§ 1а. Формула Б ателье

При этом наш основной интерес будет связан с опционами, на примере которых можно хорошо проиллюстрировать роль и возможности теории арбитража и методов стохастического исчисления для расчетов в финан-совых моделях с непрерывным временем.

Ранее (§ 2а, гл.

Считая, что цены акций флуктуируют как броуновское движение, Л. Ба- шелье привел ряд расчетов для (рациональных) стоимостей некоторых опционов, имевших в его время хождение во Франции, и затем сравнил их с реальными рыночными ценами.

Приводимая ниже формула (5) является модернизированной версией ряда "опционных" результатов из работы Л. Баше лье [12]. Это и объясняет данное ей название "формулы Башелье"

В линейной модели Башелье предполагается, что (В, S)-рынок устроен так, что банковский счет В = (Bt)t^T не меняется со временем {Bt " 1), а цена акции 5 = (St)t^T описывается линейным броуновским движением со сносом:

St=S0+nt+oWt, t^T, (1)

где W = [Wt)t>0 - стандартный винеровский процесс (броуновское дви-жение), заданный на некотором вероятностном пространстве (П, 3-, Р).

В этой модели цены принимают и отрицательные значения, и потому она не может считаться адекватно отражающей реальную картину. Тем не менее, ее рассмотрение представляет интерес с разных точек зрения - как исторически первой диффузионной модели, как модели, которая является и безарбитражной., и полной (см. гл. VII). Положим

и пусть 3-х - с7-алгебра, t ^ Т, порожденная значениями винеровского про-цесса Ws, s ^ t, и пополненная множествами Р-нулевой вероятности. Определим на (SI, 3-т) новую меру Ру, полагая (ср. с (8) в §4а, гл. VII)

dPr = Zt dPr, (3)

гдеРт = Р|^т.

Заметим, что в рассматриваемой модели мера Ру является единственной мартингальной мерой (см. п. 5, § 4а, гл. VII), т. е. мерой, обладающей тем свойством, что Рт ~ Рт, и процесс S = {St)t^T является мартинга-лом. При этом, по теореме Гирсанова (§ Зе, гл. III или § ЗЬ, гл. VH),

Law(So + pt + oWf,t ^ Т | Рт) = Law(So + crWt\