§ 1а. Устойчивые и безгранично делимые распределения

Этим и объясняется, что в данном разделе приводится необходимая для дальнейшего информация как об этих распределениях и процессах, так и о более общих - безгранично делим ых, без которых описание и рассмотрение свойств финансовых индексов было бы весьма неполным.

При изложении основных понятий и свойств "устойчивости" и "безграничной делимости" мы будем в определенной степени следовать хронологической схеме - сначала рассматриваем одномерные устойчивые распре-деления, изученные в 20-х годах П.

Отметим, что широко используемыми пособиями по устойчивым и безгранично делимым распределениям и процессам являются, например, монографии [156], [188], [418], [484].

2. Определение 1. Невырожденная случайная величина X называ-ется устойчивой, или имеющей устойчивое распределение, если для любых двух положительных чисел а и & найдутся положительное число с и число d такие, что

Law(aXi + ЬХ2) = Law(cX + d), (1)

где Xi и Х2 - независимые случайные величины, являющиеся копиями X (Law(X,) = Law(X), і - 1,2). Без ограничения общности все рассматриваемые случайные величины предполагаются заданными на одном и том же вероятностном пространстве (fi, , Р).

Доказывается (см.

са=аа + Ьа. (2)

Часто используется иное, но равносильное данному,

Определение 2. Случайная величина X называется устойчивой, если для всякого п р 2 найдутся положительное число Сп и число Dn такие, что

Law(Xi + Х2 + ¦ ¦ ¦ + Хп) = Law(C„X + Dn), (3)

где Xi, Xi,... ,Хп - независимые копии X. Еслив (3) Dn = 0, п > 2, т.е.

Law(Xi + Х2 + ¦ • • + Хп) = Law(C„X), (4)

то X называется строго (strictly) устойчивой величиной. Весьма замечательно, что в (3) и (4)

Сп=пУ«

для некоторого 0 < а < 2, где, конечно, а - тот же самый параметр, что и в (2).

Чтобы подчеркнуть роль и значение этого параметра а, наряду с термином "устойчивость" часто используется термин "а-устойчивость

Для полноты картины к данным двум определениям целесообразно еще добавить третье, раскрывающее роль устойчивых распределений как тех и только тех, которые могут возникать в качестве предельных (при соот-ветствующей нормировке и центрировании) для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин.

Определение 3. Случайная величина X называется имеющей устойчивое распределение (или, попросту, устойчивой), если это распреде-ление имеет область притяжения в том смысле, что найдутся последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин >1, >2, •. •, последовательности положительных чисел (dn) и действительных чисел (ап) такие, что

УІ 4" ¦ • • 4" Yn d v

4- ап —> Х-, (5)

ап

означает сходимость по распределению:

Law ^ д + + -*¦ Law(X),

где сходимость законов понимается как слабая сходимость соответствующих мер.

Равносильность этого определения первым двум вытекает из следующего результата: случайная величина X может быть пределом по рас- Y\\ 4- • ¦ • 4- Y

пределению величин 1- ап, где (Уп) - последовательность

ап

независимых одинаково распределенных случайных величин, в том и только том случае, когда X является устойчивой (в смысле первого или второго определений).

3. Замечательный результат теории вероятностей (П. Леви, А. Я. Хин- чин) дает следующее представление для характеристической функции

<р(в) = Ееівх

устойчивой случайной величины X:

( exp{i/i0-ao|0|°(l-i/3(Sgn0)tg^)}, если а ф 1,

^Н / 2 ч, <6)

{ ехр|г>0 - ст|0| (1 4- iP-(Sgn в) In |d| J |, если а = 1,

где 0 < а ^ 2,Щ < 1, а > 0, у, Є R.

Смысл участвующих здесь четырех параметров (а, /3, a, fi) следующий: а - индекс устойчивости, или характеристический параметр

(тот же самый, естественно, что в (2) и (4)); /? - параметр скошенности (skewness) плотности распределения; а - параметр масштаба (scale); Н - параметр положения (location).

Параметр а "ответственен" за характер убывания хвостов распределений.

