Фундаментальная система решений

Решения однородной системы обладают следующими свойствами.

решением этой системы Если решением системы (1.53) является так

этой системы. Отсюда следует, что любая линейная комбинация решений однородной сиг пены также- яегнетси решением этой системы. Как мы знаем из 1.1.4, всякая система п-мерных векторов, состоящая более чем из и векторов, является линейно зависимой. Таким образом, из множества пекгоров-решеннн однородной системы (1.53) можно выбрать базис, т. е любой вектор-решение данной \' нстемы будет линейной комбинацией векторов этого базиса. Любой такой базис называется фу и дам витальной сиотамЬи решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.8. Если ранг г системы однородных уравнений (1.53) меньше числа неизвестных я, то всякая ее фундаментальная система решений состоит из (г/ - г) решений.

Укажем теперь способ нахождения фундаментальной системы реше пни. Пусть система однородных уравнений (1.53) имеет ранг 7 < п. Тогда. как следует из правила Крамера, базисные неизвестные этой сие-

находим второе решение д-j : принимаем і,, г = I. а остальные ) - I свободные переменные примем рапными нулю.

і\'шиснш будем решать тгу систему методом Гаусса. Поскольку число уравнений системы меньше чис. ш ней.шее і пых, будем счипл ь t,. д;. х3 балле н ым и неизвестными, ад„ л^, ,і(, свободи иди і переменными. Составим расширенную мат рішу системы и выполним действия, і оставляю ши с прямой ход метола:

П реоб разова иная расширенная м атрн ца гоптве гс і п у ет сі і стем е у ра 11 цепнії ко горам з чв и нал еі іті із исходной однородной е 11 с і е м е:

Поскольку реи г оді юрод hoi і системы ранен трем, тп ФС\'Р для нее состоя і из трех . і и iteii но независимых векторов. По формулам (1.55 і при « 6 н г 3. беря и ос ледова те паю для свободных перемен ныл

і рои мі чисел (1. I). 0), (0. 1. і)) и (I), О, О. под V чаем набор фунд;уиен іальїшл решениіі

1.6.3.