Решение систем линейных уравнений с использованием матриц- строк.
Многочлены имеют различные степени. Степень многочлена определяется значением наибольшей степени любого из элементов. Степенью элемента является сумма показателей переменных, содержащихся в элементе. Показанное выше выражение является многочленом третьей степени, так как элемент 4 * АЛ 3 имеет третью степень, и это наивысшая степень среди всех элементов многочлена. Если бы элемент был равен 4*АЛЗ*ВЛ62*С, мы бы получили многочлен шестой степени, так как сумма показателей переменных (3+2+1) равна 6. Многочлен первой степени называется также линейным уравнением и графически задается прямой линией. Многочлен второй степени называется квадратным уравнением и на графике представляет собой параболу. Многочлены третьей, четвертой и пятой степени называются соответственно кубическим уравнением, уравнением четвертой степени, уравнением пятой степени и т.д. Графики много-членов третьей степени и выше довольно сложны. Многочлены могут иметь любое число элементов и любую степень, мы будем работать только с линейными уравнениями, т.е. многочленами первой степени. Решить систему линейных уравнений можно с помощью процедуры Гаусса-Жордана, или, что то же самое, метода гауссовского исключения. Чтобы использовать этот метод, мы должны сначала создать расширенную матрицу, объединив матрицу коэффициентов и столбец свободных членов. Затем следует произвести элементарные преобразования для получения единичной матрицы. С помощью элементарных преобразований мы получаем более простую, но эквивалентную первоначальной, матрицу. Элементарные преобразования производятся посредством построчных операций (мы опишем их ниже).
Единичная матрица является квадратной матрицей коэффициентов, где все элементы равны нулю, кроме диагональной линии элементов, которая начинается в верхнем левом углу. Для матрицы коэффициентов «шесть на шесть» единичная матрица будет выглядеть следующим\r\nобразом: \r\n10 0 0 0 о\r\n0 10 0 0 о\r\n0 0 10 0 о\r\n0 0 0 1 0 о\r\n0 0 0 0 1 о\r\n0 0 0 0 о 1\r\nМатрица, где число строк равно числу столбцов, называется квадратной матри-цей. Благодаря обобщенной форме задачи минимизации V для данного Е, мы всегда будем иметь дело с квадратными матрицами коэффициентов. Единичная матрица, полученная с помощью построчных операций, эквивалентна первоначальной матрице коэффициентов. Ответы для нашей системы уравнений можно получить из крайнего правого вектора-столбца. Единица в первой строке единичной матрицы соответствует переменной X,, поэтому значение на пересечении крайнего правого столбца и первой строки будет ответом для Х1 Таким же образом на пересечении крайнего правого столбца и второй строки со-держится ответ для Х2 так как единица во второй строке соответствует Х2 Используя построчные операции, мы можем совершать элементарные преобразования в первоначальной матрице, пока не получим единичную матрицу. Из единичной матрицы можно получить ответы для весов Хі ... Хк—компонентов портфеля. Найденные веса дадут портфель с минимальной дисперсией V для данного уровня ожидаемой прибыли Е .
Можно проводить три типа построчных операций:
Поменять местами любые две строки.
Умножить любую строку на ненулевую постоянную.
Любую строку умножить на ненулевую постоянную и прибавить к любой другой строке.
С помощью этих трех операций мы попытаемся преобразовать исходную матрицу коэффициентов в единичную матрицу
В расширенной матрице проведем элементарное преобразование номер 1, используя правило номер 2 построчных операций. Мы возьмем значение на пересечении первой строки и первого столбца (оно равно 0,095) и преобразуем его в единицу. Для этого умножим первую строку на 1/0,095.
В результате, значение на пересечении первой строки и первого столбца станет равно единице. Остальные значения в первой сроке изменятся соответствующим образом.Проведем элементарное преобразование номер 2. Для этого задействуем правило номер 3 построчных операций (для всех строк, кроме первой). Предварительно для всех строк проведем элементарное преобразование номер 1, преобразовав число, стоящее в первом столбце каждой строки, в единицу. Затем все числа матрицы, кроме чисел первой строки, умножим на -1. После этого можно перейти к непосредственному применению правила номер 3. Для этого прибавим первую строку к каждой строке матрицы: первое число первой строки прибавим к первому числу второй строки, второе число первой строки ко второму числу второй строки и так далее. После этого преобразования мы получим нули в первом столбце (во всех строках, кроме первой).
Теперь первый столбец уже является столбцом единичной матрицы. С помощью элементарного преобразования номер 3, используя правило номер 2 построчных операций, преобразуем значения на пересечении второй строки и второго столбца в единицу. Посредством элементарного преобразования 4, используя правило номер 3 построчных операций, преобразуем в нули значения второго столбца (для всех строк, кроме второй).
Таким образом, с помощью правила номер 2 и правила номер 3 построчных операций мы преобразуем значения по диагонали в единицы и получим единичную матрицу. Столбец с правой стороны будет содержать решение.
Первоначальная расширенная матрица\r\nX, X: ХЗ Х4 Ь, Ответ Объяснение\r\n0,095 0,13 0,21 0,085 0 0 0,14 \r\n1 1 1 1 0 0 1 \r\n0,1 -0,023 0,01 0 0,095 1 0 \r\n\r\n-0,023 0,25 0,079 0 0,13 1 0 \r\n0,01 0,079 0,4 0 0,21 1 0 \r\n0 0 0 0 0,085 1 0 \r\nЭлементарное преобразование 1\r\nX, X, х3 Х4 Ь, Ц Ответ Объяснение\r\n1 1,3684 2,2105 0,8947 0 0 1,47368 Строка! * (1/0,095)\r\n1 1 1 1 0 0 1 \r\nОД -0,023 0,01 0 0,095 1 0 \r\n-0,02: 0,25 0,079 0 0,13 1 0 \r\n0,01 0,079 0,4 0 0,21 1 0 \r\n0 0 0 0 0,085 1 0 \r\nЭлементарное преобразование 2\r\nX, Хз х4 ь, Ц Ответ Объяснение\r\n1 1,3684 2,2105 0,8947 0 0 1,47368 \r\n0 - 0,368 -1,210 0,1052 0 0 -0,4736 Строка2+(-1 * строка 1)\r\n0 -0,160 -0,211 -0,089 0,095 1 -0,1473 Строка 3 + (-0,1 * строка 1)\r\n0 0,2824 0,1313 0,0212 0,13 1 0,03492 Строка4 + (0,0237 * строка 1)\r\n0 0,0653 0,3778 -0,008 0,21 1 -0,0147 Строка 5 + (-0,01 * строка 1)\r\n0 0 0 0 0,085 1 0 \r\nЭлементарное преобразование 3\r\nX, х, Хз х4 \\ Ц Ответ Объяснение\r\n1 1,3684 2,2105 0,8947 0 0 1,47368 \r\n0 1 3,2857 -0,285 0 0 1,28571 Строка 2 * (1 / -0,36842)\r\n0 ¦0,160 -0,211 -0,089 0,095 1 -0,1473 \r\n0 0,2824 0,1313 0,0212 0,13 1 0,03492 \r\n0 0,0653 0,3778 -0,008 0,21 1 -0,0147 \r\n0 0 0 0 0,085 1 0 \r\n \r\nХ1 X: Хз х4 ц Ц Ответ Объяснение\r\n1 0 -2,285 1,2857 0 0 -0,2857 Строка 1 + (- 1,368421 * сгрока2)\r\n0 1 3,2857 -0,285 0 0 1,28571 \r\n0 0 0,3164 -0,135 0,095 1 0,05904 Строка 3 + (0,16054 * строка 2)\r\n0 0 -0,796 0,1019 0,13 1 -0,3282 Строка4+ (- 0,282431 * сгрока2)\r\n0 0 0,1632 0,0097 0,21 1 -0,0987 Строка5 + (- 0,065315 *строка2)\r\n0 0 0 0 0,085 1 0 \r\nЭлементарное преобразование 5\r\nX, X, Хз х4 Ц Ц Ответ Объяснение\r\n1 0 -2,285 1,2857 0 0 -0,2857 \r\n0 1 3,2857 -0,285 0 0 1,28571 \r\n0 0 1 -0,427 0,3002 3,1602 0,18658 Строка 3 * (1/0,31643)\r\n0 0 -0,796 0,1019 0,13 1 -0,3282 \r\n0 0 0,1632 0,0097 0,21 1 -0,0987 \r\n0 0 0 0 0,085 1 0 \r\n
Элементарное преобразование 6\r\nх, X, X, X, ь, ц Ответ Объяснение\r\n1 0 0 0,3080 0,6862 7,2233 0,14075 Строка 1 + (2,2857 * строка 3)\r\n0 1 0 1,1196 -0,986 -10,38 0,67265 Строка 2 + (- 3,28571 * строка 3)\r\n0 0 1 -0,427 0,3002 3,1602 0,18658 \r\n0 0 0 -0,238 0,3691 3,5174 -0,1795 Строка 4 + (0,7966 * строка 3)\r\n0 0 0 0,0795 0,1609 0,4839 -0,1291 Строка 5 + (- 0,16328 * строка 3)\r\n0 0 0 0 0,085 1 0 \r\n \r\nX, X, X, Х4 ц Ответ Объяснение\r\n1 0 0 0,3080 0,6862 7,2233 0,14075 \r\n0 1 0 1,1196 -0,986 -10,38 0,67265 \r\n0 0 1 -0,427 0,3002 3,1602 0,18658 \r\n0 0 0 1 -1,545 -14,72 0,75192 Сгрока4*(1/ -0,23881)\r\n0 0 0 0,0795 0,1609 0,4839 -0,1291 \r\n0 0 0 0 0,085 1 0 \r\n
Элементарное преобразование 8\r\nХ1 X, Хз Х4 ц ц Ответ Объяснение\r\n1 0 0 0 1,1624 11,760 -0,0908 Строка 1 + (-0,30806 * строка 4)\r\n0 1 0 0 0,7443 6,1080 -0,1692 Строка 2 + (-1,119669 * строка 4)\r\n0 0 1 0 -0,360 -3,139 0,50819 Строка 3 + (0,42772 * строка 4)\r\n0 0 0 1 -1,545 -14,72 0,75192 \r\n0 0 0 0 0,2839 1,6557 -0,1889 Строка 5 + (-0,079551 * строка 4)\r\n0 0 0 0 0,085 1 0 \r\n
Элементарное преобразование 9\r\n Хг Хз Х4 Ь1 Ц Ответ Объяснение\r\n1 0 0 0 1,1624 11,761 -0,0909 \r\n0 1 0 0 0,7445 6,1098 -0,1693 \r\n0 0 1 0 -0,361 -3,140 0,50823 \r\n0 0 0 1 -1,545 -14,72 0,75192 \r\n0 0 0 0 1 5,8307 -0,6655 Строка 5 * (1/0,28396)\r\n0 0 0 0 0,085 1 0 Полученная единичная матрица\r\nх, X, X, х4 ц ц Ответ Объяснение\r\n1 0 0 0 0 0 0,12391 =х,\r\n0 10 0 0 0 0,12787 \r\n0 0 10 0 0 0,38407 \r\n0 0 0 10 0 0,36424 = Х4\r\n0 0 0 0 1 0 - 1,3197/0,5 = -2,6394 = Ь,\r\n0 0 0 0 0 1 0,11217/0,5 = 0,22434 = Ь2\r\n \r\nИнтерпретация результатов
После того как найдена единичная матрица, следует интерпретировать полученные результаты.
В данном случае при наличии входных данных об ожидаемых прибылях и дисперсии прибылей по всем рассматриваемым компонентам, при наличии коэффициентов линейной корреляции каждой пары компонентов и ожидаемой отдаче 14% наше решение является оптимальным. Слово «оптимальный» означает, что полученное решение дает самую низкую дисперсию при ожидаемой прибыли 14%. Мы можем определить это значение дисперсии, но сначала интерпретируем результаты.Первые четыре значения, от X1 до Х4 дают нам веса, т.е. доли инвестируемых средств, для получения оптимального портфеля с 14%-ой ожидаемой прибылью. Нам следует инвестировать 12,391% в Toxico, 12,787% в Incubeast, 38,407% в LA Garb и 36,424% в сберегательный счет. Если мы хотим инвестировать 50 000 долларов, то получим:\r\nАкция Процент (* 50000 =) сумма инвестиций\r\nToxico 0,12391 $6195,50\r\nIncubeast 0,12787 $6393,50\r\nLA Garb 0,38407 $19 203,50\r\nСберегательный счет 0,36424 $18212,00\r\n
Таким образом, в 1псиЬеав1 мы бы инвестировали 6393,50 доллара. Теперь допустим, что 1псиЬеав1 котируется по цене 20 долларов за акцию, т.е. следует купить 319,675 акции (6393,5 / 20). На самом деле мы не можем купить дробное число акций, поэтому купим либо 319, либо 320 акций. Следует также отметить, что небольшой лот из 19 или 20 акций, остающийся после покупки первых 300 акций, будет стоить дороже. Нестандартные, малые лоты обычно стоят несколько дороже, поэтому мы переплатим за 19 или 20 акций, а это коснется ожидаемой прибыли по нашей позиции в 1псиЬеаБ1 и в свою очередь затронет оптимальную комбинацию портфеля. В некоторых случаях следует ограничиться только стандартным лотом (в нашем случае — это 300 акций). Как видите, необходимо учитывать некоторый коэффициент ухудшения. Мы можем определить оптимальный портфель с точностью до дробной части акции, но реальная торговля все равно внесет свои коррективы. Естественно, чем больше ваш счет, тем ближе будет реальный портфель к теоретическому. Допустим, вместо 50 000 долларов вы оперируете пятью миллионами долларов.
Вы хотите инвестировать 12,787% в 1псиЬеаБ1 (если речь идет только об этих четырех инвестиционных альтернативах) и поэтому будете инвестировать 5 000 000*0,12787 =$639 350. При цене 20 долларов за акцию вы бы купили 639350/20=31967,5 акций. Учитывая круглый лот, вы купите 31900 акций, отклоняясь от оптимального значения примерно на 0,2%. Когда для инвестирования у вас есть только 50 000 долларов, вы купите 300 акций вместо оптимального количества 319,675 и таким образом отклонитесь от оптимального значения примерно на 6,5%. \r\nМножители Лагранжа имеют достаточно интересную интерпретацию. Переменная Ц = -5У / 5Е, т. е. Ь,, является скоростью изменения дисперсии при изменении ожидаемых прибылей. В нашем примере, где Ц = - 2,6394, мы можем сказать, что V изменяется со скоростью -Ц, или со скоростью 2,6394 едини-Для интерпретации переменной Ц мы заменим формулу 8Х.= 1 на 8Х.= М, где М —сумма инвестиций (в долларах). Таким образом, Ь2 = 8У/ /8М. Другими словами, Ь2 представляет собой скорость изменения риска при уве-
Теперь вернемся к дисперсии всего портфеля, мы можем использовать уравнения (6.06) для определения дисперсии. Можно задействовать любой вариант уравнения с (6.06а) по (б.Обг), мы воспользуемся вариантом а:
Подставим значения в уравнение (6.06а) (стр. 281): Таким образом, при Е = 0,14 самое низкое значение V = 0,0725872809. Если мы захотим протестировать значение Е = 0,18, то снова начнем с расширенной матрицы, только на этот раз правая верхняя ячейка будет равна 0.18.\r\nXI СО^, j \r\n0,12391 * 0,12391 * 0,1 0,0015353688\r\n0,12391 * 0,12787 * -0,0237 -0,0003755116\r\n0,12391 * 0,38407 * 0,01 0,0004759011\r\n0,12391 * 0,36424 * 0 0\r\n0,12787 * 0,12391 * -0,0237 -0,0003755116\r\n0,12787 * 0,12787 * 0,25 0,0040876842\r\n0,12787 * 0,38407 * 0,079 0,0038797714\r\n0,12787 * 0,36424 * 0 0\r\n0,38407 * 0,12391 * 0,01 0,0004759011\r\n0,38407 * 0,12787 * 0,079 0,0038797714\r\n0,38407 * 0,38407 * 0,4 0,059003906\r\n0,38407 * 0,36424 * 0 0\r\n0,36424 * 0,12391 * 0 0\r\n0,36424 * 0,12787 * 0 0\r\n0,36424 * 0,38407 * 0 0\r\n0,36424 * 0,36424 * 0 0\r\n0,0725872809
\r\nПервоначальная расширенная матрица\r\nX, Хз Х4 ь, Ц 1 Ответ\r\n0,095 0,13 0,21 0,085 0 0 | 0,18\r\n1 1 1 1 0 0 : 1\r\n0,1 -0,023 0,01 0 0,095 1 1 0\r\n-0,023 0,25 0,079 0 0,13 1 ! 0\r\n0,01 0,079 0,4 0 0,21 1 ! 0\r\n0 0 0 0 0,085 1 1 0\r\nС помощью построчных операций получим единичную матрицу:
\r\nX, X, Хз Х4 ь, ц 1 Ответ
1 \r\n1 0 0 0 0 0 ! 0,21401= Х1 \r\n0 1 0 0 0 0 1 0,22106= Хз \r\n0 0 1 0 0 0 1 0,66334= Х3 \r\n0 0 0 1 0 0 | -0,0981= Х4 \r\n0 0 0 0 1 0 | -1,3197/0,5 = -2,639 = ц\r\n0 0 0 0 0 1 ! 0,11217/0,5 = 0,22434 = 4\r\n
На этот раз в четвертой ячейке столбца ответов мы получили отрицательный ре-зультат.
Это означает, что нам следует инвестировать отрицательную сумму в размере 9,81% капитала в сберегательный счет. Чтобы решить проблему отрица-тельного X; (т.е. когда значение на пересечении строки 1 и крайнего правого столбца меньшее или равно нулю), мы должны удалить из первоначальной рас-ширенной матрицы строку 1 + 2 и столбец 1 и решить задачу для новой расши-ренной матрицы. Если значения последних двух строк крайнего правого столбца меньше или равны нулю, нам не о чем беспокоиться, поскольку они соответствуют множителям Лагранжа и могут принимать отрицательные значения. Так как отрицательное значение переменной соответствует отрицательному весу четвертого компонента, мы удалим из первоначальной расширенной матрицы четвертый столбец и шестую строку. Затем используем построчные операции для проведения элементарных преобразований, чтобы получить единичную матрицу:Первоначальная расширенная матрица\r\nх, X, Хз Ц Ц\r\n0,095 0,13 0,21 0 0\r\n1 1 1 0 0\r\nод -0,023 0,01 0,095 1\r\n-0,023 0,25 0,079 0,13 1\r\n0,01 0,079 0,4 0,21 1\r\n\r\nX, X, Хз L, Ц Ответ\r\n1 0 0 0 0 0,1283688 = Х{\r\n0 1 0 0 0 0,1904699 =Х2\r\n0 0 1 0 0 0,6811613 =Х3\r\n0 0 0 1 0 -2,38/0,5 = -4,76 = L,\r\n0 0 0 0 1 0,210944 /0,5 = 0,4219 = L\r\n
Когда вы удаляете строки и столбцы, важно помнить, какие строки каким пере-менным соответствуют, особенно когда таких строк и столбцов несколько. Допу-стим, нам надо найти веса в портфеле при Е = 0,1965. Единичная матрица, кото-рую мы сначала получим, будет содержать отрицательные значения для весов Toxico (X1) и сберегательного счета (Х4). Поэтому вернемся к нашей первоначаль-ной расширенной матрице:
Первоначальная расширенная матрица\r\nх, Xz Хз Х4 Ц Ц 1 Ответ Относится к\r\n0,095 0,13 0,21 0,085 0 0 ! 0,1965 Toxico\r\n1 1 1 1 0 0 і 1 Incubeast\r\n0,1 -0,023 0,01 0 0,095 1 ! 0 LA Garb\r\n-0,023 0,25 0,079 0 0,13 1 ! 0 Сбер. счет\r\n0,01 0,079 0,4 0 0,21 1 ! о L,\r\n0 0 0 0 0,085 1 і 0 L,\r\n
Теперь удалим строку 3 и столбец 1 (они относятся к Тохісо), а также удалим строку 6 и столбец 4 (они относятся к сберегательному счету):
Первоначальная расширенная матрица\r\nx, Хз Lj L2 Ответ Относится к\r\n0,13 0,21 0 0 0,1965 Incubeast\r\n1 1 0 0 1 LA Garb\r\n0,25 0,079 0,13 1 0 L,\r\n0,079 0,4 0,21 1 0 L2\r\n
Итак, мы будем работать со следующей матрицей: Первоначальная расширенная матрица \r\nx, Хз h L2 Ответ Относится к\r\n0,13 0,21 0 0 0,1965 Incubeast\r\n1 1 0 0 1 LA Garb\r\n0,25 0,079 0,13 1 0 L,\r\n0,079 0,4 0,21 1 0 h\r\n \r\n\\ Х3 ь, Ч ; Ответ Относится к\r\n1 0 0 о 0,169 1псиЬеа$1\r\n0 1 0 о ; 0,831 1А СагЬ\r\n0 0 1 0 -2,97/0,5 = -5,94 Ц\r\n0 0 0 1 0,2779695 / 0,5 = 0,555939 \r\n
Решить матрицу можно также с помощью обратной матрицы коэффициентов. Обратная матрица при умножении на первоначальную матрицу дает единичную матрицу. В матричной алгебре матрица часто обозначается выделенной заглавной буквой. Например, мы можем обозначить матрицу коэффициентов буквой С. Обратная матрица помечается верхним индексом -1. Обратная матрица к С обозначается как СЧтобы использовать этот метод, необходимо определить обратную матрицу для матрицы коэффициентов. Для этого добавим к матрице коэффициентов единичную матрицу. В примере с 4 акциями:
Первоначальная расширенная матрица\r\nX, Хз х4 ц Ц Единичная матрица\r\n0,095 0,13 0,21 0,085 0 0 1 0 0 0 0 0\r\n1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0\r\n0,1 -0,023 0,01 0 0,095 1 0 0 1 0 0 0\r\n-0,023 0,25 0,079 0 0,13 1 0 0 0 1 0 0\r\n0,01 0,079 0,4 0 0,21 1 0 0 0 0 1 0\r\n0 0 0 0 0,085 1 0 0 0 0 0 1\r\n
Используя построчные операции, преобразуем матрицу коэффициентов в еди-ничную матрицу. Так как каждая построчная операция, проведенная слева, будет проведена и справа, мы преобразуем единичную матрицу справа в обратную мат-рицу С-1\'\r\n с С1 \r\n1 0 0 0 0 0 2,2527 -0,1915 10,1049 0,9127 -1,1370 -9,8806\r\n0 1 0 0 0 0 2,3248 -0,1976 0,9127 4,1654 -1,5726 -3,5056\r\n0 0 1 0 0 0 6,9829 -0,5935 -1,1370 -1,5726 0,6571 2,0524\r\n0 0 0 1 0 0 -11,5603 1,9826 -9,8806 -3,5056 2,0524 11,3337\r\n0 0 0 0 1 0 -23,9957 2,0396 2,2526 2,3248 6,9829 -11,5603\r\n0 0 0 0 0 1 2,0396 -0,1734 -0,1915 -0,1976 -0,5935 1,9826\r\n
Теперь мы можем умножить обратную матрицу С-1 на первоначальный крайний правый столбец, который в нашем случае выглядит следующим образом:
Е
Б
О
О
О
О
При умножении матрицы на вектор-столбец мы умножаем все элементы первого столбца матрицы на первый элемент вектора, все элементы второго столбца матрицы на второй элемент вектора, и так далее. Если бы вектор был вектор- строка, мы бы умножили все элементы первой строки матрицы на первый элемент вектора, все элементы второй строки матрицы на второй элемент вектора, и так далее. Так как речь идет о векторе-столбце и последние четыре элемента нули, нам надо умножить первый столбец обратной матрицы на Е (ожидаемая прибыль портфеля) и второй столбец обратной матрицы на S (сумма весов). Мы получим следующий набор уравнений, в которые можно подставить значения Е и S и получить оптимальные веса.
Матричная алгебра включает в себя гораздо больше тем и приложений, чем было рассмотрено в этой главе. Существуют и другие методы матричной алгебры для решения систем линейных уравнений. Часто вы встретите ссылки на правило Крамера, симплекс-метод или симплексную таблицу. Эти методы сложнее, чем методы, описанные в этой главе. Существует множество применений матричной алгебры в бизнесе и науке, мы же затронули ее настолько, насколько необходимо для наших целей. Для более подробного изучения матричной алгебры и ее применений в бизнесе и науке рекомендую прочитать книгу «Множества, матрицы и линейное программирование» Роберта Л. Чилдресса (Sets, Matrices, and Linear Programming, by Robert L. Childress). Следующая глава посвящена методам, уже рассмотренным в этой главе, применительно к любому торгуемому инструменту с использованием оптимального f и механических систем.