Если 0 < а < 2, то

lim хаР(Х >х) = Са 1±4Л (7)

х—+оо 2

lim хаР(Х < -х) = , (8)

X—УОО 2

где ^ _

-ajcce^\' (9)

7e = (jfV"ein .^"\'Л Г<2~")«

а= 1.

7г \'

В случае а = 2 из представления (6) получаем, что

<р(в) = е^в-^в» = (2^ (10)

т.е. ір(в) - характеристическая функция нормального распределения, 2сг2), или нормально распределенной случайной величины X с

ЕХ =ц, DX = 2сг2.

Хотя в формуле (6) значение параметра /3 не определяется однозначно (поскольку при а = 2 этот параметр входит в выражение /? tg 7Г, которое равно нулю), обычно берется /3 = 0.

Понятно, что с точки зрения поведения хвостов распределений случаи а < 2 и а = 2 сильно отличаются друг от друга, поскольку, скажем, для ц = 0и2о2 = 1

/2" є"*2/2

P(|X|>z)~J , х^оо, (11)

v 7г x

и сопоставление с (7) и (8) показывает, что при а <2 хвосты более тяжелые по отношению к быстрому их убыванию в нормальном случае. (Уместно здесь подчеркнуть, что у многих финансовых индексов S - (Sn) п^О ве-

Sn

личины "возврата" hn = In — имеют, как показывают статистические

Sn-1

исследования, распределения с "тяжелыми хвостами\'! Это делает естес-твенным рассмотрение класса устойчивых распределений в качестве кандидата для построения вероятностно-статистических моделей последовательностей h = (hn)-)

Важно отметить, что, как это видно из (7) и (8), математическое ожидание Е|Х| < оо, если и только если а > 1.

В связи с показательной асимптотикой в (7) и (8) уместно сейчас вспомнить о распределении Парето, для которого плотность распределения вероятностей

(12)

с параметрами а > О, Ь > 0 и, значит, соответствующая функция распределения Fatb(x) такова, что

(13)

Сравнение с (7) и (8) показывает, что на бесконечности устойчивые распределения ведут себя так же, как и распределения Парето. В этом смысле "хвостовая" часть устойчивых распределений относится к паретовскому типу.

Параметр скощенности (асимметрии) /З Є [—1,1] в (6) характеризует степень несимметричности распределения. Если /3 = 0, то распределение симметрично. Когда /3 > 0, распределение скошено сильнее слева, и эта скошенность тем больше, чем значение /? ближе к единице. Случай (3 < О соответствует скошенности справа.

Параметр а играет роль масштабного параметра. В случае нормального распределения (а = 2) DX — 2сг2. Подчеркнем, что дисперсия здесь равна 2сг2, а не сг2, в отличие от стандартных обозначений. Если же а < 2, то дисперсия DX не существует.

Параметр /л назвал параметром положения. Объясняется это тем, что в случае а > 1 математическое ожидание Е|Х| < оо и /л = ЕХ. В общем же случае такая интерпретация отсутствует, поскольку ЕХ просто может быть не определено.

4. Следуя установившейся традиции, устойчивое распределение с пара-метрами а, 13, аир будем обозначать

Sa{ а,

и писать X ~ Sa (сг, /0, /л), подразумевая под этим, что X имеет устойчивое распределение с параметрами а, (3, а и /л.

Отметим, что распределение Sa(o, /3, р) является симметричным в том и только том случае, когда /3 = р = 0. (Из вида характеристической функции нетрудно заключить, что в этом случае константа D„ в (3) равна нулю.) Это распределение симметрично около (произвольного) р. тогда и только тогда, когда /3 = 0.

В симметричном случае (/3 = р = 0) часто используют обозначение

X ~ SaS.

В этом случае характеристическая функция

<р(в) = е—а№. (14)

5.

нормальное, S2(cr,0,p) = Jf(p,2o2), с плотностью

1 (х-м)2

^ <15>

Когии (Cauchy), S\\ (а, 0, р), с плотностью

7Г((Х — р)2 + О2) 5 (16)

одностороннее устойчивое распределение с индексом а — 1/2,

Si /2 (с, 1, р) (называемое также распределением Леви, распределением

Смирнова), на (р, оо) с плотностью

(?)7 (17)

Отметим два интересных и полезных частных случая в (16) и (17):

если X ~ S\\ (а, 0,0), то для х > 0

P(XІ 7г О

если X ~ 5і/2(с, 1,0), то для х > 0

Р(Х<х) = 2(і-ф(^У (19)

По поводу представлений плотностей устойчивых распределений в виде рядов см. [156], [225], [418], [484].

Предположим сейчас, что JYi, Х2, ¦ ¦ ¦, Хп - независимые случайные величины такие, что

ХІ ~ Sa(Хотя эти величины, вообще говоря, разнораспределены, но то, что они имеют один и тот же индекс устойчивости а, показывает (см. вид характеристической функции (6)), что их сумма X = Х\\ + • • • + Хп имеет распределение того же самого типа, Sa (сг, /9, р), с параметрами

д= /ЗкТ? + --- + )Зп(7°

а?+ — + 05 \' М = Mi н

Перейдем теперь к более общему классу так называемых "безгранично делимых" распределений, который включает в себяи "устойчивые" распределения.

Определение 4. Случайная величина X называется безгранично делимой, а ее распределение вероятностей - безгранично делимым, если для любого п ^ 1 можно найти такие независимые одинаково распреде-ленные случайные величины Хпі,..., Хпп, что X = Хп1 -| 1- Хпп.

Содержательный смысл класса безгранично делимых распределений состоит в том, что они и только оми могут выступать в качестве предельных

для распределений сумм ( Y1 ^nfc ) в схеме серий

4=1 \' Х21, Х22

(20)

Хп1,Хп2, ¦ ¦ ¦ ; Хпп

состоящих (при каждом п) из последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин Хп\\, Хп2,..., Хпп.

Более же узкий класс - класс устойчивых распределений - возникает, когда в (20) все величины Хпк порождаются специальным образом посредством одной и той otce последовательности независимых случайных величин Yi, Y2,... (см. конец п. 2):

Хпк = ^- + —, Ю<п, п>1. (21)

On П

(Отметим, что к классу безгранично делимых относятся гиперболическое и гауссовское\\\\обратно-гауссовское распределения, рассматриваемые далее в § Id.)

Определение 4 относилось к скалярному случаю (X Є К). Оно непосредственно переносится и на векторный случай (X Є ®d) без каких-либо принципиальных изменений.

Пусть Р = P(dx) - распределение вероятностей безгранично делимого случайного вектора X Є Rd и

ір(в) = Ее«в>х\'> = [ е^-^Р(dx)

J&d

- его характеристическая функция; (в, х) - скалярное произведение векторов в = (01,. . .,04) tlx = (xi,.. .,Xd).

В результате усилий Б. де Финетти, затем А. Н. Колмогорова (в случае Е|Х(2 < оо) и, наконец, П. Леви и А.Я. Хинчинав тридцатых годах была установлена следующая "формула Леви-Хинчина" для характеристической функции вектора X Є :

V(6) = e*p {і{в,В)-\\[в,Св)

+ f (еі(в,«) _ і-і(в,х)І(]х\\ < 1)) v(dx)\\, (22)

J Ed J

где В Є С = C(d x d) - симметричная неотрицательно определенная матрица и и = v{dx) - положительная мера (называемая мерой Леей) на , удовлетворяющая условиям: f({0}) = 0 и

[ (]х\\2 А 1) v{dx) < 00. (23)

(Заметим, что возможны как случай < 00, так и случай - 00.)

Важно подчеркнуть, что ір(в) определяется тремя характеристиками В, С и v и что триплет (В, С, v), входящий в (22), определяется единственным образом.

Примеры.

Если Х-вырожденная случайная величина, Р(Х = а) = l,xoJB = а, С = 0, v = 0 и

<р(в) = еіва.

Если X - случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром А, то u(dx) = A/^j (dx) - мера, "сидящая" в точке х = 1, В = Аи

<р(в) = e^\'-V.

Если X ~ J/(m, сг2), то В = тп, С = сг2, и = 0 и

Если X - случайная величина, имеющая распределение Коши с плот-ностью (16), то

Если X - случайная величина с плотностью (17) (одностороннее устойчивое распределение с индексом а = 1/2), то

8. Представление характеристической функции <р(в) в виде (22) (с использованием "традиционно-канонической" функции "урезания" h(x) = а;7(|а;| 1)) не является единственным. Например, можно было бы вместо 7(|х| < 1) использовать представление с 7(|х| < а), где а > 0. Но, разумеется, тогда должен измениться и соответствующий триплет характеристик. Весьма примечательно, что характеристики С и v при этом не меняются, являясь "внутренними" характеристиками, не зависящими от выбора функции урезания. Меняется же лишь только первая характеристика В.

Для точных формулировок введем следующее

Определение 5. Ограниченная функция h — h(x), х Є с компактным носителем и такая, что h(x) — х в окрестности нуля, будет называться функцией урезания.

Наряду с (22) для характеристической функции ір(в) имеют место (для всякой функции урезания h = h(x)) следующие представления:

Ч>(Є)=<щ>![г(в,В(к))-±(Є,СЄ)

+ [ (е^ - 1 - г(в, h(x))) (24)

J Ed J

где С и v не зависят от выбора h и те же, что и в (22), &B{h) для разных h пересчитываются следующим образом:

B(h)-B(h\') = [ (h(x)-h\'(x))v(dx). (25)

Обратим внимание на то, что существование интегралов в правых частях (22) и (24) гарантируется условием (23), поскольку функция

е*(в,«) _ і _ i{e,h{x))

ограничена, а при |а:| —> 0 имеет порядок 0(|а;|2). Если условие (23) усилить, заменив его условием

[ (|а:| Л 1) v{dx) < оо, (26)

то тогда в представлении (24) можно положить h(x) = 0:

чЩ =«р|і(в,В(0)) - \\{9,Св) + j^y((>\'x) - (27)

Константа В(0) в этом представлении носит название "сносовой компоненты" (drift) случайной величины X.

Если, с другой стороны, условие (23) усилить, заменив условием

[ (|а:|2 Л |а:|) v(dx) < оо, (28)

J Ed

то представление (24) будет справедливым с h{x) — х:

4>{в) = ехр|г(0,5) - \\{6,С6) + fud{ei(9\'x) ~ 1 - W,*)) "(<**)}¦ (29)

В этом случае параметр В, называемый центром, на самом деле есть не что иное, как среднее значение В = EX.

Заметим, что условие Е|Х| < оо эквивалентно условию

v(dx) < оо.

Как уже отмечалось выше, для устойчивых законов явная форма их распределений известна лишь в трех случаях. Этими распределениями яв-ляются (см. п. 5):

нормальное распределение (а = 2), распределение Коши (а = 1), распределение Леви-Смирнова (а = 1/2).

Класс безгранично делимых распределений значительно шире, и к нему относятся (помимо названных) следующие распределения, хотя установить это бывает и не просто:

пуассоновское,

Г -распределение,

геометрическое,

отрицательно-биномиальное,

t-распределение (распределение Стмодента),

F-распределение (распределение Фишера),

логарифмически нормальное,

логистическое,

распределение Парето,

двустороннее экспоненциальное (распределение Лапласа), гиперболическое,

гауссовское\\\\обратно-гауссовское...

Но многие известные распределения не являются безгранично делимыми: биномиальное, равномерное, всякое невырожденное распреде-ление с конечным носителем, распределения с плотностью f(x) вида f(x) = Се~\\х\\а, где а >2.

Одни из упомянутых распределений являются дискретными, другие - имеют плотности распределений. Для полноты картины и удобства ссы-лок в табл. 5 и 6 приведен их явный вид.

Понятие "устойчивых" случайных величин естественным образом распространяется и на векторный случай (ср. с определениями 1-й 2).

Определеннее. Случайный вектор

X = (Хі,Х2,- ¦ -,Xd)

Таблица 5 (дискретные распределения)\r\nРаспределение Вероятности Р). Параметры\r\nПуассоновское r~X\\k

ПьГ-.* = 0,1,... Л > 0\r\nГеометрическое И*-1, Л = 1,2,... 0<р<1, 9 = 1 -P\r\nОтрицательно- биномиальное /-ІГ—1 _г _fc —г

Ck-lP 9 .

k = r,r+ 1,... 0<р<1, q = l-p, г = 1,2,...\r\nБиномиальное s~ik k n—k

OnP q ,

fc = 0,1,..., ra 0

называется устойчивым случайным вектором в или вектором с устойчивым d-мерным распределением, если для каждых двух положительных чисел А и В найдутся положительное число С и вектор D Є такие, что

Law(AX(1) + ВХ<Я) = Law(CX + D), (30)

где и - независимые копии Л.

Можно показать (см., например, [418; с. 58]), что невырожденный случайный вектор X = (Xi,X2, ¦ ¦ ¦ ,Xd) является устойчивым в том и только том случае, когда для каждого п р 2 существуют число а Є (0,2] и вектор D„ такие, что

Law^1) + Х(2) + • • - + Х<а>) = Law (п1/аХ + ?>„), (31)

где Х^, Х(2\\..., Х^ - независимые копии вектора X. В том случае, когда Dn = 0, т. е.

Law(X<1) + Х<2> + • • • + Х<п)) = Law(nx\'eX), (32)

говорят, что вектор X является "строго устойчивым случайным вектором с индексом а" или "строго а-устойчивым случайным вектором"

ТАБЛИЦА 6 (распределения с плотностью)\r\nРаспределение Плотность р — р(х) Параметры\r\nРавномерное на [а, Ь] —!—, а^х^Ъ Ь —а а, Ъ Є R, а < Ь\r\nНормальное, или гауссовское 1

.— е , х е R V2iro ц Є R, о > 0\r\nГамма

(Г-распределение) ^ „ а > 0, /3 > 0\r\nЭкспоненциальное (Г-распределение с а = 1, /3 = 1/А) Ае_Лх, х > 0 А > 0\r\nt-распределение (Стъюдента) Л/7ггаГ(^-) \\ п / я = 1,2,...\r\nБета (/3 -распределение) в) г > 0, s > 0\r\nДвустороннее экспоненциальное (распределение Лапласа) Je-^l, 1€1 А > 0\r\nХи-квадратп (X2 -распределение, или Г-распределение с а = п/2, 0 = 2) 1

77Г -12 е 2 х^О

2«/2Г(?) п = 1,2,...\r\nКоши /І Є R, сг > 0\r\nПарето aba ^ , а > 0, Ь > 0\r\nЛогарифмически нормальное 1 (lorx-m)* г=є 2(Г2 , x > 0

сгху2іг /І Є К, о > 0\r\nЛогистическое ^-(a+ZSx) (1 + е-(а+і9х))2\'ХЄК а Є R, /3 > 0\r\nГиперболическое см. (2) в § Id а,/3,ц,д см. (5) в § Id\r\nГауссовское\\\\ обратно-гауссовское см. (14) в § Id аф,ц,8 см. (5) в § Id\r\n

Замечание. Наряду с записью Law(X) = Law (У), означающей совпадение распределений X и У, часто используется запись X = У, где = означает совпадение случайных элементов X и У по распределению. Запись X" X или Law(Xn) —Law(X) означает, как уже отмечгілось в п. 2, сходимость по распределению, т. е. слабую сходимость соответствующих распределений. (Подробнее см. [439; гл. III].) Если X = (Xt)t^о и У = (Yt)t^o - два случайных процесса, то запись

{Х4,*>0} = {У4,*>()},

или

Law(Xt,f > 0) = Law(yt,f > 0),

будет означать совпадение всех конечномерных распределений процессов X и У, или, как говорят, совпадение процессов X и Y по распределению.