§ 4а. Стохастические процентные ставки

Гп = д • (1)

?>п-1

Если (О,(^n)n^o, Р) _ стохастический базис (фильтрованное вероятностное пространство), описывающий стохастику финансового рынка и имеющуюся на нем "информацию" то, как уже отмеча

лось (§1е, гл.

Тем самым, и последовательность В = (Вп)п^0, и последовательность г — (г„)п^і являются предсказуемыми (см. § 1а, гл. II).

Это обстоятельство поясняет, почему в случае непрерывного времени на процентные ставки г = (r(t))t^o обычно накладывается требование предсказуемости (см. §5а и, подробнее, [250; гл. I]), которое автоматически выполнено, если Г = (r(t))t^о является непрерывным (или только непрерывным слева) процессом.

В дальнейшем мы рассматриваем лишь модели, в которых процентные ставки г = {r(t))t-^о являются диффузионными случайными процессами и, следовательно, имеют непрерывные траектории (так что упоминания о требовании предсказуемости становятся излишними).

В случае непрерывного времени t > 0 обычное определение процентной ставки г = (r(f))tj>0 банковского счета В = (Bt)t>o дается посредством соотношения

dBt = r(t)Bt dt, (2)

являющегося естественным "непрерывным" аналогом (1). Ясно, что

r(t) = (In Bt)\' (3)

и

Bt = Боехр|у r(s)dsj. (4)

Еще более важную роль понятие процентной ставки (short rate of interest, spot rate, instantaneous interest rate) играет при "опосредованном" задании эво люпии стоимостей облигаций (см. далее § 4с). Это обстоятельство объясняет большое число разнообразных моделей процентных ставок г = (r(i))t^o3 описываемых диффузионными уравнениями вида

dr{t) = a(t,r(t)) dt + b(t,r(t)) dWt (5)

или, скажем, уравнениями моделями типа "диффузия со скачками":

dr(t) = a(t, r(t)) dt + b(t, r(t)) dWt

+ J с(t, r(t-),x) (p{dt, dx) - v(dt, dx)), (6)

где p.

2. Приведем некоторые популярные модели процентных ставок г = И*))4^0, относящиеся К диффузионным моделям (5), где W = (Wt)t^O - стандартный винеровский процесс (броуновское движение), заданный на некотором стохастическом базисе (ft, (&t)t^o, Р)- Модель Мертона (R. С. Merton, [346]; 1973 г.):

(8)

Модель Васичека (О. Vasicek, [472]; 1977 г.):

dr(t) = (а - /3r(t)) dt + 7dWt.

dr(t)=adt + 1dWt. (7)

Модель Дотхана (L. Dothan, [111]; 1978 г.):

dr(t) = ar(t) dt + 7r(t) dWt. (9)

Модели Кокса, Ингерсолла u Росса (J.C. Cox, J.E.J. Ingersoll, S. A. Ross, [80], 1980 г.; [81], 1985 г.):

dr(t)=p(r(t))3/2dWt, (10)

dr{t) = (a-pr(t))dt + -y(r(t))1/2 dWt. (11)

Модель Хо u Ли (Т. Ho, S. Lee, [224]; 1986 г.):

dr{t) =a{t)dt + jdWt. (12)

Модель Блэка, Дермана и Тоя (F. Black, Е. Derman, W. Toy, [42], 1990 г.):

dr{t) = a{t)r{t)dt + j{t)dWt. (13)

Модели Холла и Уайта (J. Hull, A. White, [234]; 1990 г.):

dr{t) = (a(t) - /3(t)r(t)) dt + 7{t) dWt, (14)

dr(t) = (a(t) - P(t)r(t)) dt + 7(t) (r(t))1/2 d,Wt. (15)

Модель Блэка и Карасинского (F. Black, P. Karasinski, [43]; 1991 г.):

dr(t) = r(t)(a(t) - /3(t)lnr(t)) dt + i(t)r(t)dWt. (16)

Модель Зандмана и Зондермана (К. Sandmann, D. Sondermann, [422]; 1993 г.):

r(t) = ln(l + e(t)), (17)

где

dm = eW Ht) dt + 7(t) dWt). (18)

3. В статьях, где вводятся приведенные модели, дается и соответствующая мотивировка их рассмотрения.

Так, например, модель Васичека (8) вполне естественна, если считать, что процентная ставка колеблется около некоторого постоянного уровня а/0. (Из (8) видно, что при r(t) < а/Д у процесса появляется положительный снос, а при r(t) > а/0 - отрицательный; если а = 0, то уравнение (8) превращается в уравнение Орнштейна-Уленбека, рассмотренное в § За.)

Следует, однако, отметить, что многие эмпирические исследования поведения процентных ставок у облигаций (см., например, [69], [70]) показы-вают, что, вообще говоря, нельзя считать, что есть некоторое постоянное среднее значение (а/0), удаляясь от которого процентная ставка имеет тенденцию возвращения к этому значению (такое явление в англоязычной литературе называют mean reversion).

Это обстоятельство учитывается в моделях Халла и Уайта, в которых постоянный уровень а/0 заменяется на переменный a(t) /0(t), t^O.

Можно пойти и дальше, а именно, считать, что этот переменный уровень сам по себе является случайным процессом.

В этом отношении примером может служить

Модель Чена (L.

dr(t) = (a(t)-r(t)) dt+(i(t)r(t))1/2dWt\\ (19)

где a(t) и 7(t) являются случайными процессами диффузионного типа,

da(i) = (a - a(t)) dt + {a(t))1/2 dWf, (20)

dl(t) = (7 - lit)) dt + (7(t))1/2dW?; (21)

(a, 7 - константы; W1, W2 и W3 - независимые винеровские процессы).

Во многих приведенных моделях коэффициент диффузии ("волатиль- ность") считается зависящим от значения процентной ставки r(t), что объясняется, например, следующим образом: если процентная ставка становится большой, то должен быть и больший риск в обладании активом с соответствующей процентной ставкой, который определяется флуктуационными членами, скажем, (r(t))1^2 dWt в соответствующих уравнениях для r(t).

4. Приведем еще одну (весьма упрошенную) модель эволюции процентных ставок, навеянную следующими соображениями.

Естественно, что стохастический процесс г = (r(t))t^o есть, в определенном смысле, отражение состояния "экономики" некоторая оценка этого состояния.

Исходя из этого, предположим, что состояние "экономики" моде-лируется, скажем, однородным скачкообразным марковским процессом в = (0(t))t^o с всего лишь (для простоты рассуждений) двумя состояниями: і = 0,1. Пусть Р(0(О) = 0) = Р(0(О) = 1) = | и плотности вероятностей перехода A^ таковы, что Ajj = —А и Aij = А, если і ф j.

Таким образом, "экономика" находится то в состоянии і = 0, то в состоянии і = 1 с экспоненциальным распределением времени пребывания с параметром А.

Будем предполагать, что о состоянии "экономики" в = (6(t))t^о можно судить лишь косвенным образом, наблюдая процесс X = (Xt)t^o с диф-ференциалом

dXt=e{t)dt + dWt, (22)

где W = (Wt )t>o ~ некоторый винеровский процесс.

Обозначим

r(t) = E(0(t)|S*) (23)

оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку состояния 6{t) по на-блюдениям Xs, s < t, = cr{Xs, s < t)).

Из общей теории нелинейной фильтрации находим (см. [303; формула (9.86)]), что

dr(t) = X(l-2r{t))dt + r{t)(l-r(t))(dXt-r{t)dt).

Wt=Xt- Г r(s)ds, (25)

Jo

(26)

dr(t) = А(1 - 2r(t)) dt + r(t)( 1 - r(t)) dWt.

является винеровским процессом относительно потока (-i^ )tj>o (см. [303; теорема 7.12]; см. также теорему 5 в § ЗЬ, гл. VII). Поэтому (24) является уравнением типа (5):

Интересно отметить также, что из (24), с учетом (22), следует, что

dr(t) = a(r{t),e(t)) dt + b(r{t)) dWt, (27)

где

a(r, 6>) = A(1 - 2r) + r(l - r){9 - r), b{r) = r(l - r).

(Ср. с моделью Чена (19).)

5. Рассмотренные выше модели динамики процентных ставок г = (r№)t>o основывались на стохастических дифференциальных уравнениях с некоторым базисным винеровским процессом.

В то же самое время можно заметить, что многие из рассмотренных уравнений допускают "явное" решение как функционалы от винеровского процесса. Например, в модели Васичека (8) и ее обобщении - модели Xалла и Уайта (14) - решение может быть (в силу линейности уравнений (8) и (14)) представлено в виде

r(t) = g(t)

где

Jo 9(e) Jo Ф)

что легко устанавливается с помощью формулы Ито; ср. с (7) в § Зе. Обозначим

<зо)

и, предполагая, что T(t) < оо при всех t > 0 и T(t) —> оо, t —> оо, введем по "старому" времени t "новое" время в по формуле в = T(t). (См., подробнее, § 3d в гл. IV в связи с интерпретацией "нового" времени как "операционного")

Хорошо известно (см., например, [303; лемма 17.4]), что при сделанных предположениях найдется (новый) винеровский процесс W* = (И7)«*о, такой, что

йШ)"-*\'™ (31)

Тем самым, для r(t) из (28) получаем следующее представление:

r(i) = /(t)+9(Ww, (32)

где

* Ф)

9(*)

f(t)=9(t)

ds

г( 0) + / J о

Если

T*(0) = inf{i:T(*)=0},

то возврат от "нового" времени в = T(f) к "старому" будет определяться формулой t = Т*(в). Поэтомув "новом" времени в процесс г* = (г* {в))в^о с г* (в) = г(Т*(в)) будет иметь совсем простую структуру:

г*(*) = /*(*) +if (W,

тле г {в) = f(T*m, 9* (в) = д(Т*(в)).

dlnr(t) = (a(t) - 72(t) - jS(t)tar(t)) dt + 7(t) dWt. (34)

Определяя T(t) по той же самой формуле (30), находим, что (с некоторым новым винеровским процессом W* = 0)

(35)

r(t)=F{f(t)+g(t)W}w), где g{t) определяется формулой (29),

a(s)-y2(s)

f(t)=9(t)

(36)

ds

g(s)

r( 0) + / Jo

и F(x) = ex.

Аналогичным образом для модели Зандмана и Зондермана (17)-(18) находим, что

r{t)=F{f(t) + W}(i)), (37)

где F(x) = ln(l + ех), T(t) = f*l2(s) ds,

f(t) = 1пЄ(0) + ?(a(a) - ^(s)) ds.

Как отмечает В. Шмидт в работе [426], во всех рассмотренных "явных" представлениях процентные ставки r(t) имеют вид (35). Это обстоятельство приводит к следующей весьма общей модели.

Модель Шмидта (W. Schmidt, [426]; 1997 г.):

r(t) = F{f(t) + g(t)Wnt)), (38)

где W = (Wt)t^o ~ некоторый винеровский процесс, T(t); F(x) - неот-рицательные непрерывные строго возрастающие функции, t > 0, х Є Ж; / = /№ и 9 = 9(t) являются непрерывными функциями, причем g(t) > 0.

Отметим, что в этой модели "новое" время в - T(t) есть детерминированная функция "старого" времени t и, следовательно, процесс Xt f(t) + 6. Модель Шмидта (38) имеет также ту привлекательность, что ее "дискретизация" позволяет естественным образом получать дискретные модели эволюции процентных ставок, воспользовавшись той или иной аппроксимацией винеровского процесса с помощью случайного блуждания. Например, если для п ^ 1

T/n) = inf{*>0:T(t)>i},

і = 0,1,..., и - последовательность бернуллиевских случайных

величин с = ±1 /у/п) = то (кусочно-постоянный) процесс

WW = (wln))t>о, где

[пТ(<)]

Wt(n)= ? dn)> Wслабо сходится (прип —> оо) к винеровскому процессу W = (Wt)t^о- Положим

r|n>0-) = + . і = 0, ±1,..., =Ь\\

Дискретный вариант эволюции последовательностей г ^ = (RJN^)J=ОД,... процентных ставок со значениями(j), j = 0, ±1,..., ±г, получаем, если считать, что r^ = г о, и затем полагать, что, с вероятностями состояние j — 0, ±1,..., ±i, переходит или в состояние 4-1),

или в ^"{(j - 1).

Эта конструкция очевидным образом приводит (см. [426]) к биномиальной модели эволюции процентных ставок, которую можно изобразить (для данного п = 1,2,...) следующим образом:

го

4ПЧ-2) 4п\\0) г<">(+2)