§ 4Ь. Проблематика различимости "хаотических" и "стохастических" последовательностей

Подход, изложенный ниже, основал на работах [448] и [305], в которых центральную роль при различении "хаотичности" и "стохастичности" играет функция

где^>(і\\Г,є) -число тех пар (i,j), i,j ^ N, для которых в рассматриваемой последовательности (хп)

IXi — Xj [ < є.

Помимо функций С (є) привлекаются к рассмотрению также и функции

N-*oo J\\z

где ipm(N, є) - число тех пар (i,j), для которых все компоненты векторов (хі,хі+і,... ,xi+m_i) и (xj,Xj+1,. ..,xJ+m_i) с i,j ^ N отличаются не более чем на е. (В случае т = 1 имеем ф\\ (N, є) = ip(N,є) •)

Для стохастических последовательностей (х„) типа "белого шума" при малых є функция

Cm(?)~?v(2)

где "фрактальный" показатель vm = т. Свойством типа (2) обладают также и многие детерминистические системы (например, логистическая система (3) из предыдущего параграфа, [305]). Показатель vm носит также название корреляционной размерности и тесно связан с хаусдорфовой и информационной колмогоровской размерностями.

Идея различения "хаотических" и "стохастических" последовательнос-тей в работах [448] и [305] основана на том наблюдении, что корреляционная размерность у таких последовательностей различна. Как будет видно из дальнейшего, у "стохастических" последовательностей она больше, чем у "хаотических"

Согласно [305] и [448], в качестве оценок корреляционной размерности vm естественно взять величины

_ lngm(?j) - InCm(ei+i) Vm\'J ІП?у - In ?j + l

или

1 fc j=l

где ?j = (pi, 0 < (p < 1.

Таблица За (данные из [305]) дает для логистической последователь-ности (xn)n^.N CN = 5 900значенияvmj дляm = 1,2,3,4,5,10иє7 - ір3 с ip = 0.9 для ряда значений j.

ТАБЛИЦА За.

Сравним результаты этой таблицы с теми оценками для vmj, которые получаются при моделировании гауссовского белого шума с теми же параметрами, что и для логистического отображения (3) из § 4а (таблица ЗЬ - по данным из [305]):

Таблица ЗЬ. Значения vmj для гауссовского белого шума\r\n771

] \\ 1 2 3 4 5 10\r\n20 0.84 1.68 2.52 3.35 4.20 8.43\r\n30 0.98 1.97 2.95 3.98 4.98 -\r\n35 0.99 1.97 2.93 4.00 5.53 -\r\n40 1.00 2.02 3.03 4.15 5.38 -\r\n

Из сопоставления этих таблиц видно, что в случае т = 1 весьма трудно по значениям корреляционной размерности v\\j отличить "хаотичность" и "стохастичность" Привлечение же больших значений т показывает су-щественное различие в величинах vmj для "хаотического" и "стохастического" случаев, что может служить достаточно весомым основанием для утверждения о разной природе образования соответствующих последовательностей (хп), хотя с точки зрения их эмпирических средних, дисперсий и корреляций разницы практически нет.

Для иллюстрации проблематики различимости "стохастичности" и "хаотичности" в финансовых рядах приведем таблицы значений корреля-ционных размерностей для дневных величин hn = In " , n ^ 1, для

*->n-l

индексов IBM и S&P500 (таблицы 4а, Ь; по 5903 наблюдениям в период времени 2.07.1962-31.12.1985 гг., данные из [305]).

Из сопоставления этих двух таблиц видна, во-первых, однородность "фрактальной" структуры "корреляционной размерности" индексов IBM и S&P500. Во-вторых, сравнение данных таблиц 4а, b с таблицами За, b по-казывает, что для этих индексов последовательности (hn) с hn = In " ,

*->n-l

n > 1, ведут себя скорее как стохастический белый шум, хотя, разумеется, это не отвергает гипотезу о том, что близкими свойствами могут обладать и какие-то другие "хаотические" последовательности с большой "корреляционной размерностью" (Подробнее о рассматриваемой проблематике различимости вместе с экономическими комментариями см. [305].)

Остановимся вкратце на еще одном подходе для выявления различий между "хаотичностью" и "стохастичностью" предложенном в [17].

Таблица 4а.

Таблица 4Ь. Значения vmj для S&P500\r\n] \\ 1 2 3 4 5 10\r\n20 0.58 1.10 1.58 2.03 2.43 3.93\r\n30 0.93 1.82 2.07 3.49 4.25 6.93\r\n35 0.98 1.94 2.88 3.79 4.75 11.00\r\n40 0.99 1.98 2.92 3.84 4.81 -\r\n

Пусть х = (хп) - "хаотическая" последовательность, порожденная некоторой динамической системой с распределением вероятностей F = F(x) для хо, являющимся инвариантным для данной системы.

Пусть теперь х = (хп) - "стохастическая" последовательность, состоящая из независимых одинаково распределенных величин с (одномерным) распределением F = F(x).

Образуем величины

М„ = max(x0,a;i,... ,хп) и Мп = max.(x0,xi,... ,хп)

и пусть Fn(x) = Р(Мп < х), Fn(x) = Р(Мп ^ х).

Идея подхода, принятого в [17], основала на том наблюдении, что максимум служит хорошей характеристикой, позволяющей улавливать отличия "стохастических" последовательностей от "хаотических"

С целью оправдания данного подхода авторы [17] поступают следующим образом.

В теории предельных теорем для экстремальных значений хорошо известны необходимые и достаточные условия, при которых величины ап(Мп — bn), п Р 1, имеют (нетривиальное) предельное распределение

ИтР(ап(Мп-Ьп) =G(x)

для некоторых констант ап > 0 и Ьп, п ^ 1.

Отсылая за подробностями к [124], [156], [187] и [206], приведем некоторые примеры.

Если F(x) =-4- - х~~р, х > 1, р > 0, то

Если F(x) = 1 - (~х)р, -1 < х ^ 0, р > 0, то для х < 0

Р(пх!рМп < х) —> ехр(-|х|").

Если F(x) = 1 - е-х, х > 0, то для ієК

P(Mn - Inn < х) —>¦ ехр(-е_ж).

Если F(x) = Ф(х) - стандартное нормальное распределение, то

Р^Іпп^Мп-Ьп) ^х) —> (-е~х), хєК,

где Ьп выбраны так, что Р(хо > Ьл) = (В этом случае bn ~ (2 Inn)1/2.)

Для преобразования Бернулли (пример 2, § 4а) инвариантное распределение F(x) = х, х Є (0,1), и при ап = п, 6„ = 1 — п-1 предельное распределение есть

G(x) = ехр(аг — 1), х ^ 1.

Для примера 4 из §4aF(x) = 1 -р2(х), тдер(х) - (1 —х)/2, х Є (—1,1), и при а„ = у/п, Ьп = 1 — 2/ v^" нагадим, что

ад=ехр(-(|-і)2).

2

Для примера 1 из § 4а инвариантное распределение F(x) = — arcsin л/х,

ж

и при соответствующей ренормализации можно найти, что G(x) =ехр(-(1-2х)1/2).

Имея распределение Fn(x) = (F(x))n и предельное распределение G(x), естественно было бы сравнить их с соответствующими распределениями

F„(x) и, если это возможно, с их пределами, скажем, G(x).

Для динамических систем, рассмотренных в §4а, этот анализ показывает, что, глобальным образом, поведение Fn(x) (для "хаотических" систем с инвариантным распределением F(x)) качественно отличается от поведения Fn(x) (для "стохастических" систем, образованных независимыми одинаково распределенными величинами с одномерным рас-пределением F(x)). Это говорит о том, что для рассматриваемых моделей максимум является хорошей статистикой в рассматриваемой проблеме различимости "хаотичности" и "стохастичности". Но, разумеется, это не исключает того, что может найтись "хаотическая" система вида Х„+1 = f(x Пу — 1 ) • • • ? З\'П — к; А) с достаточно большим к, которую будет трудно отличить от "стохастического белого шума" пусть и по большому, но конечному числу наблюдений.