§3B. МОДЕЛИ EGARCH, TGARCH, HARCH И ДР.

1. В 1976 ГОДУ Ф. Б Л ЭК (F. BLACK) ПОДМЕТИЛ В ПОВЕДЕНИИ ФИНАНСОВЫХ ИНДЕКСОВ СЛЕДУЮЩИЙ ФЕНОМЕН: ОТРИЦАТЕЛЬНУЮ КОРРЕЛИРОВАННОСТЬ ВЕ-ЛИЧИН /І„_І И ЕГ„, ПРОЯВЛЯЮЩУЮСЯ В ТОМ, ЧТО ЭМПИРИЧЕСКАЯ КОВ АРИ АЛИЯ COV(H„-I,A„) < 0.
ЭТОТ ЭФФЕКТ, ПОЛУЧИВШИЙ НАЗВАНИЕ "LEVERAGE EFFECT" (ЭФФЕКТ РЫЧАГА, ИЛИ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ), ПРИВОДИТ К ТОМУ, ЧТО ВОЛАТИЛЬНОСТЬ СТРЕМИТСЯ К ВОЗРАСТАНИЮ ПОСЛЕ ПАДЕНИЯ ЦЕН, Т.Е.

ПОСЛЕ УБЫВАНИЯ ВЕЛИЧИН ВОЗВРА-ТА. НАЗЫВАЕМЫЙ ТАКЖЕ "ЭФФЕКТОМ АСИММЕТРИИ" ЭТОТ ФЕНОМЕН НЕЛЬЗЯ
ОБЪЯСНИТЬ В РАМКАХ МОДЕЛЕЙ ARCH, GARCH, ПОСКОЛЬКУ В НИХ ВОЛАТИЛЬ- НОСТЬ <Т2, БУДУЧИ ЗАВИСИМОЙ ОТ КВАДРАТОВ ПРЕДШЕСТВУЮЩИХ ВЕЛИЧИН А2 НЕЧУВСТВИТЕЛЬНА К ЗНАКУ ВЕЛИЧИН ЛП_ J И, ТЕМ САМЫМ, ЗНАЧЕНИЯ HN-J = А И HN—J — — Д ПРИВОДЯТ В GARCH-МОДЕЛЯХ К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ ЗНАЧЕНИЮ БУДУЩЕЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ ЕГ2.
ДЛЯ ОБЪЯСНЕНИЯ ОБНАРУЖЕННОГО Ф. БЛЭКОМ ЭФФЕКТА Д. НЕЛЬСОН (D. В. NELSON, [366]) В 1990 Г. ПРЕДЛОЖИЛ ТАК НАЗЫВАЕМУЮ МОДЕЛЬ EGARCH(P,Q), ИЛИ EXPONENTIAL GARCH(P,Q), В КОТОРОЙ УЧЕТ "АСИММЕТРИИ" ОСУЩЕСТВЛЯЛСЯ ТЕМ, ЧТО ВМЕСТО ВЕЛИЧИН /Г2 _I — <Т2_ІЄ2_І, ВХОДЯЩИХ В GARCH-МОДЕЛИ, ВВОДИТСЯ ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕЛИЧИН ЄП-І И |ЕП-Х|- ИМЕННО, СНОВА СЧИТАЕТСЯ, ЧТО HN — ОПЄП, НО ДЛЯ СГП ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ ВЫПОЛНЕННЫМ СЛЕДУЮЩЕЕ СООТНОШЕНИЕ:
Р 9
1П<72 = АО + ?А,-[0Є„_І + 7(|Є»-І| - У/Щ)] + ? & ЫАП-Г W 1=1 J=L
(ЗАМЕТИМ, ЧТО \\/2/Ж = Е|Е„_І|.)
ПОСКОЛЬКУ HN—I — СТRI „ І С N—І И СТП—І 0, ТО ЗНАКИ У H7L _ J И T N — І СОВПАДАЮТ, И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЕСЛИ ЄП_І = A > 0,ТО СООТВЕТСТВУЮЩИЙ ВКЛАД В СГ2 ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ВЕЛИЧИНОЙ А(В + 7), НО ЕСЛИ ЄП-І — —А < 0, ТО ВКЛАД БУДЕТ РАВЕН А(—0 + 7).
2. EG ARCH-МОДЕЛИ ЯВЛЯЮТСЯ ДАЛЕКО НЕ ЕДИНСТВЕННЫМИ, КОТОРЫЕ, СО-ХРАНЯЯ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ GARCH, В ТО ЖЕ САМОЕ ВРЕМЯ ПОЗВОЛЯ-ЮТ ТАКЖЕ "УХВАТЫВАТЬ" ЭФФЕКТ АСИММЕТРИИ. ПРИМЕРОМ МОЖЕТ СЛУЖИТЬ TGARCHIP, FC
H„ =\'*RIAI{HN-D){A10+A\\HN-I + • • • + А* Л„_Р), (2)
ГДЕ D - ПАРАМЕТР ЗАПАЗДЫВАНИЯ, А\\,..., АК -НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ МНОЖЕСТВА К
В К ТАКИЕ, ЧТО Аі = К.
І=1
НАПРИМЕР, ПУСТЬ
H _ / АО + + A\\HN-2, ЕСЛИЛ„_2>0,
\\ А2 + AFHN-I + A%HN-2, ЕСЛИ/Г„_2<0.
(ПОДРОБНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТАКИХ ПОРОГОВЫХ МОДЕЛЕЙ СОДЕРЖИТСЯ В МОНОГРА-ФИИ [461].)
ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ (СМ.

[399]), ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN) ОПИСЫВАЕТСЯ TGARCH(P, Q) -МОДЕЛЬЮ, єсли TLN — (tuєN, ГДЕ
Р Я
«=1 3= 1
И, КАК ОБЫЧНО, Х+ — ТАХ(Х, 0), Х- - — MIN(X, 0). В ЭТОЙ МОДЕЛИ НЕ ПРЕД-ПОЛАГАЕТСЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, НЕОТРИ-ЦАТЕЛЬНОСТЬ ВОЛАТИЛЬНОСТЕЙ ЕГ„, ХОТЯ, РАЗУМЕЕТСЯ, СМЫСЛ ЕГ2 КАК УСЛОВНОЙ ДИСПЕРСИИ E(/I2 | ^N-I) СОХРАНЯЕТ СВОЮ СИЛУ. ПОСКОЛЬКУ
К = СГ„?„ = (<Т+ - ЕГ-)(Є+ - ЄП) = + - FCN ¦^N +
ТО
HT = [СГІЄІ + <Т~Є~] И H~ = [А-ЄІ + СГ+Є~].
ЭТИ СООТНОШЕНИЯ ДАЮТ ВОЗМОЖНОСТЬ ПЕРЕПИСАТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (4) В СЛЕДУЮЩЕМ ВИДЕ:
Р* Р*
СГП=АО + Е АІ(ЄП-І)<7Ї-І + Е /^«-«КГ-І (5)
I=L J=1
СО ЗНАЧЕНИЯМИР* = MAX(P, Q) И ФУНКЦИЯМИ ОГІ(ЄП_І) И/3,(ЄП_,), ЯВЛЯЮЩИ-МИСЯ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ ВЕЛИЧИН ЄІ—І И Є~_І.
Есть ОПРЕДЕЛЕННАЯ "ТЕХНИЧЕСКАЯ" СЛОЖНОСТЬ ИЗУЧЕНИЯ ТАКИХ МОДЕЛЕЙ, ЗАКЛЮЧАЮЩАЯСЯ В ОТСУТСТВИИ МАРКОВСКОГО СВОЙСТВА. ОДНАКО В ПРОСТЫХ СЛУЧАЯХ, НАПРИМЕР, ДЛЯ Р = Q = 1, МОЖНО, ТЕМ НЕ МЕНЕЕ, ПРОВЕСТИ ДОСТА-ТОЧНО ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ЭТИХ МОДЕЛЕЙ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНО, ПРИ Р = Q = 1
CRN=A0+ [AI/I+_! + + + (6)
ИЛИ, В ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ФОРМЕ,
О-П = «О + ARI(?TN_1)CR+_J -F(7)
ГДЕ
AO = «О,
«І(ЄП-І) = AL?N-L + МЙ-1 + СЬ (8)
^І(ЄП-І) = +&!?+_!+DI.
ЕСЛИ ОГО = 0, ТО ИЗ (7) НАХОДИМ, ЧТО
= («І(?П-І))+^_! + (0І(Є„_І))+<Г-_1, = («І(ЄП-І))~0-^_І + (А(Є„_І))~ CR-_2.
ОТСЮДА ВИДНО, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ (ЕГ+,ЕГ~,ЄП)П^І ОТНОСИТЕЛЬНО ПОТОКА (&П) ЯВЛЯЕТСЯ МАРКОВСКОЙ, ЧТО ДАЕТ ВОЗМОЖНОСТЬ ПРОВОДИТЬ ИССЛЕДОВАНИЕ ЕЕ СВОЙСТВ ОБЫЧНЫМИ "МАРКОВСКИМИ" МЕТОДАМИ. (ПОДРОБНЕЕ СМ. [399].)
3. ОСТАНОВИМСЯ ЕЩЕ НА ОДНОМ ФЕНОМЕНЕ - ЭФФЕКТЕ "ДОЛГОЙ ПАМЯТИ" ИЛИ "СИЛЬНОГО ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ" В ЭВОЛЮЦИИ ЦЕН 5 = (5„)„^О-
МОЖНО ДАВАТЬ РАЗНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ ПОВЕДЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ОТ "ПРОШЛОГО" ЭТОЙ ЦЕЛИ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЖАТ РАЗЛИЧНЫЕ МЕРЫ ЗАВИСИМОСТЕЙ, ТАКИЕ КАК КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭРГОДИЧНОС-ТИ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ И ДР.
НАПРИМЕР, МОЖНО ИЗМЕРЯТЬ СТЕПЕНЬ ПРОПАДАНИЯ ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПРОШ-ЛОГО У ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ X = (ХП) ТЕМ, КАК БЫСТРО ВЕЛИЧИНА
SUP Е\\Р(ХП+Т Є АI Х1}..., ХП) - Р(ХП+Т Є А) | -> 0
А
ПРИ Т —»• ОО, ГДЕ SUP БЕРЕТСЯ ПО ВСЕМ БОРЕ ЛЕВ СКИМ МНОЖЕСТВАМ ІС1.
СТАНДАРТНОЙ ЖЕ МЕРОЙ ЗАВИСИМОСТИ ЯВЛЯЕТСЯ, КОНЕЧНО, (АВТО-КОРРЕЛЯ-ЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ.
СЛЕДУЕТ ОТМЕТИТЬ, ЧТО, СОГЛАСНО МНОГОЧИСЛЕННЫМ СТАТИСТИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ, У ВРЕМЕННЫХ ФИНАНСОВЫХ РЯДОВ ОБНАРУЖИВАЕТСЯ БОЛЕЕ СИЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ В ПОВЕДЕНИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ |/I| = (\\HN\\)N^I И H2 = (/I^)N>I> ЧЕМ ТА, КОТОРАЯ ПОЛУЧАЕТСЯ В СЛУЧАЕ МОДЕЛЕЙ ARCH, GARCH И, ТЕМ БОЛЕЕ, MA, AR И ARMA.
НАПОМНИМ, ЧТО ДЛЯ ARCH( 1), СОГЛАСНО (13) ИЗ § ЗА,
CORR{H2N_K,H2J АГ < 1,
А ДЛЯ GARCH(1,1) АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ Р(К) ОПИСЫВАЕТСЯ ФОРМУЛАМИ (32) И (33) ИЗ ТОГО ЖЕ § ЗА, ПОКАЗЫВАЮЩИМИ, ЧТО В ЭТИХ МОДЕЛЯХ КОРРЕЛЯЦИЯ УБЫВАЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ОБРАЗОМ К НУЛЮ ("ПАМЯТЬ БЫСТРО ЗА-БЫВАЕТ ПРОШЛОЕ").
ЧАСТО ПРИНЯТО ГОВОРИТЬ, ЧТО СТАЦИОНАРНАЯ (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ) ПОСЛЕ-ДОВАТЕЛЬНОСТЬ У = (УП) ИМЕЕТ ДОЛГУЮ ПАМЯТЬ, ИЛИ СИЛЬНОЕ ПОСЛЕДЕЙ-СТВИЕ, ЕСЛИ ЕЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ Р(К) ИМЕЕТ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР УБЫВАНИЯ К НУЛЮ:
P(K) ~ СК~Р, &-> ОО, (10)
ПРИ НЕКОТОРОМ Р > 0.
ТАКИМ ХАРАКТЕРОМ УБЫВАНИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ОБЛАДАЕТ, НАПРИМЕР, ФРАКТАЛЬНЫЙ ГАУССОВСКИМ ШУМ (СМ. § 2D, ГЛ.

ILL) Y = (У, СО ЗНАЧЕНИЯМИ
YN = ХП — XN-I,
ГДЕ X — (XT)T^O ЯВЛЯЕТСЯ ФРАКТАЛЬНЫМ БРОУНОВСКИМ ДВИЖЕНИЕМ С ПАРА-МЕТРОМ 0 < Н < 1 (СМ. §5С). ДЛЯ ЭТОГО ДВИЖЕНИЯ (СМ. (3) В §5D)
COV(XS,XT) = І{К|2Ш + М2Ш -\\T- S\\2U}EX2 И (СМ. (3) В §5D)
COV(YN,YN+FC) = К + 1|2И -2|FC|2H + IК- 1|2И}, (11)
ГДЕ А2 = DYN, И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ Р{К) --- СОГГ(УП, YN+K) ИМЕЕТ ПРИ К —» ОО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР:
Р(К) ~ Н(2Н - 1)К2Л~2.
ЗАМЕТИМ, ЧТО ПРИ | < Н < 1
ОО FE=L
ПРИ Н = І (ОБЫЧНОЕ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ) ВЕЛИЧИНЫ У - (УП) ОБРА-ЗУЮТ ГАУССОВСКИЙ "БЕЛЫЙ ШУМ" С Р(К) = 0, К ^ 1. ЕСЛИ ЖЕ 0 < Н < І, ТО
ОО ОО
|P(FC)| < ОО, ][>(*) = 0. FC=L FC=L
ЗАМЕЧАНИЕ. В ГЛ. 7 МОНОГРАФИИ [202] РАССМОТРЕНЫ РАЗНООБРАЗНЫЕ МО-ДЕЛИ ПРОЦЕССОВ С СИЛЬНЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ И СОДЕРЖИТСЯ БОЛЬШОЙ МАТЕ-РИАЛ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРИМЕНЕНИЯ ЭТИХ МОДЕЛЕЙ В ЭКОНОМИКЕ, БИОЛОГИИ, ГИДРОЛОГИИ И ДР. СМ. ТАКЖЕ [418].
4. В РАБОТАХ [89], [360] БЫЛА ВВЕДЕНА И ИЗУЧАЛАСЬ НОВАЯ МОДЕЛЬ, HARCH(P), ОТНОСЯЩАЯСЯ К СЕМЕЙСТВУ A R СН- МОДЕЛЕЙ, В КОТОРОЙ ХАРАКТЕР УБЫВАНИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ МОДУЛЕЙ И КВАДРАТОВ ВЕЛИЧИН HN БОЛЕЕ МЕДЛЕННЫЙ, НЕЖЕЛИ ЭТО ОБЫЧНО ИМЕЕТ МЕСТО ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ТИПА ARCH И GARCH. ЭТОТ ЖЕ ЭФФЕКТ ДОЛГОЙ ПАМЯТИ СВОЙСТВЕНЕН И МОДЕЛЯМ FIGARCH, ВВЕДЕННЫМ В [15].
СОГЛАСНО ОПРЕДЕЛЕНИЮ, ДАННОМУ В ЭТИХ РАБОТАХ, HARCH(P) (HETERO-GENEOUS AUTO REGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSKEDASTIC) ПОРЯДКА P ЗАДАЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
HN =
ГДЕ
P , І 4:
CR2 = ORO + YHA3 (E ) J=І \\=I \'
С AR0 > 0, DTP > 0, A.J > 0, J = 1,... ,P - 1. В ЧАСТНОСТИ, ДЛЯР = 1
ER2 = AO+A1HL_1,
Т.Е. HARCH( 1) = ARCH (I). В СЛУЧАЕ P = 2
AL = A0+ AI /I2_! + A2(HN-1 + HN-2)2 ¦ (12)
ПРИВЕДЕМ НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭТОЙ МОДЕЛИ.
ПРЕЖДЕ ВСЕГО ОТМЕТИМ, ЧТО НАЛИЧИЕ ЧЛЕНА (/IN-I +H„-2)2 ДАЕТ ВОЗМОЖ-НОСТЬ ТАКЖЕ "УХВАТЫВАТЬ" ОТМЕЧЕННЫЕ ВЫШЕ ЭФФЕКТЫ АСИММЕТРИИ.
ДАЛЕЕ, ЕСЛИ АО + ОЦ + А2 < 1, ТО ИЗ (12) СЛЕДУЕТ, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ "СТА-ЦИОНАРНОЕ" ЗНАЧЕНИЕ
АНАЛОГИЧНЫМ ОБРАЗОМ, РАССМАТРИВАЯ ЕСТ* И ИСПОЛЬЗУЯ ТО, ЧТО EHN-IHN-2 = = ЕHN-IHN-2 - 0,
ИЗ (12) НАХОДИМ, ЧТО ПРИ (AI + А2)2 + A2 < | СУЩЕСТВУЕТ "СТАЦИОНАРНОЕ" ЗНАЧЕНИЕ
ЕЬ4П - ! , F 2 > (14)
І - (AI + AR2)2 - «2
ГДЕ
„ А2[1 + 2А2(«І + 3А2) - (AI + 2А2)2] , .
[1-(А1+2А2)Р • (15)
(ОТМЕТИМ, ЧТО ЕСТ* = .)
НАЙДЕМ ТЕПЕРЬ ЗНАЧЕНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ (FT2).

ПУСТЬ R(K) — Е/І2 /І2 _FC. ТОГДА ДЛЯ & = 1 В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ "СТАЦИОНАР-НОСТИ"
Д(1) = Е A2NE2NH2N_X = EA2/!2.!
= E(/I*_I[«O + AN/I2_I +А2(Л„-І +Л„_2)2])
= АГОЕ/І2_! + АГІЕ H*-I + A2EH*_1 + 2A2EHL_1HN-2+A2EH2N_1H2N_2.
ТЕМ САМЫМ, ЕСЛИ OT2 < 1, ТО
Д(1) = «ОЕ^1 + (А1+А2)Е^, (16)
1 — Q2
ДАЛЕЕ,
ВД = EH2NH2N_K = EALH2N_K
= E[A0 + AIFT2 _I + A2(HN-I + HN_2)2]/I2 _FC = «ОЕЛ2 _FE + (AI + А2)Д(Й - 1) + A2R(K - 2),
ГДЕД(О) = EH*.
ОТСЮДА ЯСНО, ЧТО В СТАЦИОНАРНОМ СЛУЧАЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ Р(К) = CORR(/I2 ,/I2_FC) ПОДЧИНЯЕТСЯ УРАВНЕНИЮ (К Р 2)
Р(К) =А + ВР(К - 1) + СР{К - 2), (17)
ГДЕ
АОЕЛ| (А1+А2)(ЕА2)2 „ _ (А2 - 1)(ЕА2)2
А- DAJ \' DА2 \' DA2 \'
Р<0)-1, =
В § ЗЕ, ГЛ. IV, БУДЕТ ПРОДОЛЖЕНО РАССМОТРЕНИЕ ВОПРОСОВ "СИЛЬНОГО ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ" ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ОБМЕННЫМ КУРСАМ.

<< | >>

↑

Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме §3B. МОДЕЛИ EGARCH, TGARCH, HARCH И ДР.:

- Биржевая деятельность - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги, кредит, банки - Кредитование - Основы финансов - Финансовая математика - Финансовое право - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит -