Линии рынка капитала (Capital Market Lines — CMLs)
На рисунке 7-1 точка А отражает прибыль по безрисковым активам. Мы будем считать, что это прибыль по 91-дневным казначейским обязательствам. Так как риск в данном случае (стандартное отклонение прибылей) отсутствует, точка А находится на нуле по горизонтальной оси.
\r\n
АИРЯ
1,06
1,04
0,04
0,06
Рисунок 7-1 Увеличение прибылей с помощью безрисковых активов
Линия СМЬ
Эффективная граница
1,02
0
0,02
0,08
Стандартное отклонение
\r\nТочка В соответствует касательному портфелю. Это единственный портфель, ле-жащий на эффективной границе, которого коснется линия, проведенная из точки с координатой: безрисковая ставка прибыли на вертикальной оси и ноль на горизонтальной оси. Любая точка на отрезке АВ соответствует портфелю из точки В в комбинации с безрисковыми активами. В точке В все средства вложены только в портфель, а в точке А только в безрисковые активы. Любая точка между А и В соответствует определенной комбинации, когда часть активов находится в портфеле, а часть в безрисковых активах. Отметьте, что портфель на отрезке АВ более выгоден, чем любой портфель на эффективной границе при том же уровне риска, так как, находясь на отрезке АВ, он имеет более высокую прибыль при том же уровне риска. Таким образом, инвестору, который хочет получить менее рискованный портфель, чем портфель В, следует инвестировать средства в портфель В и в безрисковые активы, а не смещаться по эффективной границе в точку с меньшим риском.
Линия, выходящая из точки А безрискового уровня на вертикальной оси и нуля на горизонтальной оси и касающаяся в одной точке эффективной границы, называется линией рынка капитала (СМЬ). Справа от точки В линия СМЬ представляет портфели, где инвестор занимает средства для инвестирования в портфель В. Отметьте, что инвестору, который хочет получить большую прибыль, чем дает портфель В, следует поступить именно таким образом, поскольку портфели на линии СМЬ справа от точки В дают более высокую прибыль, чем портфели на эффективной границе при том же уровне риска. Как правило, В — очень хорошо диверсифицированный портфель. Большинство портфелей, расположенных справа сверху и слева снизу на эффективной границе, имеют очень мало компонентов, портфели в середине эффективной границы, где проходит касательная, достаточно хорошо диверсифицированы. Традиционно считается, что все разумные инвесторы хотят получить максимальную прибыль при данном риске и принять наименьший риск при заданной прибыли. Таким образом, все инвесторы хотят быть где-то на линии СМЬ. Другими словами, все инвесторы хотят держать один и тот же портфель, но с различной долей заемных средств. Данное различие между инвестиционным решением и инвестированием с использованием заемных средств известно как теорема разделения. Мы будем исходить из того, что вертикальная шкала (Е в теории Е — V) выражает арифметическое среднее ИРЯ (АИРЯ) для портфелей, а горизонтальная шкала (V) отражает стандартное отклонение ИРК Для заданной безрисковой ставки мы можем определить, где находится \r\nкасательный портфель на нашей эффективной границе, так как его координаты (AHPR, V) максимизируют следующую функцию:(7.0 la) Касательный портфель = MAX{(AHPR - (1 + RFR)) / SD},
где МАХ{} = максимальное значение;
AHPR =арифметическое среднее HPR, т. е. координата Е данного портфеля на эффективной границе;
SD = стандартное отклонение HPR, т. е. координата V данного портфеля на
эффективной границе;
RFR== безрисковая ставка (risk-free rate).
В уравнении (7.0la) формула внутри скобок ({}) представляет собой отношение Шарпа. Отношение Шарпа для портфеля — это отношение ожидаемых избыточных значений прибыли к стандартному отклонению. Портфель с наибольшим отношением Шарпа является портфелем, где линия CML касается эффективной границы при данном значении RFR.
Линия CML
Следующая таблица показывает, как использовать уравнение (7.01а). В первых двух столбцах указаны координаты различных портфелей на эффективной границе. Координаты даны в формате (AHPR, SD), что соответствует осям Y и Х рисунка 7-1. В третьем столбце представлены данные, полученные из уравнения (7.01а), при безрисковой ставке 1,5% (AHPR= 1,015). Мы исходим из того, что HPR имеют квартальные значения, таким образом, квартальная безрисковая ставка 1,5% примерно равна годовой безрисковой ставке 6%. Например, для третьего набора координат (1,002; 0,00013) получим:
(AHPR - (1 + RFR)) / SD = (1,002 - (1 + 0,015)) / 0,00013
= (1,002- 1,015)/0,00013 = -0,013/0,00013 = -100
Проведем данный расчет для каждой точки на эффективной границе. Максимальное значение уравнения (7.01а) 0,502265 соответствует координатам (1,03; 0,02986), они задают точку, которая соответствует точке В на рисунке 7-1, где линия СМЬ касается эффективной границы. Точка касания соответствует определенному портфелю на эффективной границе. Отношение Шарпа определяет наклон СМЬ, причем самым крутым наклоном обладает касательная к эффективной границе.
Эффективная граница \r\n
\r\nAHPR
SD
Уравнение (7.01а)
Процент AHPR \r\n
\r\n0,00% 1,0150
0,11% 1,0150
0,44% 1,0151
1,00% 1,0152
RFR = 0,015 0
1,00000 1,00100 1,00200 1,00300 1,00400
0,00000 0,00003 0,00013 0,00030 0,00053
-421,902 -100,000 -40,1812 -20,7184
1,78% 1,0153 \r\nПродолжение
ЛИРЯ Эффективная граница Уравнение (7.01а)\r\n1,00500 0,00083 -12,0543 2,78% 1,0154\r\n1,00600 0,00119 -7,53397 4,00% 1,0156\r\n1,00700 0,00163 -4,92014 5,45% 1,0158\r\n1,00800 0,00212 -3,29611 7,11% 1,0161\r\n1,00900 0,00269 -2,23228 9,00% 1,0164\r\n1,01000 0,00332 -1,50679 11,11% 1,0167\r\n1,01100 0,00402 -0,99622 13,45% 1,0170\r\n1,01200 0,00478 -0,62783 16,00% 1,0174\r\n1,01300 0,00561 -0,35663 18,78% 1,0178\r\n1,01400 0,00650 -0,15375 21,78% 1,0183\r\n1,01500 0,00747 0 25,00% 1,0188\r\n1,01600 0,00849 0,117718 28,45% 1,0193\r\n1,01700 0,00959 0,208552 32,12% 1,0198\r\n1,01800 0,01075 0,279036 36,01% 1,0204\r\n1,01900 0,01198 0,333916 40,12% 1,0210\r\n1,02000 0,01327 0,376698 44,45% 1,0217\r\n1,02100 0,01463 0,410012 49,01% 1,0224\r\n1,02200 0,01606 0,435850 53,79% 1,0231\r\n1,02300 0,01755 0,455741 58,79% 1,0238\r\n1,02400 0,01911 0,470873 64,01% 1,0246\r\n1,02500 0,02074 0,482174 69,46% 1,0254\r\n1,02600 0,02243 0,490377 75,12% 1,0263\r\n1,02700 0,02419 0,496064 81,01% 1,0272\r\n1,02800 0,02602 0,499702 87,12% 1,0281\r\n1,02900 0,02791 0,501667 93,46% 1,0290\r\n1,03000 0,02986 0,502265 (пик) 100,02% 1,0300\r\n1,03100 0,03189 0,501742 106,79% 1,0310\r\nПродолжение \r\nЛИРЯ Эффективная граница Уравнение (7.01а) Линия СМЬ Процент ЛИРЯ\r\n1,03200 0,03398 0,500303 113,80% 1,0321
1,03300 0,03614 0,498114 121,02% 1,0332
1,03400 0,03836 0,495313 128,46% 1,0343
1,03500 0,04065 0,492014 136,13% 1,0354
1,03600 0,04301 0,488313 144,02% 1,0366
1,03700 0,04543 0,484287 152,13% 1,0378
Линия СМЬ Процент ЛИРЯ
1,03800 0,04792 0,480004 160,47% 1,0391 \r\n1,03900 0,05047 0,475517 169,03% 1,0404\r\n1,04000 0,05309 0,470873 177,81% 1,0417\r\n1,04100 0,05578 0,466111 186,81% 1,0430\r\n1,04200 0,05853 0,461264 196,03% 1,0444\r\n1,04300 0,06136 0,456357 205,48% 1,0458\r\n1,04400 0,06424 0,451416 215,14% 1,0473\r\n1,04500 0,06720 0,446458 225,04% 1,0488\r\n1,04600 0,07022 0,441499 235,15% 1,0503\r\n1,04700 0,07330 0,436554 245,48% 1,0518\r\n1,04800 0,07645 0,431634 256,04% 1,0534\r\n1,04900 0,07967 0,426747 266,82% 1,0550\r\n1,05000 0,08296 0,421902 277,82% 1,0567\r\n
Следующий столбец «Процент» отражает процент активов, которые необходимо инвестировать в касательный портфель, если вы находитесь на линии СМЬ при определенном значении стандартного отклонения.
Другими словами, последняя строка в таблице (при стандартном отклонении 0,08296) соответствует наличию 277,82% ваших активов в касательном портфеле (основная сумма инвестиций и заем еще 1,7782 доллара на каждый инвестированный доллар для дальнейшего инвестирования). Процентное значение можно рассчитать, если знать стандартное отклонение касательного портфеля:Р=8Х/8Т,
где БХ = координата стандартного отклонения определенной точки на линии СМЬ;
БТ = координата стандартного отклонения касательного портфеля;
Р= процент активов, которые необходимо инвестировать в касательный портфель, чтобы быть на линии СМЬ для данного значения БХ.
Таким образом, если значение стандартного отклонения точки на линии СМЬ (0,08296) из последней строки таблицы разделить на значение стандартного отклонения касательного портфеля (0,02986), мы получим 2,7782, что соответствует 277,82%.
В последнем столбце таблицы показано ЛИРЯ линии СМЬ при данной координате стандартного отклонения. Оно рассчитывается следующим образом:
АСМЬ = (АТ * Р) + ((1 + ЯБЯ) * (1 - Р)),
где АСМЬ = ЛИРЯ линии СМЬ при данной координате риска, или соответствующем проценте, рассчитанном из (7.02);
ЛТ =значение ЛИРЯ касательной точки, полученное из (7.01а); Р= процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);
КЬЯ= безрисковая ставка. Стандартное отклонение определенной точки на линии СМЬ для данного АИРЯ рассчитывается следующим образом:
(7.04) 8Б=Р*8Т,
где ББ = стандартное отклонение в данной точке на линии СМЬ при определенном проценте Р, соответствующем данному ЛИРЯ;
Р = процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);
БТ = значение стандартного отклонения касательного портфеля.