Предложенные методы эффективны только тогда, когда используемые входные
На некоторое время оставим саму идею оптимального f (мы вернемся к нему позже). Легче всего понять параметрическое выведение эффективной границы, если рассмотреть портфель акций.
Будем исходить из того, что эти акции находятся на денежном счете и полностью оплачены, т.е. они куплены не за счет кредита, полу-ченного от брокерской фирмы (не на маржинальном счете). С учетом этого ограничения мы выведем эффективную границу портфелей, т.е. из предложенных акций создадим комбинацию, которая будет иметь наименьший уровень ожидаемого риска для данного уровня ожидаемого выигрыша. Эти уровни задаются степенью неприятия риска инвестором. Теория Марковица (или Современная теория портфеля) часто называется теорией Е— V (Expected return (ожидаемая прибыль) —Variance of return (дисперсия прибыли)). Отметьте, что входные параметры основаны на данных по прибыли, таким образом, входные данные для выведения эффективной границы — это прибыли, которые мы ожидаем по данной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей. Прибыли по акциям определяются как дивиденды, ожидаемые за определенный период времени, плюс повышение рыночной стоимости акций (или минус уменьшение) за этот же период, выраженные в процентах. Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из которых — в акции, а одна — в сберегательный счет с процентной ставкой 8 1/2% в год. Отметьте, что в этом примере продолжительность периода инвестирования (когда мы измеряем прибыли и их дисперсии) — 1 год:Инвестиция Ожидаемая прибыль \r\nToxico
Incubeast Corp. LA Garb
9,5% 13% 21%
10% 25% 40%
\r\n
\r\nДля получения дополнительной информации прочитайте Fama, Eugene E, «Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market», Management Science 11, pp. 404 — 419, 1965. Фама продемонстрировал параметрические методы поиска эффективной границы для стабильно распределенных ценных бумаг (распределения которых обладают одинаковым характеристическим показателем А), когда прибыли компонентов зависят от одного индекса основного рынка.
Существует и другая работа, посвященная выведению эффективной границы в условиях бесконечной дисперсии прибылей компонентов портфеля. Эти методы не рассматриваются в данной книге, но для заинтересованных читателей есть ссылки на соответствующие статьи. О распределении Парето вы сможете узнать из приложения В. Несколько слов о бесконечной дисперсии сказано в разделе «Распределение Стьюдента» в приложении В. \r\nСберегательный счет 8,5% 0%Если прибавить к значению ожидаемой прибыли единицу, мы получим HPR. Также мы можем извлечь квадратный корень из значения ожидаемой дисперсии прибыли и получить ожидаемое стандартное отклонение прибыли. Используемый временной горизонт не имеет значения при условии, что он одинаковый для всех рассматриваемых компонентов. Если речь идет о прибыли, неважно, что мы используем: год, квартал, 5 лет или день, — пока ожидаемые прибыли и стандартные отклонения для всех рассматриваемых компонентов имеют одни и те же временные рамки.
Инвестиция Ожидаемая прибыль (HPR) Ожидаемое стандартное отклонение
прибыли
Toxico 1,095 0,316227766
Incubeast Corp. 1,13 0,5
LA Garb 1,21 0,632455532
1,2
1,1
Сберегательный счет 1,085 0
Ожидаемая прибыль — это то же самое, что и потенциальная прибыль, а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей ~ то же самое, что и потенциальный риск. Отметьте, что данная модель двумерная. Мы можем сказать, что модель представлена правым верхним квадрантом декартовой системы координат (см. рисунок 6-1), где по вертикали (ось Y) откладывается ожидаемая прибыль, а по горизонтали (ось X) откладывается ожидаемая дисперсия, или стандартное отклонение прибылей.
1,4 г
1,3 -
La Garb *
Incubeast
Сберегательный счет Toxico *
* * \r\nглаве, а будем обсуждать теорию Е — V в классическом варианте. Марковиц также утверждал, что портфель, полученный из теории Е — V, оптимален только в том случае, если полезность, т.е. «удовлетворение» инвестора, является лишь функцией ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли.
Марковиц указал, что инвестор может использовать и более высокие моменты распределения, а не только первые два (на которых основана теория Е — V), например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.Потенциальный риск — очень емкое понятие, он является функцией гораздо большего числа переменных и включает более высокие моменты распределений. Тем не менее мы будем определять потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен. Риск намного шире, и его реальная природа плохо поддается количественной оценке.
Первое, что должен сделать инвестор, желающий использовать теорию Е — V, это придать количественный смысл своим предположениям относительно ожидаемых прибылей и дисперсий прибылей рассматриваемых ценных бумаг на определенном временном горизонте (периоде удержания). Эти параметры можно получить эмпирически. Инвестор может рассмотреть прошлую историю ценных бумаг и рассчитать прибыли и их дисперсии за определенные периоды. Как уже было отмечено, термин «прибыли» означает не только дивиденды по ценной бумаге, но и любые повышения стоимости ценной бумаги (в процентах). Дисперсия является статистической дисперсией процентных прибылей. Для определения ожидаемой прибыли в период удержания можно использовать линейную регрессию по прошлым прибылям. Дисперсия как входной параметр определяется путем расчета дисперсии каждой прошлой точки данных на основе ее спрогнозированного значения (а не на основе линии регрессии, рассчитанной для прогнозирования следующей ожидаемой прибыли). Вместо того чтобы определять эти значения эмпирическим способом, инвестор может оценить значения будущих прибылей и дисперсий1. Возможно, наилучшим способом нахождения параметров является комбинация обоих подходов. Инвестору следует использовать эмпирический подход (т.е. использовать исторические данные), затем, если это необходимо, можно учесть прогноз относительно будущих значений ожидаемых прибылей и дисперсий. Следующими параметрами, которые должен знать инвестор для использования данного метода, являются коэффициенты линейной корреляции прибылей.
Эти параметры можно получить эмпирически, путем оценки или с помощью комбинации обоих подходов. При определении коэффициентов корреляции важно использовать точки данных того же временного периода, который был использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий. Другими словами, если вы используете годовые данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведете расчеты на годовой основе), следует использовать годовые данные и при определении коэффициентов корреляции. Если вы используете дневные данные для определения ожидаемых прибьыей и дисперсии прибылей (т.е. ведете расчеты на дневной основе), тогда вам следует использовать дневные данные для определения коэффициентов корреляции. Вернемся к нашим четырем инвестициям — Toxico, Incubeast Corp., LA Garb и сберегательному счету. Присвоим им символы Т, 1, L и S соответственно. Ниже приведена таблица их коэффициентов линейной корреляции:I L S \r\nТ I
ь
-0,15
0,05 0,25
\r\nНа основе полученных параметров мы можем рассчитать ковариацию между двумя ценными бумагами:
СОУ * Б * в.
а, б а, б а б
СОУ 6= ковариация между ценной бумагой а и ценной бумагой б;
Яа 6 = коэффициент линейной корреляции между а и б;
8а = стандартное отклонение ценной бумаги а; 86= стандартное отклонение ценной бумаги б.
Стандартные отклонения Б а и Бб можно найти, взяв квадратный корень дисперсии ожидаемых прибылей для ценных бумаг а и б. Вернемся к нашему примеру. Мы можем определить ковариацию между Тохюо (Т) и 1исиЬеав1 (I) следующим образом:
Зная ковариацию и стандартные отклонения, мы можем рассчитать коэффициент линейной корреляции:
где СОУ. 6 = ковариация между ценной бумагой а и ценной бумагой б; Яа 6 = коэффициент линейной корреляции между а и б;
(6.01) где
Отметьте, что ковариация ценной бумаги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент линейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1: \r\n
\r\nСОУ
Х,Х
(6.03) \r\n
\r\n= 1 # &
с А \'
\'X\'
где СОУх х - ковариация ценной бумаги самой к себе;
Бх= стандартное отклонение ценной бумаги; Ух= дисперсия ценной бумаги.
Теперь можно создать таблицу ковариаций для нашего примера с четырьмя инвестиционными альтернативами: \r\n
\r\n0,1
0,01
0
Т
¦ 0,0237 \r\n0,079 0
0,4 0
- 0,0237
0,01
0
0,25
0,079
0
I L S
0 0 \r\n
\r\nМы собрали необходимую параметрическую информацию и теперь попытаемся сформулировать основную проблему. Во-первых, сумма весов ценных бумаг, со-ставляющих портфель, должна быть равна 1, так как операции ведутся на денежном счете, и каждая ценная бумага полностью оплачена:
где N == число ценных бумаг, составляющих портфель; Х = процентный вес ценной бумаги L
Важно отметить, что в уравнении (6.04) каждое значение Х должно быть неотрицательным числом.
Следующее равенство относится к ожидаемой прибыли всего портфеля — это Е в теории Е — V. Ожидаемая прибыль портфеля является суммой прибылей его компонентов, умноженных на соответствующие веса:
(6.05)
i—1
где Е = ожидаемая прибыль портфеля;
N = число ценных бумаг, составляющих портфель;
Xi = процентный вес ценной бумаги 1;
ожидаемая прибыль ценной бумаги г И наконец, мы подошли к параметру V,
т. е дисперсии ожидаемых прибылей:
где V = дисперсия ожидаемых прибылей портфеля;
N = число ценных бумаг, составляющих портфель;
X. = процентный вес ценной бумаги i;
Sj = стандартное отклонение ожидаемых прибылей ценной бумаги i;
COV. = ковариация ожидаемых прибылей между ценной бумагой i и ценной бумагой];
R . = коэффициент линейной корреляции ожидаемых прибылей между ценной бумагой i и ценной бумагой j. \r\n
Нашей целью является поиск значений Х (причем их сумма равна единице), ко-торые дают наименьшее значение V для определенного значения Е. Максимизировать (или минимизировать) функцию Н(Х, У) при наличии условия или ограничения 0(Х, У) можно с помощью метода Лагранжа.
Для этого зададим функцию Лагранжа Б(Х, У, Ь):(6.07) Б(Х,У,Ь) = Н(Х,У) + Ь * С(Х,У)
Обратите внимание на форму уравнения (6.07). Новая функция Б(Х,У,Ь) равна множителю Лагранжа Ь (его значение мы пока не знаем), умноженному на ограничительную функцию 0(Х,У), плюс первоначальная функция Н(Х,У), экстремум которой мы и хотим найти.
Решение этой системы из трех уравнений даст точки (Х1У1) относительного экстремума:
БхХ,У,Ь) = О Бу(Х,У,Ь) = О Бь(Х,У,Ь) = О
Допустим, мы хотим максимизировать произведение двух чисел при условии, что их сумма равна 20. Пусть Х и У два числа. Таким образом, Н(Х,У) = Х * У является функцией, которая должна быть максимизирована при наличии ограничительной функции 0(Х,У) = Х + У - 20 = 0. Зададим функцию Лагранжа: Б(Х,У,Ь) = Х * У + Ь * (Х + У- 20) Бх(Х,У,Ь)=У+Ь Бу(Х,У,Ь)=Х+Ь Бь(Х,У,Ь)= Х +У-20
Теперь приравняем БА(Х,У,Ь) и Бу(Х,У,Ь) нулю и решим каждое из них для получения Ь: У+Ь=0 У=-Ь и Х+Ь=0 Х=-Ь
Теперь, приняв БЬ(Х,У,Ь) = 0, мы получим Х + У - 20 = 0. Наконец, заменим Х и У эквивалентными выражениями, содержащими Ь: (-Ь) + (-Ь) - 20 = О 2 * -Ь - 20 Ь=-10
Так как У = -Ь, то У = 10 и Х = 10. Максимальное произведение: 10*10= 100. Метод множителей Лагранжа был продемонстрирован для двух переменных и одной 01 раничительной функции. Метод можно также применять, когда есть более чем две переменные и более чем одна ограничительная функция. Далее для примера следует форма для поиска экстремума, когда есть три переменные и две ограничительные функции:
(6.08) Р(хдг,ц,ь2) = н(х,та + ь, * сдхдг) + ц * с2(ххг)
В этом случае, чтобы определить точки относительных экстремумов, вам надо решить систему из пяти уравнений с пятью неизвестными. Позже мы покажем, как это сделать.
Сформулируем проблему несколько иначе: необходимо минимизировать V, т.е. дисперсию всего портфеля, с учетом двух следующих ограничений:
где К= число ценных бумаг, составляющих портфель; Е = ожидаемая прибыль портфеля; Х = процентный вес ценной бумаги 1;
U. = ожидаемая прибыль ценной бумаги i.
Минимизация ограниченной функции многих переменных может быть проведена путем введения множителей Лагранжа и частного дифференцирования по каждой переменной. Поэтому мы сформулируем поставленную задачу в терминах функции Лагранжа, которую назовем Т:
где V= дисперсия ожидаемых прибылей портфеля из уравнения (6.06);
N = число ценных бумаг, составляющих портфель;
Е = ожидаемая прибыль портфеля; X. = процентный вес ценной бумаги i;
U. = ожидаемая прибыль ценной бумаги i;
L, = первый множитель Лагранжа;
L = второй множитель Лагранжа.
Мы получим портфель с минимальной дисперсией (т.е. минимальным риском), приравняв к нулю частные производные функции Т по всем переменньм.
Давайте снова вернемся к нашим четырем инвестициям: Toxico, Incubeast Corp., LA Garb и сберегательному счету. Если мы возьмем первую частную производную Т по Х1, то получим:
(6.12) 8Т/6Х, = 2*X,*COV1 , +2*X2*COV, 2 + 2*X3*COV, 3 +
Приравняв это выражение нулю и разделив обе части уравнения на 2, получим: X, * COV, t + Xj * COV, 2 + X3 * COVj 3 +
Таким же образом:
бт/бх^х, *cov2 , + x2*cov2 2 + x3*cov2 3 +x4*cov2 4+ 6T / 5X3 = Xt * COV3 J + X, * COV3 2 + x3 * COV3 3 + x4 * cov3 4 +
У нас уже есть 5Т / 8Lp поскольку это уравнение (6.09), и 8Т / 6L2 — это уравнение (6.10).
Таким образом, проблему минимизации V при данном Е для портфеля с N компонентами можно решить с помощью системы N + 2 уравнений с N + 2 неиз-вестными. Для случая с четырьмя компонентами обобщенная форма будет иметь следующий вид:
X, * COV, , + х2 »"coy, 2 + хз * COV, з + х4 * COV, 4 +
x, * соу2 , + ХГ * соу2 ,+Х3* соу2 3+Х4 * соу2 4 + х,*соу3 , + Х2*соу, г + х3 *соу, 3 + х4*соу3 4 + х^соу, , + Х2* соу42 + x, * соу4 3+х4*соу4 4 +
где Е = ожидаемая прибыль портфеля;
Х1 = процентный вес ценной бумаги ц
и = ожидаемая прибыль по ценной бумаге ц
COV А, Б = ковариация между ценными бумагами А и Б;
Ll = первый множитель Лагранжа;
12 = второй множитель Лагранжа.
Обобщенную форму можно использовать для любого числа компонентов. Например, если речь идет о трех компонентах (т.е. N = 3), система уравнений будет выглядеть следующим образом:
^ * 00% , + хз * соу, 2 + х3 * соу^ 3 + 0,5 * ц * и,+ x, * соу2 , + x, * соу2 2+ х3 * соу2 3+ 0,5 * ц * и2 + Х1 * соу3 , + x, * соу3 2 + ХЗ * соу3 з + 0,5 * ц * и3 +
Прежде чем решать систему уравнений, необходимо задать уровень ожидаемой прибыли Е. Решением будет комбинация весов, которая даст искомое Е при наименьшей дисперсии. После того как вы определитесь с выбором Е, у вас будут все входные переменные, необходимые для построения матрицы коэффициентов. Переменная Е в правой части первого уравнения — это значение прибыли. для которой вы хотите определить комбинацию ценных бумаг в портфеле. Первое уравнение говорит о том, что сумма всех ожидаемых прибылей, умноженных на соответствующие веса, должна равняться заданному Е. Второе уравнение отражает тот факт, что сумма весов должна быть равна 1. Была показана матрица для случая с тремя ценными бумагами, но вы можете использовать обобщенную форму для N ценных бумаг.
Возьмем ожидаемые прибыли и ковариации из уже известной таблицы ковариаций и подставим коэффициенты в обобщенную форму. Таким образом из коэффициентов обобщенной формы можно создать матрицу. В случае четырех компонентов = 4) мы получим 6 рядов (Ы + 2):\r\nХ1 Х2 Хз Х4 Ь1 Ь2 Ответ\r\n0,095 0,13 0,21 0,085 Е\r\n1 1 1 1 1\r\n0,1 - 0,0237 0,01 0 0,095 1 0\r\n- 0,0237 0,25 0,079 0 0,13 1 0\r\n0,01 0,079 0,4 0 0,21 1 0\r\n0 0 0 0 0,085 1 0\r\n
Отметьте, что мы получили 6 столбцов коэффициентов. Если добавить столбец свободных членов к матрице коэффициентов, мы получим расширенную матрицу.
Заметьте, что коэффициенты в матрице соответствуют нашей обобщенной форме:
x, * соу, , + х2 * соу, 2 + хз * соу, з + Х4 * соу, 4 + x, * соу2 , + х2* соу2 2 + х3 * соу2 з + Х4 * соу2 4 + x, * соу3 , + x, * соу3 2 + х3* соу3 з + Х4 * соу3 4 + x, * соу4 , + x, * соу4 2 + х3 * соу4 з + х4» соу4 4 +
Матрица является удобным представлением этих уравнений. Чтобы решить сис-тему уравнений, необходимо задать Е. Ответы, полученные при решении этой системы уравнений, дадут оптимальные веса, минимизирующие дисперсию прибыли всего портфеля для выбранного уровня Е.
Допустим, мы хотим найти решение для Е = 0,14, что соответствует прибыли в 14%. Подставив в матрицу 0,14 для Е и нули для переменных Ь1 и Ь2 в первых двух строках, мы получим следующую матрицу:\r\nХ1 Х2 Х3 Х4 Ь1 Ь2 Ответ\r\n0,095 0,13 0,21 0,085 0 0 0,14\r\n1 1 1 1 0 0 1\r\n0,1 - 0,0237 0,01 0 0,095 1 0\r\n- 0,0237 0,25 0,079 0 0,13 1 0\r\n0,01 0,079 0,4 0 0,21 1 0\r\n0 0 0 0 0,085 1 0\r\n
Необходимо найти N + 2 неизвестных с помощью N + 2 уравнений.