§ 1с. Устойчивые процессы
Обобшая определение устойчивого случайного вектора (см.
определение 6 в § 1а), естественным образом приходим к следующему понятию.Определение 1. Действительный случайный процесс X - (Xt)tgT называется устойчивым, если для любых к ^ 1 и t\\,..., tk из Т случай-ные векторы [Xtl, • • • , Xtk ) являются устойчивыми, т. е. все конечномерные распределения процесса X являются устойчивыми.
Нетрудно заметить, что если все конечномерные распределения устойчивы, то из соображений согласованности этих распределений вытекает, что у них один и тот же индекс устойчивости а. Это объясняет, почему такие (устойчивые) процессы именуют а-устойчивыми, когда желают под-черкнуть конкретное значение индекса устойчивости а.
В дальнейшем для нас основной интерес будут представлять те а-устойчивые процессы X = (Xt)teT, которые в то же самое время являются процессами Леви (§ lb). Такие процессы естественно называть "а-устойчивыми процессами Леви".
В § la (п. 10) приводились два равносильных определения устойчивых невырожденных случайных векторов (см. формулы (30) и (31) в § 1а). При-менительно к устойчивым (одномерным) процессам X - (Xt)t^о> являющимся в то же время процессами Леви, отмеченная равносильность двух определений приводит к следующему предложению: невырожденный (см. далее определение 2) одномерный процесс Леви X = (Xt)t^o является а-устойчивым процессом (а Є (0,2]) тогда и только тогда, когда для любого а > 0 найдется число D (зависящее, вообще говоря, от а) такое, что
{Xat,t>Q} ^{a^aXt +Dt}. (1)
Приведем теперь ряд определений, относящихся к многомерным процессам X = (Xt)t доопределение 2. Случайный процесс X = (Xt)t^o со значениями в называется вырожденным, если Xt = "ft (Р-п.н.) для всех t ^ Ос некоторым вектором 7 Є В противном случае процесс X называется невырожденным.
Определение 3.
Невырожденный случайный процесс X = (Xt)t^o со значениями в Rd называется а-устойчивым процессом Леви (а Є (0,2]), еслиX есть процесс Леви
и
для каждого о > 0 найдется вектор D Є W* (зависящий, вообще говоря, от а) такой, что
{Xat ,t^0} = {a^aXt + Dt,t^0}t (2)
или, равносильно,
Law(Xat, t > 0) = Law(a1/°,Xt +Dt,t^ 0). (3)
Определение 4. a-устойчивый процесс Леви X = (Xt )t>o называется строго а-устойчивым процессом Леви, еслив (2), (3) векторD = 0, т.е.
{Xat,t^0} ij^^O}, (4)
или, равносильно,
t >0) = Law(a1/aXt, t>0). (5)
Замечание 1. Иногда (см., например, [423]), дается такое определение устойчивости векторного случайного процесса Леви X = (Xt)t^о-\' для любого a > 0 найдутся константа с и вектор D Є К™ такие, что
{Xat, t >0} = {cXt + Dt, f>0}, (6)
или, равносильно,
Law(Xat, t > 0) = Law (cXt + Dt,t^0). (7)
(Если D = 0, то говорят о строгой устойчивости.) Весьма замечательно, что, как и в случае устойчивых величин и векторов, для невырожденных процессов Леви константа с имеет вид с = а1/", где а - некоторый уни-версальный, т. е. не зависящий от а, параметр со значениями в (0,2]. Этот результат, доказательство которого см., например, в [423], объясняет данные выше определения 3 и 4, в которых явно присутствует множитель а1/".
Замечание 2. Полезно заметить, что условие
Law(Xat, t > 0) = Law (cXt, t > 0)
есть не что иное, как свойство автомодельности. Таким образом, а-ус- тойчивые процессы Леви, для которых с = а1/", являются автомодельными. При этом значение Н - 1/а носит название показателя (параметра) Харста. См. подробнее § 2с.
Замечание 3. Если процесс X = (Xt)t^о является одновременно и а-устойчивым (0 < а < 2), и удовлетворяющим свойству автомодельности
Law (Xat, t^O) = Law(aMXt, і >0), a > 0,
но не является процессом Леви, то формула Н = 1 /а уже не верна. У таких процессов допустимыми могут быть разные пары (а, Н) такие, что
а < 1, 0 < Н < 1/а,
или
а > 1, 0 < Н <1.
(См. в [418] следствие 7.1.11 и рис. 7.1.)2. Поскольку а-устойчивые процессы являются частным случаем процессов Леви Х- = (Xt)t^Оі для характеристических функций ipt{ff) = которых имеет место представление с кумулянтой ф{в), определяемой формулой (7) из § lb, то естественно поинтересоваться, каковы В, С vi и для этих (а-устайчивых) процессов. Особый интерес представляет знание меры Леви v = v(dx), "ответственной" за распределение величин скачков ДXt = Xt — Xt- процесса
X = (Xt)t>o.
Приведем, следуя изложению [423], основные результаты в этом направ-лении.
Теорема 1. Пусть X ~ {Xt)t^o ~ невырожденный процесс Леви в Rd с триплетом (В, С, и).
Процесс X является 2-устойчивым (процессом Леви) в том и только том случае, когда v = 0, т.е. в том и только том случае, когда этот процесс является гауссовским.
Процесс X является строго 2-устойчивым (процессом Леви) в том и только том случае, когда он является гауссовским с нулевым средним (В = 0).
Теорема 2. Пусть X - (Xt)t^о ~ невырожденный процесс Леви eRd с триплетом (В, С, и). Пусть 0 < а < 2. Тогда процесс X является а-устойчивым (процессом Леви) в том и только том случае, когда С = 0 и мера Леви и имеет следующий вид:
и(А)= [ А(віЄ) Г IA(rOr~(1+aUr, А є \\ {0}), (8) J s J о
с некоторой ненулевой конечной мерой А на S — {х Є : |х| = 1}.
Кумулянта ф(в) такого процесса имеет следующую структуру:
ф(в)=і(в,В) + [ А (СІЄ) Гіе^\'^-І-і&гОі^іф-^сІг. (9) Js J о
Интересно отметить, что в случае 0 < а < 2 радиальная часть меры Ле- ви имеет вид r-(1+aW. Если а у бывает, то убывает при 0 < г < 1
и возрастает при 1 < г < оо. Тем самым, можно сказать, что при а, близких к нулю, в траекториях процесса превалируют большие скачки; если же а близко к двум, то пропесс движется маленькими скачками. Наглядно это хорошо иллюстрируется компьютерными рисунками, приведенными в книге [253].
Теорема 3. Пусть X = (Xt)t^o ~ невырожденный процесс Леви в с триплетом (В, С, v).
Пусть а Є (0,1).
Процесс X является строго а-устойчивым (процессом Леви) в том и только том случае, когда кумулянта имеет видф(в) - [ A(df) /"00(ei с некоторой ненулевой конечной мерой А на S, т. е. в том и только том случае, когда С = 0 и "сносовая компонента" (drift) равна нулю (см. (27) в §1а). Пусть а Є (1,2). Процесс X является строго а-устойчивым (процессом Леви) в том и только том случае, когда С = 0 и "центр" (см. (29) в §1а) равен нулю (т.е. ЕХ = 0), или, равносильно, в том и только том случае, когда кумулянта имеет вид ф(в) = [ A(de) (е«в\'г® - 1 - і(в, г?))r-(1+a> dr (11) Js Jo с некоторой ненулевой конечной мерой А на S. 3) Пусть а = 1. Процесс X является строго 1 -устойчивым (процессом Леви) в том и только том случае, когда Ф(В) = І(В,В) + [А(с некоторой конечной мерой А на S и константой В такими, что [ х А(Js и A(S) + \\В\\ > 0. Следствие. Пусть X = (Xt)t^o есть а-устойчивый процесс Леей в Если а ф 1, то всегда найдется такая константа 7 Є что центрированный процесс X = (Xt — 7f)t>o будет уже строго а-устойчивым. Если же а = 1 и выполнено условие (13), то и сам процесс X = (Xt)t^о является строго 1 -устойчивым. В случае d = 1 можно явно вычислить интегралы, входящие в представления кумулянт (9)—(11), и получить (ср. с (6) в § 1а), что для 0 < а < 2 ( аф 1, (14) т = { , 2 ч I j/i0- Необходимое и достаточное условие для того, чтобы (ненулевой) а-устойчивый процесс Леви был строгим, состоит в том, что р. = 0, если а ф 1, и /3 = 0, (7+|/і|>0, если а = 1. Обратимся к формулам (2) и (3) в определении а-устойчивого процесса. Формула (1) при t = 1 принимает следующий вид: Xa = ol\'aXl+Da, (16) где Da - некоторая константа. Имея представления (14), (15) для характеристической функции этого процесса находим, что ( (а — а1/")^, аф 1, Da = < 2 (17) \\ 0-(таа]па, а = 1. 4 7Г Как ясно из изложенного выше материала, оперирование с распределениями устойчивых процессов сильно затруднено, поскольку явный вид устойчивых плотностей известен всего лишь в трех случаях (см. Однако в ряде случаев можно указать, как получать устойчивые процессы, например, из броуновского движения с помощью случайной (не зависящей от этого движения) замены времени. Приведем один интересный результат в этом направлении, который дает возможность моделирования симметричных а-устойчивых распределений с помощью трех независимых случайных величин: равномерно распреде-ленной, гауссовской и экспоненциально распределенной. Пусть Z = (Zt)t^o ~ симметричный а-устойчивый процесс Леви с ха-рактеристической функцией <*(где 0 < а < 2. Из изложенного ниже будет следовать, что процесс Z может быть реализован в виде Zt=BTt, t> 0, (19) гдеВ = (-Bt)t^o-броуновское движениес E-Bt = О, EI?2 = 2tnT = (Tt)t^0 - некоторый неотрицательный неубывающий у -устойчивый случайный процесс, носящий название устойчивого субординатора (stable subor- dinator). О процессе Z, получаемом посредством преобразования (19), говорят, что он образовал из броуновского движения с помощью случайной замены времени (субординацией) Т = (Tt)t^o- Необходимый для представления (19) процесс Т - (Tt)t^o строится следующим образом. Пусть — [/(а)(ш) - неотрицательная устойчивая случайная величина с преобразованием Лапласа Ее~хи(а) =е~ха, А > О, (20) где 0 < а < 1. Заметим, что если U^, TJ\\,..., U„ - независимые одинаково распределенные случайные величины, то случайная величина 3=1 имеет то же самое преобразование Лапласа, что и , и, значит, действительно есть устойчивая случайная величина. Пусть 0 < а < 2. Построим неотрицательный неубывающий —устойчивый процесс Т = (Tt)t^o таким образом, что Law (Ті) = Law В силу свойства "автомодельности" (5), Law(Tt) = Law(t2/aTi) = Law (t2/Q[/(«/2)), (22) и, значит, EeieZt = Ееі9вЧ = E[E(eies\'* ITt)] = = e-m\\ (23) откуда следует требуемое представление (19). Пусть р = р(х; а) - плотность распределения вероятностей случайной величины U = с индексом 0 < а < 1. р(ж;а) = Кг^) G)1_а L «(*;«) «р{-(ї) где \\ siiiz / sina^ Как было замечено Г. Рубиным (Н. Rubin; см. [264; следствие 4.1]), плотность р(х; а) является плотностью распределения случайной величины <26> где а = a(z\\a) задается формулой (25), ? и г/ - независимые случайные величины, ? имеет равномерное распределение на [0, тг], а г) - экспоненциальное распределение с единичным параметром. Замечание. Проверка того, что случайная величина С имеет плотность р(х; а), не представляет трудностей. Действительно, пусть 1 [п h(x) = — I a(z;a)exp(—xa(z\\a)) dz. к Jo Случайная величина r//a(?; a) имеет своею плотностью, очевидно, функцию h = h(x). Простая замена переменных тогда показывает, что р(х; а) есть плотность распределения вероятностей величины Тем самым, 2-а Law(T1) = Law([/(a/2)) = Law^^^^ " (27) и, в силу (22), Law(Tt) = Law(t2/aTi). (28) Из (27) и (28), обозначая 7(0,2) гауссовскую случайную величину с нулевым средним и дисперсией, равной 2, получаем Law(Zt - Zs) = Law(BTt - BTs) = Law(BTt-Ts) = Law(v/Tt-T37(0,2)) = Law(v^I77(0,2)) = Law((f-s)1/«v^T(0,2)) = Law((,-s)V«(M)^7(0,2)). Это представление для Law (Zt — Zs) показывает, как с помощью моделирования трех независимых случайных величин г/ и 7 = 7(0,2) можно получать выборку наблюдений над приращениями Zt — Zs симметричного а-устойчивого случайного процесса. Замечание. По поводу общих результатов относительно получения процессов Леви с помощью субординаторов из других (более просто устроенных) процессов Леви см. [47], [409] и [483]. Процесс Z - (Zt)t^o рассматривается в работе [327] для описания поведения цен ("модель Мандельброта-Тейлора"). Интересно отметить, что если t рассматривается ках реальное "физическое" время, то Ті можно интерпретировать как "операционное" время (см. §3d в гл. IV) или как случайное "число переходов" до момента времени t. (Эта несколько вольная тп интерпретация навеяна аналогией с суммами случайного числа Тп случайных величин k ^ 1.) k=1 Подчеркнем, что при каждом t распределение величины Zt = Вть есть смесь гауссовских распределений По-другому можно сказать, что рас-пределение величин Zt является условно-гауссовским. Эти распределения уже рассматривались выше (см. §ld, §3а в гл. II). Далее, в § Id, будут рассмотрены другие модели, основанные на "гиперболических" рас-пределениях, которые также являются условно- г ауссов скими и относятся к классу безгранично делимых распределений, не будучи устойчивыми. Все это говорит о том, что поиски "правильного" описания эволюции цен финансовых индексов идут, в некотором смысле, в направлении обращения к условно-гауссовским распределениям и процессам. 5. В заключение рассмотрим три случая устойчивых процессов Леви, которые соответствуют тем трем случаям (см. п. 5 в § 1а), где известен явный вид устойчивых плотностей. Пример 1. Стандартное броуновское движение X = (Xt)t^o в Rd является строго 2-устойчивым процессом Леви. Для него вероятностное рас-пределение Pi = Pi(rfx) величины Xi имеет следующий вид: d (29) Pi (dx) = (2ir)-d/2e-M2/2 dx, x Є К\' а характеристическая функция 2 (30) и (ср. с (14)) непосредственно видно, что Пример 2. Стандартный процесс Кошив Rd является строго 1-устой-чивым процессом Леви с = + ж Є Г*. (32) Характеристическая функция <рхЛ0) = е~т, (33) и вилно (ср. с (14)), что = = е"\'^ = VaXt{9). (34) Пример 3. Для одностороннего строго ^-устойчивого процесса Леви на (0, оо) имеем Рі(<*п) = (2ir)-l^I(0tOo)(x)e1^x-3^ dx, жЄК, (35) и 9aXt{0) = ехр{-аіуІ0І (1 - Sgn0)} = expHvW(1 - iSgn(a2*))} = Va*Xt(9). (37) Этими примерами, в супшости, и исчерпываются все те известные случаи, когда одномерные распределения для Х\\, а значит, и для Xt, выражаются в элементарных функциях.