§ ЗС. МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ

1. ЭТИ МОДЕЛИ, УЖЕ ВВЕДЕННЫЕ В Ц. 7, § ID, ХАРАКТЕРИЗУЮТСЯ НАЛИЧИЕМ ДВУХ ИСТОЧНИКОВ СЛУЧАЙНОСТИ Є = (ЄП ) И <5 = (5П), ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПОВЕДЕ-НИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H — (HN) СО ЗНАЧЕНИЯМИ
HN=ANEN, (1)
ГДЕЕГ„ = Е5ЛП, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ (АП) Є AR{P):
Р
AN = А0 + ОІДП-І + С6П. (2)
»=І
ОБЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Є = (ЄП) И <$ = (5П) БУДЕМ ПРЕДПОЛАГАТЬ НЕ-ЗАВИСИМЫМИ СТАНДАРТНЫМИ ГАУССОВСКИМИ; ПРИ ЭТОМ БУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО H — (HN) ПОДЧИНЯЕТСЯ SV(P) (STOCHASTIC VOLATILITY)-MONENH, Т.Е.

МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ.
РАССМОТРИМ СВОЙСТВА ЭТОЙ МОДЕЛИ, ПРЕДПОЛАГАЯР = 1 И |AI | < 1:
АП=ЕГ„ЄП, LNCR2 =A0 + AILNCR2_1 + C5N. (3)
ПУСТЬ З^\'5 =<Г(ЄІ,...,ЄП-,61,...,6П), 3*П = СГ(ДІ,... ,5„). ЯСНО, ЧТО
Е(Л„ | 3*П) = СГПЕЕП = 0
И
Е(А„ | І) = E(CRN?N 13%LJ)
= E(ANE(EN\\^S_1VA(5N))\\^S_1) = E(ПОСКОЛЬКУ ЕЄП = 0.
ТЕМ САМЫМ, ОТНОСИТЕЛЬНО ПОТОКА ВЕЛИЧИНЫ H — (HN) ОБРАЗУЮТ
МАРТИНГАЛ-РАЗНОСТЬ. (НОНЕ ОТНОСИТЕЛЬНО (3^), ПОСКОЛЬКУ HN НЕЯВЛЯЮТСЯ -ИЗМЕРИМЫМИ.) ДАЛЕЕ,
ЕH2N = EAL EEL = EEL = ЕЕЛ". БУДЕМ ПРЕДПОЛАГАТЬ
ТОГДА, СОГЛАСНО (3), ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Д — (ДП) УДОВЛЕТВОРЯЕТ АВТОРЕ-ГРЕССИОННОЙ СХЕМЕ AR(1):
АП = А0 + АІД„_І + С5П,
И ЯВЛЯЕТСЯ СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ. (СМ. § 2Ь.) В СИЛУ (4),
С2
AN —Я-
EHL = ЕЕЛП = Е1^ Е2(1_АЇ),
ГДЕ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ЕЕЛП МЫ ВОСПОЛЬЗОВАЛИСЬ ТЕМ, ЧТО ДЛЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИ-ЧИНЫ ? ~ 1) И ДЛЯ ЛЮБОГО А
ЕЕ^-И = 1.
АНАЛОГИЧНЫМ ОБРАЗОМ НАХОДИМ, ЧТО
Е|Л»| = Е|Е„| ЕСГ„ = = Е1\'1^?.
РАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ КОВАРИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ H=(HN)VIH2 = (H2N).
ИМЕЕМ
EHNHN+I =0
И, ВООБЩЕ, ДЛЯ ЛЮБОГО К > 1
Е HNHN+K = 0.
ТЕМ САМЫМ, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN) СОСТОИТ ИЗ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН: ЕСЛИ RH(K) = E/IN/IN+FC, ТО
Г ЕH2 К = 0, RH(K) = \\
К \' 1 0, К> 0.
ДАЛЕЕ,
EH2H2 -ЕА2СГ2 - EpA"+A«-i
= Е(ЕДП_1Е(Е<10+<1ІЛП_1+С5П | Д„_І))
2
,С2 (L±|LLI.-?L СІ 1±2І
= Е1-°Х 2 Є 1—°1 = Е1—2 Є 2
Д°П І С2 2 Д»П+С2
= Є1_01 2 1_(11 = Є 1_А1 .
ПОЭТОМУ
2АП+С2 ДАП 2»П -ДУ / \\
COV(/I2 = Е Х - Є1—! ЕАІ = Є1"»! Е1—АІ (Є1-0! - 1J.
КАК И СЛЕДОВАЛО ОЖИДАТЬ, ВЕЛИЧИНЫ Л2 И H\\_1 ПОЛОЖИТЕЛЬНО КОРРЕ- ЛИРОВАНЫ В СЛУЧАЕ А І > 0 И ОТРИЦАТЕЛЬНО КОРРЕЛИРОВАНЫ ПРИ AI < 0.

НАРЯДУ С ПОЛУЧЕННЫМИ ФОРМУЛАМИ ПРИВЕДЕМ И БОЛЕЕ ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ:

RS
И
ТІ ТІ — 1
ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ Г И S
ЭТИ ФОРМУЛЫ МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДЛЯ ПОДСЧЕТА РАЗЛИЧНЫХ МОМЕНТОВ ОТ H — (HN). ТАК, НАПРИМЕР,

ИЗ ЭТИХ ФОРМУЛ СЛЕДУЕТ, В ЧАСТНОСТИ, ЧТО "СТАЦИОНАРНЫЙ" КОЭФФИЦИЕНТ ЭКСЦЕССА

ЭТО ГОВОРИТ О ТОМ, ЧТО МОДЕЛИ "СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ" С ДВУМЯ ИСТОЧНИКАМИ СЛУЧАЙНОСТИ Є = (ЄП) И 5 = (5П), ТАК ЖЕ КАК И МОДЕЛИ СЕМЕЙСТВА ARCH, ПОЗВОЛЯЮТ ОПИСЫВАТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H = (HN), У КОТОРЫХ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВЕЛИЧИН HN ИМЕЮТ ВЫТЯНУТОСТЬ В ОКРЕСТНОСТИ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ЕHN = 0.
2. ОСТАНОВИМСЯ НА ВОПРОСАХ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК <ТП ВОЛАТИЛЬНОСТИ ПО РЕ-ЗУЛЬТАТАМ НАБЛЮДЕНИЙ HI,..., HN ¦ ЕСЛИ HN = Ц + ЕГПЄ„, ТО EHN = И И

ЭТО СООТНОШЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННО ПОЛОЖИТЬ В ОСНОВУ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК А, ВОЛАТИЛЬНОСТИ <ГП ПО ФОРМУЛЕ:

ГДЕ
- І " HN = — } HK, П ^—\'
П К=\\
ЕСЛИ Ц НЕИЗВЕСТНО, И
(6)
°П = \\J^\\HN - НІ,
ЕСЛИ РМ ИЗВЕСТНО.
ДРУГОЙ МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ ЕГ2 ИСХОДИТ ИЗ ТОГО ФАКТА, ЧТО E/I2 = ЕСТ2, Т. Е. ОСНОВАН НА СВОЙСТВАХ МОМЕНТОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
В КАЧЕСТВЕ ОПЕНКИ ДЛЯ ЕГ2 МОЖНО БЫЛО БЫ, КОНЕЧНО, ВЗЯТЬ ОЦЕНКУ °П = А2. ОНА БУДЕТ НЕСМЕЩЕННОЙ, ОДНАКО ЕЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА
EJ„;= е|л\'„ - = ел; - LEHLOL + Е^
МОЖЕТ ОКАЗАТЬСЯ ДОВОЛЬНО БОЛЬШОЙ.
ЕСТЕСТВЕННО, ЧТО ЕСЛИ ВЕЛИЧИНЫ К ^ П, ЯВЛЯЮТСЯ КОРРЕЛИРОВЭННЫ-МИ, ТО МОЖНО ПЫТАТЬСЯ ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ ОЦЕНОК ЕГ2 ИСПОЛЬЗОВАТЬ НЕ ТОЛЬКО ОДНО НАБЛЮДЕНИЕ Л2, НО И ПРЕДШЕСТВУЮЩИЕ НАБЛЮДЕНИЯ HL-I,HL_2,... ¦ ПРИ ЭТОМ, КОНЕЧНО, ПОНЯТНО, ЧТО ЕСЛИ ВЕЛИЧИНЫ А2, К ^ П, СЛАБО КОРРЕЛИРОВАЛИ, ТО ПРОШЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ /І2 /І2_2,... НАДО УЧИТЬШАТЬ С МАЛЫМИ, УБЫВАЮЩИМИ ВЕСАМИ. ЕСЛИ ЖЕ СГ\\, К ^ П, СИЛЬНО КОРРЕЛИРОВАЛИ, ТО ЗНАЧЕНИЯ /І2_1; Л2_2,... МОГУТ ДАТЬ СУЩЕСТВЕННУЮ ДОПОЛНИТЕЛЬНУЮ ИНФОРМАЦИЮ (К ТОЙ, ЧТО ЕСТЬ В Л2) О ЗНАЧЕНИЯХ ЕГ2.
ЭТА ИДЕЯ ПРИВОДИТ К РАССМОТРЕНИЮ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО-ВЗВЕШЕННЫХ ОЦЕНОК
ОО
*2N = (L-\\)Y,XKHN-K> 0<А<1, (7)
К=О
КОНСТРУИРОВАНИЕ КОТОРЫХ, КАК ВИДИМ, ОТНОСИТ МОМЕНТ НАЧАЛА ИЗ НУЛЯ В — ОО.

В ЭТОМ ПРЕДПОЛОЖЕНИИ СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ АВТОРЕГРЕССИОННОГО РЕКУРРЕНТНОГО СООТНОШЕНИЯ (2) ИМЕЕТ ВИД:
ОО
Д. = Г-+СЁ«?И (8)
1 - АІ ?ҐО
ГДЕ РЯД СХОДИТСЯ В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧЕСКОМ. КАК ПОКАЗАНО В § 2Ь, ЭТО РЕШЕ-НИЕ (В КЛАССЕ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ) ЯВЛЯЕТСЯ ЕДИНСТВЕННЫМ.
ОО
ЗАМЕТИМ, ЧТО ДЛЯ ФОРМУЛЫ (7) ВЕРНО (1 — Л) 22 AFC = 1, Т.Е. СУММАВЗВЕ-
JE=О
ШЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ <Т2 РАВНА ЕДИНИЦЕ.
ПОСКОЛЬКУ E/I2_FC = EER2_FC = ЕСТ2, ТО МЫ ВИДИМ, ЧТО ЕСТ2 = ЕСТ2, Т. Е. ОЦЕНКА ЕГ2 НАРЯДУ С ЕГ2 ЯВЛЯЕТСЯ НЕСМЕЩЕННОЙ.
ОТМЕТИМ ТАКЖЕ, ЧТО ТОЧНОСТЬ ОЦЕНКИ ЕГ2 СИЛЬНО ЗАВИСИТ ОТ ЗНАЧЕНИЯ ВЫ-БИРАЕМОГО ПАРАМЕТРА А И, ТЕМ САМЫМ, ВОЗНИКАЕТ (И ДОВОЛЬНО-ТАКИ НЕ ПРОС-ТАЯ) ЗАДАЧА ВЫБОРА "ОПТИМАЛЬНОГО" ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА А.
ИЗ (7) СЛЕДУЕТ, ЧТО ЕГ2 ПОДЧИНЯЮТСЯ РЕКУРРЕНТНЫМ СООТНОШЕНИЯМ
= А<^ГІ + (1 - А)Л2, (9)
КОТОРЫЕ УДОБНЫ ПРИ ОТЫСКАНИИ ОПЕНОК МЕТОДАМИ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ.
3. ОПЕРИРУЯ СЕЙЧАС С МОДЕЛЬЮ
Л„ = Є2Д« ЄП> (10)
ГДЕ ДП = AO + AIAN_I 4- С5П, ЕСТЕСТВЕННО БЫЛО БЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ ВЕЛИЧИН Д„ (= IN ) ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ОПТИМАЛЬНОЙ В СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОМ СМЫС-ЛЕ ОЦЕНКОЙ
ТП = Е(ДП |HI,...,HN)-
К СОЖАЛЕНИЮ, НЕЛИНЕЙНОСТЬ РАССМАТРИВАЕМОЙ СХЕМЫ ДЕЛАЕТ ЗАДАЧУ ОТЫСКАНИЯ ТП В ЯВНОМ ВИДЕ ПОЧТИ БЕЗНАДЕЖНОЙ. ПОЭТОМУ ПЕРВОЕ, ЧТО САМО НАПРАШИВАЕТСЯ, ЭТО НЕОБХОДИМОСТЬ "ЛИНЕАРИЗОВАТЬ" РАССМАТРИВАЕМУЮ ЗА-ДАЧУ И ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ТЕОРИЕЙ "ГАУССОВСКОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА-БЬЮСИ" (СМ., НАПРИМЕР, [303]). МОЖНО ПОСТУПИТЬ, НАПРИМЕР, ТАК. ИЗ (10) НАХОДИМ, ЧТО
INH2N = ІПЄ2 +ЬСГ2 = ЕІПЄ2 + Д„ + (INЄІ - ELNE2),
ГДЕ ELNE2 И -1.27, DINE2 = ж2/2 И 4.93. ПОЭТОМУ, ОБОЗНАЧАЯ ХП = IN2 HN, ПОЛУЧАЕМ СЛЕДУЮЩУЮ ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ:
Д« =А0 + А1Д„_1 +С6П, (11)
ХП = ЕІПЄ2 +ДП + -5=?П, (12)
ГДЕ
4П = ^(1П4-Е1П4) (13)
С Е= О, D?„ = 1 И В КАЧЕСТВЕ (ПРИБЛИЖЕННОГО) ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ Е IN Є2 МОЖНО ВЗЯТЬ ПРИВЕДЕННОЕ ВЫШЕ ЗНАЧЕНИЕ —1.27.
ТАКИМ ОБРАЗОМ, МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО У НАС ЗАДАНА ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА (11)—(12), В КОТОРОЙ, ОДНАКО, РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИН ЦП НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ГАУССОВСКИМИ, ЧТО НЕ ДАЕТ ВОЗМОЖНОСТИ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА-БЬЮСИ.
ТЕМ НЕ МЕНЕЕ, РАССМОТРИМ ФИЛЬТР КАЛМАНА-БЬЮСИ ТАК, КАК ЕСЛИ БЫ ВЕ-ЛИЧИНЫ БЫЛИ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ, ~ J/(0,1), П > 1, И НЕЗАВИСИМЫМИ ОТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (5П).
/ TL
MN+1 = («О + A>IHN) + 2/N ,"—FAN+I + 1-27 - PN), Ж + 7„
7N+I — (AI7N + C2) — (AI7N)2
ПУСТЬ ПРИ ЭТОМ ДОПУЩЕНИИ ЦП — Е(ДП | ХІ,..., ХП) И 7N = DAN.

ТОГДА СООТВЕТСТВУЮЩАЯ СИСТЕМА, ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ ЭВОЛЮЦИЮ ВЕЛИЧИН РП И 7„, ИМЕЕТ СЛЕДУЮЩИЙ ВИД (СМ., НАПРИМЕР, [303; ТЕОРЕМА 1, §7, ГЛ. VI]):
Ж2 /2 + 7„ •
ПРИ ЭТОМ ЦО = ЕДО, 7О = ЭДО-
ЗАМЕТИМ, ЧТО ЕСЛИ В (11) ПАРАМЕТР С БОЛЬШОЙ, ТО ЧЛЕН ДП В ХП БУДЕТ ИГРАТЬ ДОМИНИРУЮЩУЮ РОЛЬ, И МОЖНО НАДЕЯТЬСЯ, ЧТО В ЭТОМ СЛУЧАЕ ИНТЕ-РЕСУЮЩИЕ НАС ВЕЛИЧИНЫ ТП ХОРОШО АППРОКСИМИРУЮТСЯ ВЕЛИЧИНАМИ РП.
4. ОТМЕТИМ, ЧТО В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА В ИСХОДНОЙ МОДЕЛИ (11) НЕИЗ-ВЕСТНЫ ПАРАМЕТРЫ В = (АО,АІ,С), ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ ОЦЕНОК 5. ОПИСАНИЕ МОДЕЛЕЙ СЕМЕЙСТВА GARCH И МОДЕЛЕЙ "СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ" ДАВАЛОСЬ В РАМКАХ УСЛОВНОГО ПОДХОДА. ПРИ ЭТОМ УСЛОВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ LAW(HN \\СГП) БЫЛО ВСЕГДА НОРМАЛЬНЫМ, ЕГ2), ГДЕ ЕГ2 ПРЕДСКАЗУЕМЫМ ОБРАЗОМ ЗАВИСЕЛИ ОТ "ПРОШЛОГО" ОДИН ИЗ ЕСТЕСТВЕННО ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ТАКОМ ПОДХОДЕ ВОПРОСОВ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ В СЛЕДУЮЩЕМ: КАКОВЫ БЕЗУСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ LAW(HN), LAW(/II,..., /ІП), N ^ 1?
ЧТОБЫ ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ХАРАКТЕРЕ ВОЗМОЖНЫХ ЗДЕСЬ РЕЗУЛЬТАТОВ, РАССМОТРИМ СЛЕДУЮЩУЮ МОДЕЛЬ (СМ. [105]).
ПУСТЬ HN = ЕГПЄ„, ГДЕ СНОВА (Е„) - СТАНДАРТНАЯ ГАУССОВ ЕКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, А
= + Ь5П (16)
И (ДП) - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ НЕЗАВИСИМЫХ УСТОЙЧИВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С ИНДЕКСОМ УСТОЙЧИВОСТИ 0 < А < 1. (СР. С П. 4 В § 1С ГЛ. III.) ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (ЕП) И (<5П) НЕЗАВИСИМЫ.
ЕСЛИ ПРЕДПОЛОЖИТЬ, ЧТО 0 ^ А < 1, ТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ИТЕРАЦИЯМИ ИЗ (16) НАХОДИМ, ЧТО
ОО
O*=BY,AKSN-K+ LIM АГО*.^. (17)
\' 4 Т—ЮО
К=0
В СИЛУ СВОЙСТВ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ УСТОЙЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ОО / ОО \\ 1 /А
ЕЛ
FC=О ^ FC=0 \'
И, В ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ 0<АГ<1,0^А< 1, УРАВНЕНИЕ (16) ИМЕЕТ (КОНЕЧНОЕ) НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ (ЕГ2):
¦ЇЦПУ1"*- W
ОТСЮДА И ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (HN = <ХПЄ„) ЗАКЛЮЧАЕМ, ЧТО СТАЦИОНАРНОЕ ОД-НОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ LAW(/I„) ЯВЛЯЕТСЯ УСТОЙЧИВЫМ С ИНДЕКСОМ УСТОЙ-ЧИВОСТИ, РАВНЫМ 2А.
6.

В ЗАКЛЮЧЕНИЕ НАСТОЯЩЕГО РАЗДЕЛА, ПОСВЯЩЕННОГО НЕЛИНЕЙНЫМ СТОХАСТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ И ИХ СВОЙСТВАМ, ОСТАНОВИМСЯ НА УПОМИНАВШЕМСЯ ЭФФЕКТЕ "ТЯЖЕЛЫХ ХВОСТОВ" НАБЛЮДАЕМОМ В ЭТИХ МОДЕЛЯХ. (СМ. ТАКЖЕ § 2С, ГЛ. IV.)
РАССМОТРИМ ARCH (І)-МОДЕЛЬ H = (H NJN^O C "N = Y/AO + AIHL_I ДЛЯ N 1, НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ HO, НЕ ЗАВИСЯЩИМ ОТ СТАНДАРТНОЙ ГАУССОВ-СКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Є = (ЄП)П^І! И С АО > 0, 0 < AN < 1.
ОКАЗЫВАЕТСЯ, ЧТО ПРИ ПОДХОДЯЩЕМ ВЫБОРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ HO У РАССМАТРИВАЕМОЙ МОДЕЛИ СУЩЕСТВУЕТ РЕШЕНИЕ, H = (HN)N^О> ЯВЛЯЮЩЕ-ЕСЯ СТРОГО СТАЦИОНАРНЫМ ПРОЦЕССОМ, ДЛЯ КОТОРОГО (ПРИ ДОСТАТОЧНО МАЛОМ AI > 0) ИМЕЕТ МЕСТО ЭФФЕКТ "ТЯЖЕЛЫХ ХВОСТОВ": P(HN > А:) ~ СХ Г, ГДЕ С > 0,7 > 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭТИХ (ДОВОЛЬНО-ТАКИ НЕПРОСТЫХ) РЕЗУЛЬТАТОВ СМ. ВНЕ- ДАВНО ВЫШЕДШЕЙ МОНОГРАФИИ П. ЭМБРЕХТА, К. КЛЮППЕЛБЕРГ, Т. МИКОША (P. EMBRECHTS, С. KLUEPPELBERG, Т. MIKOSCH, "MODELLING EXTREMAL EVENTS FOR INSURANCE AND FINANCE" BERLIN, SPRINGER-VERLAG, 1997; ТЕОРЕМЫ 8.4.9 И8.4.12), ГДЕ МОЖНО НАЙТИ ТАКЖЕ ПОДРОБНЫЙ АНАЛИЗ МНОГИХ МОДЕЛЕЙ ТИПА ARCH, GARCH,... И БОЛЬШУЮ ЛИТЕРАТУРУ, ПОСВЯЩЕННУЮ ИХ ИЗУЧЕНИЮ.

<< | >>

↑

Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме § ЗС. МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ:

- Биржевая деятельность - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги, кредит, банки - Кредитование - Основы финансов - Финансовая математика - Финансовое право - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит -