той "информацией" которая доступна на интервале времени [0, t].

3. С этой целью введем ряд определений, в которых под неотрицательной расширенной случайной величиной т = т(ы) понимается отображение3)

R+ = [0, оо].

Определение 1. Говорят, что неотрицательная расширенная случайная величина т = т(ш) есть марковский момент, или случайная величина, не зависящая от будущего, если для каждого t J? О множество

{и: т(ш) < Є (2)

Марковские моменты называют также моментами остановки, хотя иногда этот термин относят лишь к тем марковским моментам г = т(иі), для которых либо т(ш) < оо при всех U1 € Q, либо Р(т(ш) < оо) = 1.

Наглядный смысл условия (2) становится вполне ясным, если интерпретировать т(иі) как тот момент времени, когда надо принимать некоторое "решение" (например, купить или продать акции). Поскольку является сг-алгеброй, то условие (2) равносильно условию (т(ы) > t} Є 9>t, означающему, что в момент времени t заключение о переносе "решения" на более ПОЗДНИЙ момент Времени (нежели t) определяется ЛИШЬ информацией доступной на [0, ?], и не зависит от "будущего" (после момента t).

Определение 2. Пусть т — т(ы) - момент остановки. Через обозначается совокупность множеств А ? , обладающих тем свойством, что для каждого t Є К+ - [0, оо)

АГ\\{ш-.т{ш) eJft. (3)

Через обозначается сг-алгебра, порожденная и всеми множест-вами вида А П {ш: т(ш) < і}, где А Є w.t Є R+.

Нетрудно убедиться, что является сг-алгеброй.

Если интерпретируется как совокупность событий, происшедших до момента t включительно, то &-т и естественно интерпретировать как совокупность событий, наблюдаемых на временных интервалах [0, т] и [0, т), соответственно.

\'Напомним, что согласно традиционным вероятностным определениям, действительная случайная величина принимает лишь конечные значения, т. е.

значения в!= (—оо, оо).

4. Вернемся к представлению (1) процесса Я - (Ht)t^o как "процесса с дискретным вмешательством случая" (в моменты ті, т2,... ); см. рис. 14. Будем предполагать, что для каждого из Є П (или Р-почтивсех ш Є Ф)

О причем при каждом А; > 1 моменты т& — Тк(и>) являются моментами оста-новки, а величины hk = hk(uj) - -измеримыми.

Из этих предположений и условий (2) и (3) вытекает, в частности, то, что процесс Я = (Ht)t^o согласован, или адаптирован, с потоком (^t)t^Oi т. е. при каждом t р 0 величины

Ht - .^-измеримы.

Таким образом, в соответствии с принятыми выше (§ 1с) соглашениями, процесс Я может быть записан в виде Я — (Ht,

Действительнозначный процесс Я = (Ht)t^о> определяемый в (1), есть частный случай так называемых мультивариантных точечных процессов со значениями в фазовом пространстве Е (в рассматриваемом случае Е = R), [250] - Сам же термин точечный, или считающий, процесс относят обычно к случэло hn — 1, т. є. к процессу

Nt = Y^I(rk^t), t> 0. (4)

к

Замечание. Иногда термин "точечный" процесс связывают лишь с по-следовательностью моментов г = (т\\, Т2, ¦ ¦ ¦), называя "считающим" процесс N = (Nt)t^0) соответствующий этой последовательности, т.е. процесс, заданный формулой (4). Понятно, что между т и JV существует вза- имно-однозначное соответствие: N определяется по т и г - по N, поскольку

тк = inf{i: Nt = к}.

Отметим, что, как обычно, тк (ш) полагается равным -f-oo, если множество {t: Nt к] = 0. Так, для "одноточечного" точечного процесса с траек-ториями, изображенными на рис. 15, можно считать, что соответствующие моменты Т2 = Тз = • • • = +00.\r\nNt 1 1 1 1 \r\n0 n t\r\n
РИС. 15. "ОДНОТОЧЕЧНЫЙ" ТОЧЕЧНЫЙ ПРОЦЕСС
5. ТОЧЕЧНЫЕ ПРОЦЕССЫ N = (NT)T>O, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ФОРМУЛОЙ (4), ДОПУСКАЮТ ДРУГОЕ, ЭКВИВАЛЕНТНОЕ, ОПИСАНИЕ, ИСПОЛЬЗУЮЩЕЕ ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙ-НОЙ ЗАМЕНЫ ВРЕМЕНИ, [250; ГЛ. II, §ЗЬ].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. БУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО СЕМЕЙСТВО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН <7 = (CT)T^OI ЗАДАННЫХ НА СТОХАСТИЧЕСКОМ БАЗИСЕ 28 = (П, (^П)ПЄМІ Р) И ПРИНИМАЮЩИХ ЗНАЧЕНИЯ В N = {0,1,...

} ИЛИ В N = {0,1,..., ОО}, ОБРАЗУЕТ СЛУЧАЙНУЮ ЗАМЕНУ ВРЕМЕНИ, ЕСЛИ
ПРИ КАЖДОМ T ВЕЛИЧИНЫ AT ЯВЛЯЮТСЯ МОМЕНТАМИ ОСТАНОВКИ (ОТНО-СИТЕЛЬНО (^„)„ЄМ);
СГ0 = 0;
КАЖДАЯ ИЗ ТРАЕКТОРИЙ AT (W), T ^ 0, ЯВЛЯЕТСЯ ВОЗРАСТАЮЩЕЙ, НЕПРЕ-РЫВНОЙ СПРАВА, СО СКАЧКАМИ, РАВНЫМИ ЕДИНИЦЕ.
СВЯЖЕМ С СГ = (CRT)T^O СТОХАСТИЧЕСКИЙ БАЗИС С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ:
И ПОЛОЖИМ
ТК = INF{I:CRT > К}, FCEN-
НЕТРУДНО ПОКАЗАТЬ, ЧТО ОТНОСИТЕЛЬНО ПОТОКА (^T)T^O С ($T = МОМЕНТЫ TK = TFC(W) ЯВЛЯЮТСЯ МОМЕНТАМИ ОСТАНОВКИ. ПРИ ЭТОМ, ЕСЛИ CRT < ОО ДЛЯ ВСЕХ T Є N, ТО
HT = J2 H>°I(TK ^ T) = ? HK. (5)
JFC^L L^K^AT
ЯСНО ТАКЖЕ, ЧТО
CRT = ? 1{ТК < T), FC^I
Т.Е. CRT - ЭТО ЧИСЛО ТЕХ МОМЕНТОВ, В КОТОРЫЕ НА ИНТЕРВАЛЕ [0,І] ПРОИСХОДЯТ ИЗМЕНЕНИЯ. ИНАЧЕ МОЖНО СКАЗАТЬ, ЧТО СЛУЧАЙНАЯ ЗАМЕНА ВРЕМЕНИ СГ = (o-t)t^o, ПОСТРОЕННАЯ ПО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (tj, ...), ЕСТЬ НЕ ЧТО ИНОЕ, КАК СЧИТАЮЩИЙ ПРОЦЕСС N = (NT),
ЛІ = ^ *)> FE^I
СООТВЕТСТВУЮЩИЙ ЭТОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
ВО ВСЕХ ПРИВЕДЕННЫХ ФОРМУЛАХ T ИГРАЕТ РОЛЬ РЕАЛЬНОГО ("ФИЗИЧЕСКОГО") ВРЕМЕНИ. "ВРЕМЯ" ЖЕ O"T ИГРАЕТ РОЛЬ ОПЕРАЦИОННОГО ВРЕМЕНИ, ПОКАЗЫВАЯ ЧИСЛО ИЗМЕНЕНИЙ ЗА "ФИЗИЧЕСКОЕ" ВРЕМЯ T. (К ВОПРОСУ ОБ ОПЕРАЦИОННОМ ВРЕМЕНИ ПРИ ЭМПИРИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ ФИНАНСОВЫХ РЯДОВ МЫ ВЕРНЕМСЯ В § 3D, ГЛ. IV.)
ОТМЕТИМ ТАКЖЕ, ЧТО ЕСЛИ
= М,
ТО 2ЁА — SB, ГДЕ 88 - РАССМОТРЕННЫЙ ВЫШЕ СТОХАСТИЧЕСКИЙ БАЗИС С ДИСКРЕТ-НЫМ ВРЕМЕНЕМ (FT, Р) С &T = 3\\T\\-
6. ИЗ § LB СЛЕДУЕТ, ЧТО ПРИ СТОХАСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Н = (ЯП)П>0 РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА ИГРАЕТ КЛЮЧЕВУЮ РОЛЬ, ПОЗВОЛЯЯ ВЫДЕЛИТЬ В Н "МАРТИНГАЛЬНУЮ" И "ПРЕДСКАЗУЕМУЮ" СОСТАВЛЯЮЩИЕ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПОТОКА (^П)П^О ПОСТУПАЮЩЕЙ ИНФОРМАЦИИ (В ФИНАНСОВОМ КОНТЕКСТЕ - ИНФОРМАЦИИ О СОСТОЯНИЯХ РЫНКА).
АНАЛОГИЧНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ (ДУБА-МЕЙЕРА) ИМЕЕТ МЕСТО КАК ДЛЯ СЧИТАЮЩЕГО ПРОЦЕССА N, ТАК И ДЛЯ МУЛЬТИВАРИАНТНОГО ТОЧЕЧНОГО ПРОЦЕССА Н, ЯВЛЯЯСЬ (КАК И В СЛУЧАЕ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ) ОСНОВНЫМ ИСХОДНЫМ МОМЕНТОМ ИХ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА С ПРИВЛЕЧЕНИЕМ ПОНЯТИЙ "МАРТИНГАЛЬНОСТИ" И "ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ" (СМ. ДАЛЕЕ § 5Ь В ГЛ. III И ПОДРОБНЕЕ [250]).
<< | >>
Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме § If. Модели с дискретным вмешательством случая:

- Авторское право - Аграрное право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -