§ Id. Гиперболические распределения и процессы

Обобщенные гиперболические распределения, не будучи устойчивыми, характеризуются, также как и устойчивые, четырьмя параметрами, име-ющими (см. п. 2) сходный смысл.

Из класса этих распределений мы выделяем два наиболее употребительные:

собственно гиперболическое распределение;

гауссовское\\\\обратно-гауссовское распределение.

Следует отметить, что эти распределения являются смесью гауссовских. Поэтому они естественным образом относятся к классу моделей, основанных на смесях гауссовских распределений, на идеях использования условно-гауссовских распределений. Эти распределения являются и безгранично делимыми, образуя, тем самым, довольно-таки широкий подкласс класса безгранично делимых распределений. С точки зрения поведения "хвостов" эти распределения занимают как бы промежуточное положение между устойчивыми распределениями с индексом а < 2 и гауссовскими распределениями (а = 2): их "хвосты" убывают быстрее, нежели для устойчивых распределений (а < 2), но медленнее, нежели для гауссовских.

2. Происхождение термина "гиперболический" связано со следующим обстоятельством.

У нормальной (гауссовской) плотности

1 (*->02 у/2жсг

график логарифма In <р(х) является параболой. У гиперболического же распределения его плотность

Ых) = Сі (а, /3,5) ехр{—а\\/<52 + (х - /і)2 + 0(х - ft)} (2) такова, что график логарифма In hi (ж) является гиперболой

f (х) = In Сх (а, /3,5) - а^82 + (х - ц)2 + /3(х - ц) (3)

с асимптотами

а(х) = -а\\х - + /3(х - р). (4)

(5)

а > 0, 0 < Щ < а, /І Є К, 8 > 0.

В определении (2) предполагается, что четыре параметра (а, /3, /л, <5), определяющие гиперболическое распределение, таковы, что

Параметры а и /3 "ответственны" за форму плотности, р - параметр рас-положения, 5 - масштабный параметр.

где Кі (ж) - модифицированная функция Бесселя третьего рода с индексом 1 (см. [23]).

Для описания гиперболического распределения часто используют другую параметризацию, полагая

a = + 0=\\(Ч>~І), (7)

так что = а2 — /З2.

В этих новых обозначениях плотность hi (ж) = hi (ж; а, /3, р, 8), обозначаемая h2 (ж) = h-2 (ж; tp, 7, р, 5), будет иметь следующий вид:

Л2( ж) = C2{f, j,S)

х exp{-i(

где

C2(f, Ъ5)= Ш

SxKi(5x)

с и = (ifry)1/2,!^ 1 = (ір 1 +7 х). (Такая параметризация используется в работе [289].)

Из (8) видно, что если случайная величина X имеет плотность h2(x\\ ip, 7, /it, <5), то величина Y = (X — a)/b для а Є К, 6 > 0 имеет плотность h2(x;bip,bj,8/b,(p — a)/b). Тем самым, гиперболическое распределение инвариантно относительно сдвига и изменения масштаба.

Из (8) видно также, что плотность h2 (ж) > 0 для всех ж Є IR, и "хвосты" У h2(x) убывают экспоненциально со "скоростью" <р при ж —> —оо и "скоростью" 7 при ж —>• оо.

Если5 —»• оо, 8/х сг2,ір —у —»• 0, то

h2(x]• <р(х),

где <р(х) = ір(ж; р, а2) - нормальная плотность.

Если <$ —0, то в пределе получаем распределение Лапласа (несимметричное, если ip ф 7) с плотностью

А(ж; у, 7, р) = ш~х ехр{-і(уз + 7)|ж - р\\ + і (у? - 7)(ж -

Если ввести параметры

t = + (=(1

X = (v-7)(v + 7)_1e

то можно заметить, что их значение не изменится, если от случайной величины X с гиперболической плотностью /12(2:; ip, 7, /х, 5) перейти к случай-ной величине У = X — а, имеющей, согласно сказанному выше, плотность /і2(ж;4>iliP — а->Параметры ? и х имеют смысл параметров "скошенности" (skewness) и "вытянутости" (kurtosis) и служат хорошими показателями отклонения от нормальности. (См., подробнее, § 2Ь в гл. IV.) Отметим, что область значений х и ? есть внутренность треугольника

V = {(X,?):0<|X|(см. рис. 26; Jf - нормальное распределение, § - экспоненциальное, if - распределение Лапласа).

Граничная точка (0,0) ^ V соответствует нормальному распределению; точки (—1,1) и (1,1), также не входящие в V, отвечают экспоненциальному распределению, аточка(0,1) ^ V-распределению Лапласа.

щенное обратное гауссовское распределение (generalized inverse Gaussian distribution).

В работах [21]-[23], [25], [26] отмечается, что гиперболическое распределение является смесью гауссовских: если случайная величина X имеет плотность h\\ (х\\ а, /3, р, 8), то

Law* = V^J/(p + po2,o2), (9)

где Е^з означает усреднение по параметру а2, имеющему обратно-гауссов- ское распределение с плотностью

где а = а2 — /З2, b = <52.

3. Обратимся теперь к другому представителю класса обобщенных гиперболических распределений, введенных 0. Барндорфф-Нильсеном в работе [21] - так называемому гауссовскому\\\\обратно-гауссовскому (GIG- Gaussian\\\\Inverse Gaussian) распределению. (Позднее, [22], 0. Варндорфф- Нильсен стал называть эти распределения "нормальными обратно-гаус- совскими распределениями" - normal inverse Gaussian distribution.)

Если следовать условной записи (9), то гауссовское\\\\обратно-гауссов- ское распределение Law У случайной величины У определяется следующим образом:

Law У = + /Зсг2,сг2), (11)

где усреднение нормального распределения jY(p + /За2, а2) производится по обратно-гауссовскому распределению с плотностью

<12)

где а = а2 — /З2, b = S2. (Параметры а, /3, р. и 8 такие же, как и в (5).)

Интересно отметить, что если W = (Wt)t>o _ стандартное броуновское движение (винеровский процесс) и

T(t) = inf{s > 0: Ws + л/as > Vbt}

- момент первого достижения процессом (Ws + y/as)g^о уровня л/bt, то Т(1) имеет в точности распределение с плотностью (12). Тем самым, если

В = (Bt)t>о - стандартное броуновское движение, не зависящее от W, то распределение У совпадает с распределением величины

(13)

вт(1) + {»+т і)).

(Ср. с (19) в § 1с.)

Обозначим д(х) = д(х; а, 5) плотность GIG-распределения. Из (11) и (12) находим, что

д(х) = С3(ос,Р,}1,8)

где

и q(x) = л/1 + х2. Поскольку

(15)

К\\{х) ~ sj^X~1/2e-X, I-4 00,

то при |Ж| —>• оо

(-

\\2ТГ:

\\ 1/2 д(х) ~ ( )

(16)

2ir5 ) [1+ (2^)2]3/4 х ехр|-ал/<^ + (х - fi,)2 + 0(х - /і)|,

и, следовательно,

(17)

In

\\х\\ —оо;

h\\(x) З 9{х)

последнее соотношение показывает, что h\\(х) имеет более "тяжелые хвосты" нежели д(х).

4.

Пусть Y - случайная величина с плотностью д(х) = д(х-,а,/3,р.,5). Производящая функция

ЕеЛУ = expjjfv\'a2 + /З2 - у/a2 - (/3 + А)2 ] + /іЛ}. (18)

Отсюда видно, что если Y\\,..., Ym - независимые GIG-распределенные величины с одними и теми же а и /3, но, вообще говоря, разными щ и 5j,

то их сумма У = Уі -I -I- Ут снова есть GIG-распределенная величина

с теми же самыми а и /3 и с р. = + ¦ - ¦ + рт, 5 = <5i + • • • -I- 5т.

Иначе говоря, GIG-распределение замкнуто (в указанном смысле) относительно свертки.

Если же X имеет гиперболическое распределение, то, беря для простоты /3 = р. = 0, находим, что

~ Кг(а8) Vrf^V " 1 ^

Отсюда видно, что указанное выше свойство замкнутости GIG-pacnpe- деления для гиперболического распределения отсутствует.

Важно отметить, что оба распределения, GIG- и гиперболическое, являются безгранично делимыми. Для GIG-распределения это видно непосредственно из (18), а для гиперболического это отмечено в работах [21]—[23], [25], [26] Из (18) находим также простые выражения для среднего ЕУ и дисперсии ЭУ:

д «

V/3J

8_

2-13/2

[l-(f)T/2\'

D У

Замечание. По поводу использования этих распределений при анализе финансовых индексов см. работу Э. Эберлейна (Е. Eberlein) и У. Келлера (U. Keller) [127], где приведены впечатляющие результаты статистической обработки ряда финансовых индексов (см. также § 2Ь в гл. II).

5. Коль скоро гиперболическое распределение является безгранично делимым, то можно определить процесс Леви, т. е. процесс с однородными независимыми приращениями, у которого распределения приращений являются гиперболическими.

Ограничимся случаем симметричных центрированных плотностей hi(x) = hi(x;a,(i,{j,,8) с параметрами /3 = \\і — 0.

(20)

Будем обозначать Z = (Zt)t^o процесс Леви, у которого Z\\ имеет распределение с плотностью (20).

Интересно отметить, что, поскольку E|Zt| < оо, ZQ = Ои Z = (Zt) имеет независимые приращения, этот процесс является мартингалом (относительно естественного потока сг-алгебр (3-t), 3-t = a(Zs, s < t)):

(21)

E(Zt I SFs) = Zs, t>s.

(Заметим, что E\\Zt\\p < оо при всех р > 1.)

Пусть ft(e) = Eexp(idZt ) - характеристическая функция гиперболического процесса Леви Z = (Zt)t^о- Тогда (ср. с формулами (4) и (5) в § lb)

М9)=Ы6)У- (22)

Из (9) и (10) (с X = Zx) следует, что при /3 = /х = 0

LawZi = сг2), (23)

где

Отправляясь от этих представлений в [127] была найдена для ipt (fi) следующая "\'формула Леви-Хинчина" (ср. с (22) и (29) в §1а):

ipt(0) = expji J°° (еівх - 1 - івх) v(dx) J, (25)

где мера Леви w имеет (довольно сложно выражаемую) плотность р„(х) (по мере Лебега dx):

(26)

v (x)-j- Г exp(~Ndv І єхРН*1)

РЛ ) *2M7o y(JH5V2y) + Y?(5V2y)) y+ \\x\\

Здесь Ji и Yi есть функции Бесселя первого и второго рода соответственно.

Основываясь на асимптотических результатах относительно J\\ и Ух (формулы 9.1.7,9 и 9.2.1,2 в [1]), можно показать, что знаменатель в подынтегральном выражении в (26) асимптотически является константой при у —>• 0 и ведет себя как у-1/2 при у —» оо. Отсюда авторы [127] заключают, что плотность меры Леви

Ри(х) \\ при иО, (27)

Xі

откуда следует, что у процесса Z - (Zt)t^0 на любом сколь угодно малом интервале времени имеется бесконечное число малых скачков. Действительно, пусть

«є Д

-мера скачков процесса Z, т. е. число тех s Є А, для которых Zs (а;)—Zs_ (и>) попадает в множество В. Тогда (см., например, [250; гл. И, 1.8])

E/iZ(a;;A,В) = |Д| v{B) и, следовательно, J v(dx) = оо, J^ ^i/(dx) = оо для всякого є > 0.