§ 4А. НЕЛИНЕЙНЫЕ ХАОТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

1. ДО СИХ ПОР ПРИ ОПИСАНИИ ЭВОЛЮЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ H — (HN), S
ГДЕ HN - IN " И SN - ЗНАЧЕНИЕ "ЦЕНЫ" В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ П, МЫ
ИСХОДИЛИ ИЗ ТОЙ ГИПОТЕЗЫ, ЧТО ЭТИ ВЕЛИЧИНЫ ИМЕЮТ СТОХАСТИЧЕСКУЮ ПРИРОДУ, Т.

Е. 5N = SN(W), HN — HN (W) ЯВЛЯЮТСЯ СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ, ЗАДАННЫМИ НА НЕКОТОРОМ ФИЛЬТРОВАННОМ ВЕРОЯТНОСТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (FL, (ЗП)П^.І, Р), МОДЕЛИРУЮЩИМИ СТАТИСТИЧЕСКУЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ СОСТОЯНИЙ "ПРИРОДЫ"
С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ДОСТАТОЧНО ХОРОШО ИЗВЕСТНО, ЧТО ДАЖЕ СОВСЕМ ПРОС-ТЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТИПА
ZN+I = F{XN;X) (1)
ИЛИ
ZN+1 = /(A;N,A;„_I,...,A;N_FC;A), (2)
ГДЕ А - НЕКОТОРЫЙ ПАРАМЕТР, МОГУТ ПОРОЖДАТЬ (ПРИ СООТВЕТСТВУЮЩИХ НА-ЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (ХО, Х\\,Х2, ¦ ¦ ¦), ПОВЕДЕНИЕ КОТОРЫХ ВЕСЬМА СХОЖЕ С ПОВЕДЕНИЕМ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.
ЭТО ОБСТОЯТЕЛЬСТВО ПРАВОМЕРНЫМ ОБРАЗОМ СТАВИТ ВОПРОС О ТОМ, А НЕ ЯВ-ЛЯЮТСЯ ЛИ МНОГИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ, В ТОМ ЧИСЛЕ И ФИНАНСОВЫЕ, РЯДЫ В ДЕЙСТ-ВИТЕЛЬНОСТИ НЕ СТОХАСТИЧЕСКИМИ, А ХАОТИЧЕСКИМИ, Т. Е. ОПИСЫВАЕМЫМИ ДЕ-ТЕРМИНИСТИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ, КОТОРЫЕ, КАК ИЗВЕСТНО, МО-ГУТ ПРИВОДИТЬ К ЭФФЕКТАМ (ТИПА "КЛАСТЕРНОСТИ" СКАЖЕМ), НАБЛЮДАЕМЫМ ПРИ СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ФИНАНСОВЫХ ДАННЫХ (СМ. ГЛ. IV).
ОТСЫЛАЯ ЗА ФОРМАЛЬНЫМИ ОПРЕДЕЛЕНИЯМИ К СПЕЦИАЛЬНОЙ И ВЕСЬМА ОБ-ШИРНОЙ ЛИТЕРАТУРЕ (СМ., НАПРИМЕР, [59], [71], [104], [198], [378], [379], [383], [385], [386], [428], [456]), ПРИВЕДЕМ НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАОТИ-ЧЕСКИХ СИСТЕМ, ЧТОБЫ ДАТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ИХ ПОВЕДЕНИИ, А ТАКЖЕ О ВОЗ-НИКАЮЩЕМ ЕСТЕСТВЕННЫМ ОБРАЗОМ ВОПРОСЕ О ТОМ, КАК ОПРЕДЕЛИТЬ, ПОРОЖДА-ЕТСЯ ДАННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ИЛИ ХАОТИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ.
С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПРОГНОЗА БУДУЩЕГО ДВИЖЕНИЯ ЦЕН ЗНАЧИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРЕС ПРЕДСТАВЛЯЕТ ВОПРОС И О ТОМ, НАСКОЛЬКО ПРОГНОЗИРУЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫЕ ХАОТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. МЫ УВИДИМ ДАЛЕЕ, ЧТО СИТУАЦИЯ ЗДЕСЬ НЕ ОЧЕНЬ-ТО ОПТИ-МИСТИЧНА, И ПРИЧИНА КРОЕТСЯ В ТОМ, ЧТО, НЕСМОТРЯ НА Д ЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР, ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ МОЖЕТ СИЛЬНО ИЗМЕ-НЯТЬСЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРА Л.
2.

ПРИМЕР 1. РАССМОТРИМ ТАК НАЗЫВАЕМОЕ ЛОГИСТИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕ-НИЕ
Х ТХ = AX(L — Х)
И ПОРОЖДАЕМУЮ ИМ (ОДНОМЕРНУЮ) НЕЛИНЕЙНУЮ ДИНАМИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ
(3)
хп = AXN_I(L — A;N_I), п pi, 0 < xq < 1.
(ПО-ВИДИМОМУ, ВПЕРВЫЕ ЛОГИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (3) ПОЯВИЛИСЬ В МОДЕЛЯХ ПОПУЛЯПИОННОЙ ДИНАМИКИ, УЧИТЫВАЮЩИХ ОГРАНИЧЕНИЯ НА РОСТ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИЙ.)
0.3

0.2
0.1
0.0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 РИС. 23A. СЛУЧАЙ A = 1
0.3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 РИС. 23Ь. СЛУЧАЙ А = 2

РИС. 23С. СЛУЧАЙ А = 3
ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ А < 1 РЕШЕНИЯ ХП - ХП(\\) 4- 0 ПРИ П —ОО ПРИ ВСЕХ О < ГО < 1 (РИС. 23А). ТАКИМ ОБРАЗОМ, СОСТОЯНИЕ ХОО — 0 МОЖНО В ЭТОМ СЛУЧАЕ РАССМАТРИВАТЬ КАК ТО ЕДИНСТВЕННОЕ УСТОЙЧИВОЕ СОСТОЯНИЕ, К КОТОРОМУ СХОДЯТСЯ ЗНАЧЕНИЯ ХП ПРИ П —ОО.

0.4
ПРИ А = 2 ЗНАЧЕНИЯ ХП "[¦ ^ (РИС. 23Ь). СЛЕДОВАТЕЛЬНО, В ЭТОМ СЛУЧАЕ ТАКЖЕ СУЩЕСТВУЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ УСТОЙЧИВОЕ СОСТОЯНИЕ (Х^ = К КО-ТОРОМУ "ПРИТЯГИВАЮТСЯ" ЗНАЧЕНИЯ ХП ПРИ П —^ ОО.

РИС. 23D. СЛУЧАЙ А = 3.5

РИС. 23Е. СЛУЧАЙ А = 4
БУДЕМ ТЕПЕРЬ УВЕЛИЧИВАТЬ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА А. ПРИ А < 3 У СИСТЕ-МЫ (3) ВСЕ ЕШЕ БУДЕТ ТОЛЬКО ОДНО УСТОЙЧИВОЕ СОСТОЯНИЕ. ОДНАКО, ПРИ А = 3 ВОЗНИКАЕТ КАЧЕСТВЕННО НОВЫЙ ЭФФЕКТ - ПО МЕРЕ УВЕЛИЧЕНИЯ П ПОЯВЛЯЮТСЯ ДВА СОСТОЯНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ХОО (РИС. 23С), В КОТОРЫХ ПОПЕРЕМЕННО НАХО-ДИТСЯ СИСТЕМА.
ТАКОЙ ЖЕ ХАРАКТЕР ПОВЕЛЕНИЯ У СИСТЕМЫ БУДЕТ СОХРАНЯТЬСЯ И ПРИ УВЕЛИ-ЧЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРА А. НО ЗАТЕМ, ВДРУГ, ПРИ А - 3.4494... С СИСТЕ-МОЙ НАЧИНАЕТ ПРОИСХОДИТЬ НЕЧТО НОВОЕ - У НЕЕ ПОЯВЛЯЮТСЯ ЧЕТЫРЕ СОСТО-ЯНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ, ПО КОТОРЫМ ПРОИСХОДИТ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ (РИС. 21D).
ПРИ УВЕЛИЧЕНИИ А У СИСТЕМЫ НАЧИНАЮТ ПОЯВЛЯТЬСЯ ВСЕ НОВЫЕ И НОВЫЕ СОСТОЯНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ: ПРИ А = 3.5644... ЭТИХ СОСТОЯНИЙ 16, ПРИ А = 3.5696... ИХ УЖЕ 64. А ПРИ А = 3.6 ЧИСЛО ТАКИХ СОСТОЯНИЙ СТАНОВИТСЯ РАВ-НЫМ БЕСКОНЕЧНОСТИ, ЧТО ИНТЕРПРЕТИРУЮТ КАК ПОТЕРЮ СИСТЕМОЙ УСТОЙ-ЧИВОСТИ И ПЕРЕХОД СИСТЕМЫ В СОСТОЯНИЕ ХАОСА.
ПРИ ЭТОМ ПОЛНОСТЬЮ ИСЧЕЗАЕТ ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР СМЕНЫ СОСТОЯНИЙ И СИСТЕМА НАЧИНАЕТ СОВЕРШАТЬ БЛУЖДАНИЕ ПО БЕСКОНЕЧНОМУ ЧИСЛУ СО-СТОЯНИЙ, ПРЫГАЯ ИЗ ОДНОГО ИЗ НИХ В ДРУГОЕ.

ВАЖНО ЗДЕСЬ ОТМЕТИТЬ, ЧТО ХОТЯ СИСТЕМА И ЯВЛЯЕТСЯ ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКОЙ, ПРАКТИЧЕСКИ НЕВОЗМОЖНО ПРЕД-СКАЗАТЬ, ГДЕ ОКАЖЕТСЯ СИСТЕМА ЧЕРЕЗ НЕКОТОРОЕ ВРЕМЯ, ПОСКОЛЬКУ ОГРАНИ-ЧЕННАЯ ТОЧНОСТЬ В ОПРЕДЕЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ХП И А МОЖЕТ СИЛЬНО ПО-ВЛИЯТЬ НА ЗНАЧЕНИЯ ПРОГНОЗИРУЕМЫХ ВЕЛИЧИН.

РИС. 24. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА УДВОЕНИЯ СОСТОЯНИЙ ХОО В ЛОГИСТИ-ЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ ПРИ УВЕЛИЧЕНИИ ПАРАМЕТРА A "F 4
УЖЕ ИЗ ПРИВЕДЕННОГО КРАТКОГО ОПИСАНИЯ СТАНОВИТСЯ ПОНЯТНЫМ, ЧТО ЗНАЧЕНИЯ (А К) ПАРАМЕТРА А, ГДЕ ПРОИСХОДИТ "РАЗВЕТВЛЕНИЕ" ИЛИ "БИФУРКАЦИЯ" СИСТЕМЫ, СТАНОВЯТСЯ ВСЕ "БЛИЖЕ И БЛИЖЕ" (РИС. 24).
М. ФЕЙГЕНБАУМ (М. FEIGENBAUM) ВЫСКАЗАЛ ГИПОТЕЗУ И О. ЛАНФОРД (О. LANFORD) ДОКАЗАЛ, [294], ЧТО (ДЛЯ ВСЕХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ)
AFC — AFC_I
> F, К ОО,
-AJFC+L —
ГДЕ F = 4.669201... - УНИВЕРСАЛЬНАЯ КОНСТАНТА, НАЗЫВАЕМАЯ ЧИСЛОМ ФЕЙ- ГЕНБАУМА.
ПАРАМЕТР А = 4 ИГРАЕТ ДЛЯ СИСТЕМЫ (3) ОСОБУЮ РОЛЬ - ИМЕННО ПРИ ЭТОМ ЗНАЧЕНИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НАБЛЮДЕНИЙ СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ (ХАОТИЧЕСКОЙ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (ХП) НАПОМИНАЕТ РЕАЛИЗАЦИЮ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТИПА БЕЛОГО ШУМА.
В САМОМ ДЕЛЕ, ВОЗЬМЕМ xq =± 0.1 И ПОДСЧИТАЕМ РЕКУРРЕНТНЫМ ОБРАЗОМ XI, Х2, • • •, А;ЮОО ПО ФОРМУЛЕ (3). ПОДСЧИТАННЫЕ ПО ЭТИМ 1000 ЗНАЧЕНИЯМ (ЭМПИРИЧЕСКИЕ) СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ДАЮТ, СО-ОТВЕТСТВЕННО, ЗНАЧЕНИЯ 0.48887 И 0.35742 (С ТОЧНОСТЬЮ ДО ПЯТИ ЗНАКОВ).
В СЛЕДУЮЩЕЙ ТАБЛИЦЕ 2 ПРИВЕДЕНЫ ЗНАЧЕНИЯ (ЭМПИРИЧЕСКОЙ) КОРРЕЛЯ-ЦИОННОЙ ФУНКЦИИ Р(К), ПОДСЧИТАННОЙ ПО ЗНАЧЕНИЯМ xq,xi, ... ,ХЮОО-
ТАБЛИЦА 2\r\n1 -0.033 11 -0.046 21 -0.008 31 0.038\r\n2 -0.058 12 0.002 22 0.009 32 -0.017\r\n3 -0.025 13 -0.011 23 -0.039 33 0.014\r\n4 -0.035 14 0.040 24 -0.020 34 0.001\r\n5 -0.012 15 0.014 25 -0.008 35 0.017\r\n6 -0.032 16 -0.023 26 0.017 36 -0.052\r\n7 -0.048 17 -0.030 27 0.006 37 0.004\r\n8 0.027 18 0.037 28 -0.004 38 0.053\r\n9 -0.020 19 0.078 29 -0.019 39 -0.021\r\n10 -0.013 20 . 0.017 30 -0.076 40 0.007\r\n

Из этой таблицы видно, что величины (хп), порожденные логистическим отображением с А = 4, практически можно считать некоррелированными, и в этом смысле последовательность (а:„) может быть назвала "хаотическим белым шумом".

Интересно отметить, что для системы хп = 4x„_i(l — x„_i), n > 1, с хо Є (0,1) существует инвариантное распределение Р (т.е.

такое, что Р(Т-1Л) = Р(А) для любого борелевского множества А из (0,1)), плотность которого

р(х) = г ,л 1 чц/2 . ®е(0,1). (4)

7г[х(1 —

Тем самым, если считать начальное значение XQ случайной величиной с плотностью распределения вероятностей р = р (х), то случайные величины х„, п ^ 1, будут иметь то же самое распределение, что и хо¦ Полезно подчеркнуть, что у получаемой таким способом стохастической динамической системы (г„) вся "случайность" полностью определяется случайным начальным значением хо, а динамика переходов хп —> гп+і задается детерминированным образом согласно соотношениям (3).

В предположении (4) нетрудно найти, что Ехо — Ex2 = |, Dxo = | (= (0.35355... )2) (ср. со значениями 0.48887 и 0.35742, приведенными выше) и

_ ЕхрХк - ExpExfc _ Ґ 1, если к = 0, л/Dxo Dxfc \\ 0, если к ф 0.

Пример 2 (преобразование Бернулли):

XN = 2x„_i (mod 1), XQ Є (0,1).

Инвариантным здесь является равномерное распределение с плотностью р(х) = 1, х Є (0,1). При этом Ех0 = EXQ = Dx0 = р(к) = 2~к, к = 0,1,... .

Пример 3 ("палаточное" преобразование):

xn = 1 - |1 - 2x„_i|, xq Є (0,1).

Как и в примере 2, инвариантным здесь является равномерное распределение на (0,1). При этом Еяо = EXQ = Dxo = р(к) = 0, к ф 0. Пример 4. Пусть

Хп =1- 2У/\\Хп-І\\, хо Є (—1,1).

Инвариантным здесь является распределение на (—1,1) с плотностью р(х) = (1 — х)/2. При этом Ехо - —Ex2 = Dxo = Рисунки 25а,b дают представление о поведении последовательностей (xN)N^.N для х0 = 0.2 и N = 100, N - 1000.

Рис. 25а. График последовательности х = (xn)n^o схп = 1 — 2у/\\хп—\\\\, х0 = 0.2, для N = 100

Рис. 25Ь. График последовательности х = (іп)п^о сіп = 1 - 2л/|хп_і|, х0 = 0.2, для N = 1000

3. Приведенные примеры нелинейных динамических систем представляют для нас интерес с разных точек зрения. Во-первых, скажем, на при-мере логистической системы, развивающейся "бинарным образом" четко прослеживается идея фрактальности, изложенная в разделе 2, гл. III. Во-вторых, поведение таких систем, обладающих свойством "хаотичности" наводит на мысль об их использовании при построении мод елей эволюции финансовых индексов, особенно в кризисные периоды, которым прису-ща скорее именно "хаотичность" а не "стохастичность"

<< | >>

↑

Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме § 4А. НЕЛИНЕЙНЫЕ ХАОТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ:

- Биржевая деятельность - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги, кредит, банки - Кредитование - Основы финансов - Финансовая математика - Финансовое право - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит -