§ lb. Процессы Леви
Определение 1.
Случайный процесс X = (Xt)t^o, заданный на вероятностном пространстве (Q, З, Р) и принимающий значения в d-мерном евклидовом пространстве называется (d-мерным) процессом Леви, если выполнены следующие условия:Хо = 0 (Р-п.н.);
для любого п р 1 и набора 0 < to < tx < ••• < tn величины Xt0, Xtl — Xt0, • ¦ •, Xtn — Xtn_l являются независимыми (свойство "независимостиприращений");
для любых s р 0 и t р 0
Xt+s — Хя = Xt — Xо
(свойство "стационарности" "однородности" приращений);
для каждого t р 0 и є > 0
lim P(|XS -Xt\\ > є) = 0 (свойство "стохастической непрерывности");
5) траектории (Xt( Замечание 1. Если в данном определении требовать от процесса X — (Xt)t^о только выполнения свойств 1)—4), то можно показать, что существует версия (модификация) X\' = (Xj)t^o процессах = (Xt)t^o (т.е. выполнено свойство P(Xt\' ф Xt) = 0, t ^ 0), обладающая свойством 5). Тем самым, с точки зрения выполнения свойств 1)-4) процесс X\' ничем не отличается от X, но уже имеет некоторое свойство "регулярности" траекторий. Именно поэтому в определение процессов Леви сразу вносится (как видим, без ограничения общности) требование 5) на свойства траекторий. Замечание 2. Исходя из смысла условий 1)—5), можно переформулировать определение процесса Леви так: это стохастически непрерывный процесс со стационарными независимыми приращениями, выходящий из нуля и имеющий траектории, непрерывные справа с левосторонними пределами. Классическим примером такого процесса является d-мерное броуновское движение Х = {X1,X2,...,Xd), состоящее из независимых между собой стандартных броуновских движений Xі = (Xi)t^о> г = 1,..., d. Имеет смысл дать определение (одномерного) броуновского движения непосредственно, без вложения его в общую схему процессов Леви. Определение 2. ЕХ«=0, EXsXt = min (s,t). Из гауссовости и свойств (1) автоматически следует, что такой процесс является процессом со стационарными независимыми (гауссовскими) приращениями. Поскольку Xt - Xa ~ JT{0,t - з), t^s, то E|Xt - Xs|3 = 3|f - s|2, и из критерия Колмогорова ([470; (7) в §2Ь]) следует существование непрерывной версии такого процесса. Отсюда видно, что винеровский процесс, или броуновское движение, будучи процессом Леви, имеет дополнительное важное свойство - непрерывность траекторий. 2. Процессы Леви X = (Xt)t^о являются процессами с однородными независимыми приращениями, и поэтому их распределения полностью определяются одномерными распределениями Pt(dx) = P(Xt Є dx). (Напомним, что Хо =0.) Из самого определения этих процессов вытекает, что распределение Pt(dx) является при каждом t безгранично делимым. Пусть ЧН{0) = Ее**\'** = [ Рt{dx) (2) J&d - характеристическая функция. Тогда, в соответствии с формулой (22) из § 1а (ср. также с (24) из того же § 1а), + [ (е«в,«) _ І _ i(e>x)j(|x| ^ і)) (3) J&d J где Bt Є E.d, Ct - симметричная неотрицательно определенная матрица порядка dxdvti->t {dx) - мера Леви (при каждом t) со свойством (23) из § 1а. В силу однородности и независимости приращений щ+М = <Р№Ч>№, (4) откуда следует, что (Функцию ф = \'ф(в) называют кумулянтой.) Поскольку триплеты (Bt,Ct,vt) однозначно определяются по характеристической функции, то из (5) можно вывести (см., подробнее, например, [250; гл. II, 4.19]), что Bt=t-B, Ct=t-C, vt{dx) = t ¦ v{dx), (6) где В = Bi, С = Ci, v = і/і. Понятно, тем самым, что в (5) гР(в)=і(0,В)-~(в,Св) + [ (еі(в,«) _ і _ г(в) ^Jflj.) ^ і)) v(dx). (7) JRd Представление (5) с кумулянтой ф(в) из (7) является основным средством изучения аналитических свойств процессов Леви. Остановимся на смысловой стороне компонент триплета (Bt,Ct,vt)t^о- Образно говоря, (Bt)t^o - это "трендовая составляющая, ответственная за среднее движение процесса X : (Xt)t>o" Компонента (Ct)t^o определяет дисперсию непрерывной гауссовской составляющей процесса X, а меры Леей (i^t)t^o "ответственны за поведение скачкообразной компоненты процесса X, показывая, как часто появляются скачки и какова их величина" Эта, несколько вольная, интерпретация должна быть, конечно, подкреплена точными утверждениями. Вот одно из них (см. [250; гл. II, 2.21] по поводу общего случая). Пусть процесс X = (Xt)t^o таков, что его "скачки" |AXt| < 1, t ^ 0, Хо = 0и(1?(, С(, его триплет. Тогда ЕХ2 < оо ,? > 0, и следующие процессы являются мартингалами (см. § 1с в гл. II): Mt=Xt-Bt- Хо, t ^ 0; М2 -Ct,t> 0; / / g{x)nt{dx)- / / g{x)vt{dx), t ^ 0, Jo ** |хI^ 1 J0 J|x|^t где nt (A) = 22 Є A, AXS ф 0) - мера "скачков" процесса X на о временном интервале (0, t], g = g(x) - непрерывные функции, равные нулю в окрестности точки х = 0. Как уже отмечено выше, классическим примером непрерывного процесса Леви является стандартное броуновское движение (с Bt = 0, С« = t, Щ = 0). Обратимся теперь к примерам разрывных процессов Леви, что заодно даст лучшее понимание смысла меры Леви v = i>(dx). Случайковечной меры Леви 1>{Ж) < оо. Здес% классическим является, конечно, процесс Пуассона X = (Xt)t^o с параметром А > 0, т. е. (по определению) процесс Леви с Х0 = 0, для которого Xt имеет распределение Пуассона с параметром Xt: P{xt = k) = e~Xt^t)k, к = 0,1, В этом случае Bt = Xt (= EXt), Ct = 0 и мера Леви "сидит" в одной точке: v{dx) = XI ^(dx). Весьма примечательно, что, отправляясь от процесса Пуассона, можно по-лучить широкий класс чисто скачкообразных процессов Леви. Именно, пусть N = (Nt)t^о ~ процесс Пуассона с параметром А > 0 и ? = - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (независимых также от N), распределение которых р(6 є л) = ^, а є ад, где А = I/(R) < 00 и м({0}) = 0. Образуем процесс X = (Xt)t^o с Хо = 0 и = *>°> (9) з=і который может быть записан также в виде оо 3=1 где 0 < Ті < Т2 < • ¦ • - моменты скачков процесса N = (iVt)t^0- Прямой подсчет показывает, что оо чь(6) = Ееівх* = Е(еівХі I Nt=k) P(Nt = к) *=о = f)(Ee»&)* = exp{* J{еівх - 1) „(*)}. (11) Процесс X = (Xt)t^Q, образованный согласно (10), называется составным (compound) процессом Пуассона. Нетрудно видеть, что этот процесс является процессом Леви. "Обычный" процесс Пуассона получается, если положить = 1, j ^ 1. 6. Случай бесконечной меры Леви: i/(R) = оо. Простейший пример процесса Леви с мерой и такой, что f(R) = оо, можно получить следующим образом. Пусть А = (Afc)fc^i - последовательность положительных чисел, Р — (Pk)k^i - последовательность чисел Рк є Е\\{0} таких, что оо fc=l Положим оо u{dx) = Y, Xkl{0k}(dx) (13) к=1 и обозначим N^ = к > 1, последовательность независимых процессов Пуассона с параметрами А^, к ^ 1, соответственно. Если положить xln) = ?pk(Nt(k)-Akt), (14) к=1 то нетрудно видеть, что при каждом п ^ 1 процесс Х^ = (xjn^)t^o является процессом Леви с мерой Леей п vW(dx) = YlX\' и ^\\е) = Eeiextn) = expj* J (еівх - 1 - І0х) i/(")(dr)|. (16) Предельный процесс X = {XT)T>O, Xt = f>(iV понимаемый как L2-предел величин , t ^ 0, при п —> оо, также является процессом Леви с мерой Леви, задаваемой формулой (13). Замечание 3. оо Замечание 4. Поскольку = Y1 ^к, ^({0}) = 0 и к=1 Is. (z2 Л l^dz) < ? Afc$ < оо, k=1 то мера и = i/(dx), определенная в (13), удовлетворяет всем условиям, предъявляемым к мере Леви (см. (22)-(23) из § 1а). оо Если Aj. = оо, но выполнено условие (12), то получаем пример про- к=і цесса Леви, у которого мера Леви и такова, что f(R) = оо. Приведем еше один известный "явный" случай процесса Леви с f(®) = оо. Мы имеем в виду так называемый Г-процесс (Gamma process) X — (Xt)t^о, У которого XQ = 0 И (гамма-) распределение вероятностей P(Xt ^ х) имеет плотность (ср. с табл. 6 в §1а) rt-ie-x/p W PT(X) = т7(0,оо) (*)¦ (18) Отсюда следует, что Vt(0) = (l -і9р)~*. (19) Покажем, что характеристическая функция щ (в) может быть представлена в виде е-®/*9 1 (е1вх-1 )——dx\\, (20) из которого следует, что vt{dx) = t v(dx), где е-"Л3 u(dx) = I(o,oo)(x) dx. (21) Ясно, что здесь г/(0, оо) = оо, но оо (г2 Л 1) v{dx) < оо. (22) / •/О \'о Обратимся к доказательству представления (20). Рассмотрим преобразование Лапласа Lt(u) = Ee~uXt = / e-uXa:) dx = (1 + /?«)~4 Jo = exp{-*ln(l+?«)} = exp(-4 f I I Jo p + У J = expdy J е~І~ух dx^ Аналитическое продолжение в комплексную полуплоскость {z = а -І- г\'Ь, а < 0} приводит к равенству J ezxpt(dx) = expjf jTV* - dx}, из которого, полагая z = ів, получим требуемое представление (20). 7. В связи с "явными" представлениями (10), (14) и (17) некоторых (скачкообразных) процессов Леви мы получаем способ их моделирования, основанный на моделировании литтть случайных величин Рк и экспоненциально распределенных величин А І — ТІ — (промежутков между двумя скачками в моменты ТІ- \\ и ТІ процесса Пуассона). В свою очередь, при моделировании безгранично-делимых случайных величин важное значение приобретает вопрос об их представимости в виде функций от "простых" "стандартных" случайных величин. Вот пример, иллюстрирующий возникающие здесь возможности: пусть X и Y - две независимые случайные величины, причем X ^ 0 (и произвольна), а У имеет экспо-ненциальное распределение. Тогда, как показал Ч. Голди (Ch. Goldie), произведение XY является безгранично делимой случайной величиной. В следующем параграфе мы увидим, как из просто устроенных процессов можно их "композицией" получать устойчивые процессы.